Kriticheskie_urovni_1 (1082416), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

637). Во борьбы за существование учитывал влияние последействпя или па- мяти на текущее состояние системы. Гудвин (!966) при разработке динамической теории внутриклеточных процессов указывал, что «переход от дифференциальных уравнений и интегральных инва- риантов к функциональным уравнениям и инвариантным мерам сделал бы теорию значительно более мощной, позволив рассма- тривать гетерогенные системы вместо гомогенных, а также системы с запаздыванием и гистерезисными эффектами» (с. 32). В настоящее время направление, связанное с учетом влияния пространственных и временнйх предысторий на текущее состояние систем, получило настолько существенное развитие что начал р р бо ка механики сплошных сред, в основу которой положена ась аксиома о существенном влиянии предысторий на развитие процес- сов.

Предыстории играют важную роль в механике, поскольку бу- дущее определяется именно настоящим и прошлым. В 1958 г. Нол- лом (Т с елл, !97 ( ру д лл, 975) была сформулирована аксиоматика, которая привела к формализации механики сплошных сред на новой ос- нове. Первая аксиома, названная принципом детерминизма, го ит о во- Х в м р том, что напряженное состояние в конфигурации тела-то чки омент Т определяется предысторией движения тела вплоть до З2 момента Т.

Таким образом, прошлые н настоящая конфигурации тела определяют поле напряжений, действующее на тело в настоящей конфигурации. Такие же соображения высказываются в определении характера нелинейных эффектов в радиоэлектронике: нелинейность среды может определяться и инерционными свойствами вещества, которые проявляются в конечной,а не в мгновенной скорости изменения параметров среды под действием распространяющегося электромагнитного поля. В результате этого реакция среды на воздействующее поле запаздывает на некоторое конечное время, которое зависит от величины поля. Учтем в уравнении (2.1) инерционные свойства процесса развития, т. е. в соответствии с аксиомой Нолла будем считать, что скорость роста размера системы пропорциональна размеру в момент времени, смещенный относительно данного (!) на характерное время запаздывания т, т.

е. х(!) =Ах(г — т). (2.4) Чтобы решать такое уравнение, требуется задать начальную функцию, т. е. определить траекторию за период ! е- =((о т го) х (!) = 'р (!). Назовем (2.5) уравнением развития. Рассмотрим его связь с наи- более часто используемыми моделями. 2.2. Взаимосвязь уравнения развития с основными моделями обработки экспериментальных данных Предпринимая попытку построения модели развития систем для проверки степени ее общности, надо убедиться, что она в качестве частных случаев включает результаты, которые используются в разных областях знаний для обработки экспериментальных данных как универсальные. В принципе таких результатов немного. Это — модели роста, колебаний, теории вероятностей и математической статистики, теории информации, катастроф.

При этом модели роста и колебаний ориентированы на описание динамики процессов, модели теории вероятностей и математической статистики анализируют данные статистического разреза, относящиеся к одному моменту времени, и динамику (теория случайных процессов). МЬдели теории информации рассматривают характеристики процессов преобразования и передачи сообщений. Появившаяся недавно теория катастроф занимается изучением фазовых переходов в развитии систем. Рассмотрим последовательно взаимосвязь этих классов моделей с уравнением развития. 3 л В, жириунс«ио, В, и. ктзьиин Более общий случай этого уравнения можно представить, если считать параметры А и т функциями времени х = Й (!) х [! — т (!)] (2.5) Выше уже говорилось о том, что в процессах развития систем существенным на отдельных стадиях оказывается экспонсициальный рост.

Уравнение (2.4) примечательно тем, что экспоненцнальный рост является его частным случаем. Функцию запаздывающего аргумента х(! — т) для получения приближенного оешення этого уравнения при малых т разлагают в ряд Тэйлора с использованием двух первых членов разложения. Большего количества членов в этом случае брать нельзя, чтобы исключить появление колебаний, несвойственных основному исходному процессу (Эльсгольц, Норкин, 1971; подробнее см. раздел 7.3), х'(! — т) = к(!) — тх(!). Подставляя (2.6) в (2.4), получим х (!) = [/г/(1 + /гт)) х (!). (2.7) Очевидно, что при постоянных й и т уравнение (2.7) совпадает с уравнением экспоненциального роста при постоянном относительном приросте (константой скорости роста) (2.1).

Исследованию основных тенденций роста биологических систем посвящено большое количество работ (Нпх!еу, 1932; Шмальгаузен, 1935, 1984; Вгос1у, 1945, цит, по: Мина, Клевезаль, 1976). В работе Медавара (Медаюаг, !945) указывается, что о соотношении между размерами и возрастом организма можно сделать лишь одно общее утверждение, выражающееся уравнением х=/г(!)х, (2.8) где й(!) — такое положительное число, которое с увеличением уменьшается, а й(!) стремится к нулю. Кроме этого, отмечается особый частный случай, когда й = сонэ(, что соответствует экспоненциальному росту.

Из сопоставления уравнения развития (2.5) н модели Медавара (2.8) видно, что они совпадают при отсутствии запаздывания в (2.5), т. е. при т =О. Шмальгаузен (1935, 1984) положил уравнение типа (2.8) в основу исследований, которые привели его к модели параболическ го роста. Функция й(!) уравнения (2.8) в этом случае представляет собой удельную скорость роста, т. е. прирост на единицу размера системы за единицу времени. Шмальгаузен анализировал тенденции изменения удельных скоростей роста в функции возраста развивающейся системы, на основе чего по экспериментальным данным установил, что падение этой величины обратно пропорционально возрасту, т. е, й(!) = й/!. Такой метод построения модели роста представляется перспективным, так как позволяет на основе анализа динамики удельных скоростей роста определять вид функции й(!), а затем непосредственным интегрированием уравнения (2.8) получать кривую роста.

Таким образом, уравнение Меда- вара (2.8) является частным случаем уравнения развития (2.5). Прп исследовании траекторий динамических систем в аналитической механике вводят понятие потенциальной функции )г = У (хь х„..., х„), которой определяют уравнения процесса в виде х = йтад 1» (х), (2.9) где х — характеристика состояния системы.

Направление градиента функции определяется направлением наибыстрейшего ее возрастания. Это является отражением экстремальных принципов в физике. В то же время большое количество исследований посвящено изучению физиологических градиентов как основных факторов в регулировании и развитии организмов (СЫ!д, 1929; Гурвич, 1977). Экспериментально установлены градиенты в характеристиках обмена по продольной оси на ранних стадиях развития позвоночных животных.

Эти градиенты направляют рост и являются выражением явлений, интегрирующих организм как целое. Предположим, что система развивается в анизотропном поле. Неравномерность распределения поля в пространстве создает градиент. Будем считать, что развитие происходит в направлении градиента поля. Тогда уравнение процесса запишется в виде (2.9). По сути характер угад 'г'(х) определяется памятью или нелокальными свойствамн системы (влиянием соседних элементов на данный, т.

е. пространственной памятью). В принципе проблема моделирования состоит в построении типовых функций, характеризующих угад Р(х). Наличие поля и его градиента в соответствии с определенным для данного процесса видом зависимости дгаб У(х) приводит к возможности моделирования перехода количественных изменений в коренные качественные. Именно так реализуются в настоящее время результаты теории катастроф (Постои, Стюарт, 1980; Гилмор, 1984). Термин «теория катастроф» бы,ч возрожден после Кювье в связи с исследованиями проблем структурной устойчивости и их приложений для классификации типов скачкообразных переходов в развивающихся системах.

Основоположник современной теории катастроф Том !1970) указывал, что в основе его теории лежат два источника. Первый из них — топслогическпе и аналитические исследования по проблеме структурной устойчивости. При этом для заданной функции Е(х) выясняется, сохраняет ли возмущенная функция О =Е+ЬЕ ту же, качественно аналогичную исходной форму.

Второй источник — работы по эмбриологпи, где процесс развития разбивается на области структурной устойчивости и детерминизма, которые ограничены зонами, где процесс индетерминирован, структурно неустойчив. Аналогичные особенности процессов наблюдаются в геометрической оптике, гидродинамике, газовой динамике (Постои, Стюарт, 1980). Это дает основания полагать, что теория, связанная с исследованиями общих свойств структурной устойчивости моделей, имеет универсальный характер. В теории катастроф рассматриваются процессы, описываемые уравнением (2.9). Том (1970) показал,.что для динамических систем, правые части дифференциальных уравнений которых описываются гладкими функциями и в которых на практике наблюдаются скачки в выходных характеристиках, можно геометрически определить траектории происходящих изменений.

Характеристики

Список файлов книги