Kriticheskie_urovni_1 (1082416), страница 12
Текст из файла (страница 12)
я, (964!. Ркс. 9. Динамика .н. иных размеров эмбриона человека. Π— начало ортапязменното развития. Р— рождение. По оса абсцисс — возраст змбрнонв от зачатия, сут; по ося ординат в размер, см. Обе шкалы логврнфническве (по данным. Вш(оау ив!в Ьоод, (964!. Е (х) = ехр [ — ехр ( — х)! (0 (00 суит (0 46 а гг суш В принципе относительные приросты могут не только падать, но и возрастать. Как видно из рнс. 9, с 7 до 19 сут (на стадии гаструлы) развитие эмбрионов человека идет с ростом темпов. Подобного рода участки кривых роста можно зафиксировать и для других видов, в частности на стадии гаструлы аналогично идет развитие у эмбрионов крысы и свиньи (по данным: В!о!оду ба!а 5оо!(, 1964).
Увеличение относительных приростов зафиксировано также в процессах интенсивного роста численностей популяций и является основой для определения пределов их роста (Бейли, 1970; Уатт, 1971). Можно ожидать, что для таких стадий развитие происходит с растяжением масштаба в отличие от рассмотренных выше механизмов сжатия масштаба. Сохранение приведенной выше последовательности требует, чтобы линеаризация характеристик роста при растущих темпах происходила в масштабе 1п!п(х/с) — 1 для начального уровня развития !п!п 1п(х/с) — ! для следующего за ним и т.
д. Тогда на начальном уровне для эволюционного участка развитие будет описываться уравнением вида с(х/й =/е! ехр(/е!) х или после интегрирования 1п х = (/6 (//6) ехр (/6() +! п с, бо 1п !п (х/с) = и( + 1п (/г,//г), Можно сказать, что здесь в отличие от рассмотренного выше случая падающих относительных приростов со сжатием времени при переходе с одного уровня иерархии на другой, более высокий, происходит такое же сжатие, только по ординате (размеру системы). Время при этом растягивается по сравнению с линейным. Для того чтобы начальная точка процесса такого типа находилась по ординате в начале координат, анализировать данные нужно в мас- штабе !и !и [(х/х,) е) — 6 что обеспечит в начальной точке (х = хо) Данные о росте длины эмбриона человека (рис.
9), перестроенные в этих координатах, приведены иа рис. 10, откуда видно, что действительно с 9 до 19 сут реализуется рост в соответствии с рассматриваемой моделью. Типичным примером роста с увеличивающимися темпами является динамика народонаселения с середины ХИ! в, практически по настояшее время (рис.
1!). С !950 — 1960 гг. эта тенденция изменилась, как видно из данных, приведенных на рпс. 12. При этом в течение 300 лет до 50 — 60-х годов нашего века рост численности населения в Европе и Азии происходит по близким зависимостям как между собой, так и с динамикой мирового населения. С 50 — 60-х годов нашего века ситуация меняется: наблюдается резкая тенденция к стабилизации численности населения европейских стран на фоне ускорения численности мирового населения.
Смена тенденции развития происходит при достижении ординатой значения близкого к единице. Пронумеруем уровни иерархии процессов с растущими темпами отрицательными числами, считая, что переход через нулевой уровень меняет тенденцию изменения значения аргумента процесса развития. Тогда получим по уровням иерархии последовательность координат, приведенную на рис. 1З,а — в. Отметим, что в теории надежности, методах планирования экспериментов, кинетике роста биологических систем встречается вид зависимости, типа приведенной на рис. 1!.
Так, в теории надежности используется двойной показательный закон с функцией распределения вида Этот закон применяется в задачах резервирования и аналогичных им, в частности при схеме накапливаюшихся повреждений в боль- шом количестве элементов (Кордонский, 1963). В теории планиро- б! г650 1250 1050 1050 2000 5 С000 1500 3000 Рис. 12. Динамика численности населения. Кружки-якропа, кружки с крестиками — Аанк.
крестики-мировое население. По оси абсцисс— /кх голы, но оси ординат — !и 1и ( — ( (но данным: кт Урленнс. 197аи Рнс. 1!. Динамика численности миро- вого населения. По осн абсцисс — голы, но осн ординат — 1о численности население 1но ааниым: Урла- ннс, ~9та1. яе Рис 13 Иерархия координат процессов с растугцими темпами. (д е)С вания экспериментов введена преобразующая функция (Адлер и др., 1976) ЕС = 1 — ехр [ — ехр ( — х)], которую считают предпочтительной в связи с ее более высокой чувствительностью в средней зоне по сравнению с зонами, близкими к О и 1. Так проявляется интерес к использованию ее как самостоятельного основания логарифмической шкалы. Набор приведенных выше шкал структурирует информацию о развитии природных систем с выявлением эволюционных диапазонов и критических точек, соответствующих каждому структурному уровню.
Таким образом, полная система аксиом, формирующая модель развития природных систем, определяет лимитирование развития ветвящимся процессом, зависимость хода развития от предыстории и взаимодействие между последовательными иерархическими уровнями, реализуемое логарифмированием и потенцированием аргумента в натуральном логарнфмическом масштабе. Эта модель приводит к возможности количественно определить критические уровни развития систем этого класса. Разберем далее, как определять значения критических точек для каждого из уровней иерархии и как они взаимодействуют между собой. (3.2) (3.3) (3.4) З.МОДЕЛЪ КРИТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ или г = Й ехр ( — зт).
По формуле Эйлера ехр( — (от) = сов(от) — ! ч!п (от). Тогда и+ !о =Йехр( — ит) [соз(от) — ?з!и (от)[. Разделяя дейсгвительную и мнимую части, получим и = Й ехр ( — ит) соз (от), о = — Й ехр ( — ит) з(п (от). ЗЛ. Некоторые свойства уравнения развития Можно ли иа основе уравнения развития определить перестройки, критические точки, выделяемые по морфофункциональным признакам или по результатам изменения фазового состояния? Можно ли, имея модель развития, определить момент, когда в системе произойдут качественные преобразования? И более того, как, зная положение одной критической точки, определить положение других критических точек с учетом уровней их значимости? Для ответа на эти вопросы рассмотрим свойства решений уравнения развития в его частной форме (2.4), а затем перейдем к обобщениям, т.
е. исследуем уравнение х= Йх(! — т) (3.1) при Й ) О, т ) О. Будем искать решение этого уравнения в виде (2.13), где г = и + !о. Отсюда характеристическое уравнение имеет вид гехр(г1) = Йехр [в(1 — т)] В данном разделе на основе анализа свойств уравнения развития найдены критические константы, которые при переходе к модели развития формируют иерархию критических констант, определяющих диапазоны сохранения качества системы на различных уровнях иерархии. В основе этой иерархии лежат степенно-показательные функции числа Непера (е): ... (1/е)и"', 1/е, 1, О, 1, е, е'* е' Условия синхронизации критических рубежей определяют ячейку развития.
В последующих разделах анализ обширного материала о развитии природных систем показывает, что иерархия критических констант и их синхронизации выявляют значимую информацию о закономерностях фопмирования временных и пространственных ритмов, а также структуры природных систем различных уровней иерархии.
Для проце сов роста без колебаний о = О, и траектория роста имеет вид, представленный на рис. 14. При о чь 0 и и ( 0 реализуется режим колебаний с экспоненциально убывающей амплитудон (Рис 16) а при о ФО и и ) 0 (такие корни называют псевдо- положительными) колебания имеют экспоненциально возрастающую амплитулу (рис. 16). Для процесса роста без колебаний из (3.3) получим и = Й ехр ( — ит). (3.5) Графическое решение этого уравнения показано на рис.
17. Решение здесь и лучается единственное и определяется вличнной Йт. Отсюда при о =0 существует единственный экспоненциальный режим роста (и ~ О) х = хе ехр (и1). Если о Ф 0 и и ) О, то в системе будут происходить колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой, которые способны разрушить любую систему. Отсюда для обеспечения стабильного роста необходимо, чтобы система развивалась в области, где реали- Рнс 14. Решеннг уравнения (3.1) Рнс.
15. Решение уравнения (3.1) прв нрн о=О. и(0, еэьо 55 т,г, пп Таким образом, Йт = (3/2) и (3,8) ит =(3/2) и ехр( — ит), ехр (ит) = — тат ейп (от)/(от) ит = 1.293. (3.9) (3.7) бт Рпс. 16 Решение уравненпя (3.1) прн Рнс. 17. Графнчесьое решеште урав- псевдоположнтельныя корняк. нення (3.61. 1а>о, оФО) — область аапрешенного ре кома. зуется экспоненциальный рост, но отсутствуют колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой. Определим в пространстве параметров уравнения (3.1), где это возможно.
Из (3.4) или после логарифмирования ит = 1и йт + 1и ( — з(п (от)/(от)]. (3.6) Так как логарифма отрицательного числа не существует, значения и ) 0 при о ~ 0 могут появляться только в диапазонах от от и до 2л, от Зл до 4л и т. д. (рис. 18). Таким образом, согласно уравнению (3.6), по крайней мере в области 0 ( от < и отсутствуют корни характеристического уравнения с положительной действительной частью и ненулевым коэффициентом при мнимой части. Разделив (3.3) на (3.4), получим ит = — (о с) с1п (от).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
