Kriticheskie_urovni_1 (1082416), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отсюда для появления корней с и ) 0 надо, чтобы — (от) с1п (от) > О. При этом ото О и с19(от) ( О. Граничный случай соответствует появлению положительной действительной части корня при с1д от=- = О, откуда в областях существования псевдоположительных корней от и до 2п, от Зп до 4п и т. д. это условие дает от=(3/2) и+ 2пи, и=О, 1, 2 ... Из (3.6) ит ) 0 соответствует условию Йт ~ )— от/31п (от) или с учетом (3.7) для граничного случая йт = от = (3/2) и + 2ии, и = О, 1, 2 Рнс. 18. Области решеняя уравнения (36), гле могут быть корпи и ) О, с Ф 0 (зава рил'овалы области, где не сушестаует и ) О, о й' О).
является первым значением, начиная с которого в системе появ- ляются колебания с возрастающей амплитудой. Подставляя это значение и уравнение (3.5), получим что после графического или численного решения дает Это условие показывает, что в пространстве параметров системы (3.1) имеется граница (3.8), ниже которой реализуется чисто экспоненциальный рост, а выше в системе появляются колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой (рис. 19). До тех пор пока характеристики растущей системы находятся в области рис.
19, возможен стабильный экспоненциальный рост. Переход через границу (3.8) в область П рис. 19 приводит к появлению в решенин уравнения (2.4) колебаний с экспоненциально растущей амплитудой, в результате чего область П рис. 19 является запретной для развития. Если в процессе роста происходит медленное изменение запаздывания, то экспоненциальное развитие процесса может происходить только до границы (3.8). На рис. 20 представлена схема, которая показывает, как при изменении запаздывания со временем к моменту времени 11 система выходит на границу области экспоненциального роста.
Значит, экспоненциальная тенденция может продолжаться только до момента 1ь Для стабилизации системы при выходе ее на границу (3.9) требуется либо уменьшить темп экспоненциального роста, либо уменьшить запаздывание, либо одновременно уменьшить скорость роста и запаздывание так, чтобы вернуть систему в область стабильного роста. Рост амплитуды колебаний при выходе в критический диапазон, определяемый соотношением (3.9), фиксируется в экспериментальных данных в виде увеличения их разброса. Это — общее свой- Рис. !9. Область элспоненннзльного Рнс. 20. Схема определения момента роста (Г) и область нестзбяльности окончения экспоненнизльного роста при (F) изменении ззпзздыэзння.
ство критических точек для процессов различной природы. Так, Паташинский и Покровский (!975) указывают, что по мере приближения к критической точке в веществе растут флюктуации и отмечают определенное сходство флюктуационных явлений в разнообразнейших критических точках. Урысон (1973) отмечает, что индивидуальные вариации размеров тела человека при постэмбриональном росте усиливаются в период увеличения скорости роста. В связи с этим «повышение изменчивости морфологических признаков в возрастах, относящихся к периоду полового созревания, может быть объяснено определенными биологическими факторами, в частности влиянием различий в физиологическом возрасте в период прохождения индивидуумами через критические точки» (с.
26). Такую же точку зрения высказывал Томпсон (Т)тошрзоп, 1945). В критических точках наблюдается рост восприимчивости системы к внешним воздействиям (Паташинский, Покровский, 1975) и возникновение корреляции между элементами системы, не исчезающей в макроскопических масштабах (Фишер, 1968). Граница области экспоненциального роста (3.9) отделяет пространство параметров уравнения развития (3.!), где процесс развития идет достаточно стабильно. В то же время имеется тенденция к росту в области, предельно близкой к границе (3.8), так как это обеспечивает максимальные относительные приросты,в результате чего система может достигать большего размера. Экспериментально зафиксированы механизмы отбора особей по максимальным относительным приростам (Раус, Раус, 1964): у головастиков лягушки Капа р!р!епз выделен гормон, угнетающий рост медленно развивающихся особей, что приводит к их гибели. Возникает вопрос, до каких пор требуется уходить от границы (3.8), чтобы система могла продолжать развиваться.
Его решение связано с необходимостью так перестроить систему, чтобы при будущем развитии в течение некоторого периода времени она могла ба стабильно расти. Это требует включения механизмов перестройки системы под будущис характеристики среды с учетом того, что:побое управление основано на прогнозе. Таким образом, механизм перестройки системы под ее стабильное развитие в будущем должен быть опережающим, что соответствует скорости роста сист<. мы, пропорциональной ее будущим характеристикам. Запншем и виде дифференциального уравнения такой механизм: х=ггх(с+ т).
(3.1~<) Зля янтегрирования этого уравнения требуется знать начальиук функцию х (г) = <р (г), г = [ьь «о + т)). Анохин (1962) считал опережающее отражение действительно сти свойством жиной материи, обеспечивающим адаптации биоло гических систем к будущим изменениям среды. Такие явления иь зываются а)теадапгацией (Непс(егзоп, 1979). Как правило, прогна< будущих состояний проводится на основе экстраполяции сложна шихся тенденций в будущее с учетом того, что уже было. Однако скачкообразные изменения тенденций развития противоречат та. ким представлениям. Чем длительнее период, в течение которого фиксируется одна тенденция, тем меньший остается интервал будущих изменений характеристик системы, где будет продолжаться сложившаяся тенденция.
Сосуществование в процессах развития опережающих и запаздывающих механизмов описывается уравнениями Гамильтона. Для процесса с динамикой, представленной уравнением (3.!), функция Гамильтона Н имеет вид Н = — тр(г) йх«т), а сопряженная переменная определяется из уравнения тр «) = — дН/дх = — /гт[з «+ т). Таким образом, для системы, развитие которой описывается дифференциальным уравнением запаздывающего типа, сопряженная переменная определяется уравнением опережающего типа. Это показывает, что наряду с механизмами запаздывания при развитии систем существуют и механизмы опережающего типа.
Рассмотрим структуру решений уравнения (3.10). Характеристическое уравнение для него запишется в виде гехр(г() =йехр [а(г+ т)] ат = гет ехр(ат). (3.1 1) При о =О, и ) О, как и раньше, будет реализовываться режим экспоненциального роста. На рис. 21 приведены варианты графического решения этого уравнения, откуда видно, что наибольшее Рис. 21. Графическое решение уран- Рис. 22. Схема формирования темпов пения (311). стабильного роста.
значение !гт, при котором имеется решение характеристического уравнения (3.11), соответствует условиям )гт = 1/е, ит =!. (3. 12) (3.13) Это показывает, что экспоненциальные режимы роста для уравнения опережающего типа будут поддерживаться в области ниже границы (3.13). Из (3.9) и (3.13) получим область, в которой реализуемы режимы стабильного роста (см. рис. 22). При выходе процесса на границу (3.9) для стабилизации его характеристик необходимо перестроить параметры так, чтобы система оказалась в области, где параметры процессов запаздывающего н опережающего типов согласованы.
Значит, для стабилизации системы за счет изменения относительных приростов требуется скачок в относительных приростах не менее чем в 1.29 раза, т. е. переход между границами области стабильного роста для уравнений запаздывающего (3.9) и опережающего (3.13) типов дает отношение темпов и~/из = 1.29.
Это позволяет, зная начальный темп роста, зависимость т= =)(!) и начальный размер системы, определить характер ее роста в будущем и положение критических точек (см. рис. 23). Темп роста на кривой в полулогарифмическом масштабе есть угол наклона линейного участка зависимости к оси абсцисс. Измерив эту величину, можно отложить ее значение в квадранте ! рис. 23. Это значение темпа экспоненциального роста может быть реализовано только до границы (3.9), которая определяет величину запаздывания, при которой темп роста изменится. По зависимости т =)(1) в квадранте !)г рис.
23 критическая величина запаздывания определяет время наступления критической точки, а по ней определяется конец экспоненциального режима с начальным темпом. Уменьшив начальный темп в 1.29 раза, получим новый уровень темпов роста, которым и определим угол наклона в квадранте !!! рис. 23. ао Рис. 23. Схема прогноза кривой ро- Рис.
24. Графическое решение уран. ета. пения (3.14). Таким образом, в основе определения тенденций роста и возрастов наступления критических периодов в экспоненциальном развитии лежит зависимость запаздывания от внутренних и внешних факторов. Выяснив структуру таких зависимостей, можно использовать их для исследования и прогнозирования особенностей процессов развития (Кузьмин, Ленская, 1974; Чуев и др, 1975; Кобринскпй, Кузьмин, 1981). Рассмотренное уравнение развития (3.1) принадлежит к неустойчивому типу. В процессах развития наряду со стадиями роста имеются также стадии, на которых размер системы убывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
