Kriticheskie_urovni_1 (1082416), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1). Таблнцп 1 Параметры уравнения (2.17) н соответствующие нм функции плотности вероятности Пврал!етры уравнения Функння плотностн вероятности Закон распрепеленв» ь 1 о )/2к ехр ( — гт/2он) ! оз/2п т ехр ( — гт) 2 — ехр (-/с) й! г ' ехр ( — 2/с) 2 2аг нормальное экспоненте Пуассонв 1//И гамма ся (й — !)! (й — 1)! сь — г ехр (-2 /с) А-! А с 2 /С й/с Вейбулла 2 2туа 1/о' Релея — ехр ( — га/2оа) 2о' 2 А ехр ( — 2/2) й — 2 2 '/в хн-квадрвт 2~МГ (й/2) 2"'Г (й/2) Ппимееиние, А, и, с — параметры соответствующих распренелення.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с характеристическим уравнением (2,17) х! !(/) = — (Ьр/а ) х!Р1(/ — т). Откуда с учетом (2.13) найдем г"'ехр(г/) = — (Ьр/а ) гоехр(г/)ехр( — гт). (2.18) Поделив обе части уравнения (2.18) на г -', получим гехр(г/)= — (Ь,/а )гп ~ ехр[г(/ — т)[ и снова, учитывая (2.17), найдем х(/) = — (Ьр/аю) г' "+ х(/ — т). Это уравнение соответствует характеристическому уравнению (2.17). Из него следует Ьр/ащ = — ехр (гт)/г" Тогда уравнение х(/) перепишется в виде х = г ехр (гт) х (/ — т).
Обозначив г ехр(гт) = /г(/), получим снова уравнение развития (2.5). Таким образом, функции плотности распределения, наиболеечасто используемые при обработке экспериментальных данных, определяются характеристическим уравнением для уравнения развития (2.5) при конкретных значениях параметров. При этом параметры функций плотности распределения могут быть интерпретированы в терминах запаздываний и характеристик скорости роста соответствуюшего процесса.
Известно, что в теории колебаний введен класс специальных функций, связанных с наиболее часто используечыми моделями колебательных процессов (функцип Бесселя, Лежандра и т. д.), которые определяются как частные случаи следующего гипергеометрического уравнения (Уиттекер, Ватсон, 1963) (а !э + а / + а ) х + (а/ + Ь) х + сх = 0 при определенных значениях параметров. При (а/+ Ь)чьО перепишем гипергеометрическое уравнение в виде Здесь в квадратных скобках стоит выражение, которое представляет собой два первых члена разложения функции отклоняющегося аргумента в ряд Тэйлора. Как уже отмечалось, такое разложение используется при малых отклонениях аргумента для нахождения приближенных решений уравнений с отклоняющимся аргументом (Эльсгольц, Норкин, 1971).
Тогда обобщенный вариант гипергеометрического уравнения имеет вид '(' + ап!а+ ар+ ао ) с и/+Ь / о!+Ь Обозначим (а,/г + а,! + а,)/(а/ + Ь) = т (/). Сместим аргумент в этом уравнении слева и справа на т(/). В результате получим уравнение развития (2.5). Таким образом, класс процессов, описываемых специальными функциями, также включается как частный случай в уравнение развития. Рассмотрим взаимосвязь между уравнением развития (2.5) и мерой количества информации, введенной Шенноном (1963). В качестве меры количества информации, создаваемой марковским процессом, Шеннон ввел энтропию множества вероятностей р!, рун ...
° ° °, ря и Н = —,)' рс1оп ру, рифмы берутся при произвольном основании. Эта мера лучена в результате реализации следующих требований: 1. Н непрерывна относительно рн 2. При р1 —— — р = ... — р, = 1/и Н является монотонно возра- стающей функцией от и. Для равновероятных событий неоп еде- 3.
Если выбор распадается на два последовательных выбора, то первоначальная Н должна быть взвешенной ных значений Н. ве енно суммой индивидуальЕдинственная ф н ия, есть энтропия. Эта нк фу кц, удовлетворяющая этим требования, фу ция играет центральную роль в теории инованиям, формации в качестве меры количества информа и, выбо а и неоп е рмации, возможности соотно р ределенности. Вид этой зависимости такой о ошение для энтропии в статистической ф е . ако же, каки роятность того, что система находится в 1-й я изике, где ~ — ве- странства.
в 1- ячейке фазового проДля непрерывного распределения с функцией плотности р(х) энтропия определяется как йН ~„= — р 1од р, откуда Н = — ~ р(х)!одр(х)их. В связи с тем, что основ (оно оп е ел ание логарифма является произвольным оно определяет величину единицы количества инфо мации), используем далее нат а уральные логарифмы, т. е. скорость изменения ормации), исэнтропии по аргументу х запишем в виде йН вЂ” = — р)п р. рассмотрим связь этой меры с характеристиками динамики непрерывного процесса с энтропией Н.
Перепишем последнее соотношение в виде ехр( — — „„) =— Пусть и — об атна с энтропией Н. Умнож р я величина характерного времени процес са ношения на Й: ожим правую и левую части последнего соот- Гг г! еи — =йехр~ — д„). (2.19) шется в виде Обозначим й/р=г. Тогда 1/р=г/й и уравнение (2.19) перепи- г! ЫН «=йехр ~ — — г) ~а'кх ' Обозначим ан —. — =т. Ф' кх 42 Отсюда (2.20) г = й ехр (гт).
Это уравнение является характеристическим для линейного диф- ференциального уравнения вида х= — йх(! — т) х = Ах(г+ т), или что соответствует уравнению развития (2.5) или его частному виду (2.4). Таким образом, энтропия является характеристическим уравнением для уравнения развития в его частной форме. Из этого же следует одновременно, что скорость изменения энтропии по аргументу х пропорциональна величине отклонения аргумента т (характерномузапаздыванию или опережению в характеристиках процесса). Эшби (1962), анализируя механизмы приспособления ультра- устойчивых систем, отметил, что при возникновении опасности для системы оптимальная продолжительность пробы по изменению собственных параметров для адаптации соответствует времени, необходимому, чтобы информация от ступенчатых механизмов, побуждающих систему к данной пробе, дошла до существенных переменных, сигнализирующих о результате.
Таким образом, определяющая роль в формировании упорядоченности сообщения принадлежит его нелокальным свойствам. Уравнение (2.20) как характеристическое для уравнения развития в качестве частных случаев при различных значениях параметров содержит, с одной стороны, основные функции плотности распределения математической статистики, а с другой — энтропию как меру количества информации.
Этим определяется органическая связь энтропии как величины, пропорциональной запаздыванию, с основными законами распределения. Известно (Шеннон, 1963), что экстремум энтропии при ограниченных моментах (математическом ожидании, дисперсии и т. д.) приводит к экстремалям, которые выражаются законами распределения математической статистики. Таким образом, через выражение для энтропии происходит выход на законы распределения математической статистики как через вариационный принцип, так и непосредственно через свойства энтропии как характеристического уравнения для уравнения развития (2.5). Величина энтропии служит мерой неопределенности.
Неопределенность задается величиной времени запаздывания, которое и определяет, в течение какого времени система, получившая входное воздействие, не реализует его результатов в выходных характеристиках. Например, после принятия управленческого решения и начала его реализации результат проявляется только через время цикла функционирования системы. В промежутке имеет место неопределенность. Мера неопределенности отражает длительность времени реакции системы на действующий входной сигнал, т. е. есть время запаздывания. г ооо 4000 )оо Рассмотренные результаты показывают, что у р а в н е н и е р а з в и т и я (2.5) в к а ч е с т в е ч а с т н ы х с л у ч а е в с о д е ржит оеновные результаты моделей роста, математической статистики, теории колебания, теории информации.
Его содержание соответствует моделя м, используе мы м в теории ката строф. Такая степень общности стала возможной только в результате использования при построении уравнения развития двух основных аксиом: процессы развития идут как ветвящиеся в соответствии с цепным механизмом и для процесса развития существенно влияние его предыстории. 2.3. Иерархия процессов развития Как уже отмечалось, процессы развития начинаются экспоненциальной фазой, т. е. процессом расширенного воспроизводства, для которого справедливо уравнение .(2.4), или на участке постоянства относительных приростов уравнения (2.1).
На длительных интервалах времени развитие происходит с падением темпов, что приводит к модели, представленной уравнением (2.2). Эта модель, получившая название аллометричеокой, или модели неравномерного роста, соответствует уменьшению относительных приростов со временем и приводит к выравниванию данных в двойном логарифмическом масштабе. Введем новую переменную Т) =!п!. (2.21) Тогда уравнение аллометрического роста преобразуется к виду (2.1), т. е. и'х — = !т(х. ат, При этом временной масштаб отсчитывается в логарифмических значениях абсолютного возраста системы 1 в соответствии с соотношением (2.21).
Логарифмические шкалы находят применение, например в биологии при определении возраста живых систем. Процессы, для которых размер системы меняется в соответствии с аллометрической моделью, перекрывают существенно более длительные интервалы развития по сравнению с экспоненциальными участками. Однако так же, как и в случае экспоненциальных моделей, диапазон их действия ограничен.
На рис. 6 показано изменение массы лещей с возрастом в двойном логарифмическом масштабе. На кривой видны три характерных участка, первый нз которых завершается созреванием, а второй — наступлением старости. Оба этих момента в развитии связаны с изменением регуляторных и функциональных характеристик организма, в связи с чем являются критическими точками. Будем считать, что огибающая аллометрических режимовформирует следующий структурный уровень иерархии в развитии си- 400 (О Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
