Занятие 14. Исследование функций. Асимптоты графиков функций, интервалы возрастания, убывания, экстремумы (1081194)
Текст из файла
Занятие 14. Исследование функций. Асимптоты графиков функций, интервалы возрастания, убывания, экстремумы.
1°. Возрастание и убывание функций. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если для любых точек х1 и x2 принадлежащих данному интервалу (отрезку), из неравенства х1 < x2 следует неравенство f(х1) < f(x2) (f(х1) > f(x2)). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и 
(
) при а < х < b, то f(х) возрастает (убывает) на отрезке [а, b].
В простейших случаях область существования функции f(x) можно разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (промежутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точками x (где 
или же 
не существует).
2°. Если х0 − точка экстремума функции f(x), то 
(стационарная точка), или же 
не существует (необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно: точки, в которых или же не существует (критические точки), не обязательно являются точками экстремума функции f(x). Достаточные признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f(x) даются следующими правилами:
1. Если существует такая окрестность (x0 − δ, х0 + δ) критической точки x0, что при 
при 
, то х0 − точка максимума функции f(х); если же при при , то х0 − точка минимума функции f(х).
Если, наконец, найдется такое положительное число δ, что сохраняет неизменный знак при 
, то точка х0 не является точкой экстремума функции f(х).
2. Если и 
, то х0 − точка максимума функции f(х); если и 
, то х0 точка минимума функции f(x); если же и 
, а 
, то точка х0 не является точкой экстремума функции f(х).
3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции f(х) на данном отрезке [a, b] достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [a, b].
Вогнутость графика функции и вторая производная.
4°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график дифференцируемой функции y = f(x) вогнут вниз на интервале (а, b) (вогнут вверх на интервале (c, d)), если при a < х < b дуга кривой расположена ниже (или соответственно при с < х < d выше) касательной, проведенной в любой точке интервала (а, b) (или интервала (c, d). Достаточным условием вогнутости вниз (вверх) графика y = f(x) является выполнение на соответствующем интервале неравенства 
(
).
5°. Точки перегиба. Точка (x0, f(x0)), в которой изменяется направление вогнутости графика функции, называется тонкой перегиба.
Асимптоты
1°. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.
2°. Вертикальные асимптоты. Если существует а такое, что 
, то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы 
и 
, то прямая y = k1x + b1 будет асимптотой (правая наклонная или, в случае k1 = 0, правая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы 
и 
, то прямая y = k2x + b2 будет асимптотой (левая наклонная или, в случае k2 = 0, левая горизонтальная асимптота)
Задачи:
Найти асимптоты кривых: 
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
Исследовать на экстремум следующие функции: 833. 
.
Домашнее задание:
Найти асимптоты кривых: 904. 
. 906. 
. 
Определить промежутки убывания и возрастания функций: 815. 
. 819. 
. 821. 
.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
