Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Отсюда видно, что у($) является характеристической функцией дискреп1- ноб случабноб величины Х, имеющей ряд распределения, представленный в табл. 9.3. Таблииа 9.3 Пример 9.34. Найдем закон распределения случайной величины Х, характеристическая функция которой равна у(Ф) =е ~'~. В данном случае характеристическая функция у ($) является абсолютно интегрируемой, а значит, случайная величина Х имеет плотность распределения р(х) = — е п*е ~дай.
2к,1 Производя интегрирование, получаем +оо о +оа — СО -00 о 1 1 1 2я(-1х+ 1) 2к(-1х — 1) к(хз + 1) Пример 9.33. Найдем закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна 435 е.е. Решеиие типовых примеров Таким образом, случайная величина Х имеет плотность рас- пределения 1 Р(х) ( 2 1) (см. также пример 9.25).
Пример 9.35. Случайнзл величина Х является средним арифметическим из 3200 независимых одинаково распределенных случайных величин, причем каждое слагаемое имеет математическое ожидание 3 и дисперсию 2. Воспользовавшись кекшралькой кределькой теоремой, оценим вероятность того, что Х попадет в интервал (2,925, 3,075). Случайная величина Х имеет математическое ожидание 2 1 МХ = 3 и дисперсию ПХ = — = —.
3200 1600 Тогда в силу центральной предельной теоремы случайная вели- чина У = (Х вЂ” 3)Л600 имеет приближенно стандартное нормальное распределение, а значит, Р(2,925 < Х < 3,075) = = Р((2,925- 3) Л600 < У < (3,075 — 3) Л600) пе Фо(3) — Фе(-З). Воспользовавшись табл. Н.З, в которой приведены значения функции Лапласа, имеем Р(2,925 < Х < 3,075) - 2 0,49865 = 0,9973. Пример 9.36. Найдем вероятность того, что при 720 бросаниях игральной кости „шестерка" выпадает от 100 до 130 раз. 436 9. НРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Обозначим через Х суммарное число выпавших „шестерок" при и = 720 бросаниях игральной кости.
Поскольку вероятность вьшадения „шестерки" при одном бросании р = 1/6, то в силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа случайная величина Х вЂ” пр Х вЂ” 120 У= приближенно распределена по стандартному нормальному закону. Значит, Р(100<Х<130) =Р ~ < У < ~ -Фв(1) — Фе(-2). Г 100-120 130 — 1201 10 10 Используя таблицу значений функции Лапласа (см. табл. П.З), находим: Р(100 < Х < 130) 0,34134 — (-0,47725) = 0,81859. Отметим, что задачи такого рода уже рассматривались нами (см. 3.6). Вопросы и задачи 9.1.
Какие тины сходимости случайных величин Вы знаете? Как связаны между собой различные типы сходимости? 9.2. Дайте определение слабой сходимости последовательности функций распределения. 9.3. Напишите первое неравенство Чебышева. 9.4. Напишите второе неравенство Чебьппева. 9.5. В каком случае говорят, что последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин удовлетворяет закону больших чисел? В чем заключается физический смысл закона больших чисел? 9.6. Докажите закон больших чисел в форме Чебышева.
Вопросы я задачи 437 9.7. Докажите закон больших чисел в форме Бернулли. 9.8. Дайте определение характеристической функции. 9.9. Перечислите основные свойства характеристической функции. 9. 10. Напишите формулу обращения. 9.11. Как связаны между собой слабая сходимость последовательности функций распределения и сходимость последовательности соответствующих им характеристических функций (теорема непрерывности)? 9.12. Докажите центральную предельную теорему. В чем заключается физический смысл этой теоремы? 9.13. Докажите интегральную теорему Муавра — Лапласа.
9.14. Средний ежедневный расход воды в некотором пасе. ленном пункте составляет 50000 л. Оцените с помощью первого неравенства Чебьппева вероятность того, что в произвольно выбранный день расход воды в этом пункте превысит 150000 л. О т в е т: Р(Х > 150000) < 1/3. 9.15. Среднее потребление электроэнергии в мае в некотором населенном пункте составляет 360000 кВт ч. а) Оцените с помощью первого неравенства Чебышева вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года в этом населенном пункте превысит 1000000 кВт.ч.
б) Оцените с помощью второго неравенства Чебьппева ту же вероятность, если известно, что среднее квадратичное отклонение потребления электроэнергии в мае равно 40000 кВт.ч. Ответ: а) Р(Х > 1000000) < 0,36; б) Р(Х >1000000) < —. 9.16. Среднее квадратичное отклонение погрешности измерения курса самолета равно 2'. Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебьппева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит 5'. Ответ: РЦХ~ > 5') <0,16. 438 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.17.
Вероятность появления некоторого события в каждом из 800 независимых испытаний равна 1/4. Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что число Х появлений этого события заключено в пределах от 150 до 250. О т в е т: Р(150 < Х < 2501 > 0,94. 9.18. Пусть дана последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... независимых дискретных случайных величин, причем ряд рас- пределения случайной величины Х„ Таблица У.4 представлен в табл. 9.4.
Проверьте, применим ли к этой последовательности закон больших чисел в форме Чебьппева. Ответ: да, применим. 9.19. Пусть Хм Хз, ..., Х„, ... — последовательность независимых случайных величин, причем случайная величина Х„имеет плотность распределения пз(в+1) !х! рх.(4= ~„,+х, „+,. Проверьте, удовлеФворяет ли последовательность Х1,Хз,...,Х„,... закону больших чисел в форме Чебышева. Ответ: да, удовлетворяет. 9.20. Пусть последовательность Хм Хз, ..., Х„, ... некоррелированных случайных величин удовлетворяет условию 11ш — ~~ ~ пх; = О. 1 Проверьте, применим ли к этой последовательности закон больших чисел. Ответ: да, применим. 439 Вооросы л эвяави 9.21.
Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, ряд распределения которой представлен в табл. 9.5. О т в е т: Дв) = 1/2+ еп(1+ еп) в/8. Таблица У.б 9.22. Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, ряд распределения которой представлен в табл. 9.6. Ответ: /(~) =совой. Таблица У.б 9.23. Найдите характеристическую функцию неотрицательной целочисленной случайной величины Х, распределение которой задается вероятностями р„= Р(Х = и) = (и+ 1)р~(1 — р)" (и = О, 1,..., О < р < 1). Ответ: Д$) =р~/(1 — (1-р)е") .
9.24. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения О, ~х) > 1; р(х) = З(~-хв) ~х~ < 1. Ответ: 1, В=О; .~(Ф) 3(вшй Фсовй) Ф О ,в ) Ф 9.25. Найдите характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей гамма-распределение с параметрами у и Л. Ответ: Дс) = Л"/(Л вЂ” вс)~. 440 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.26. Найдите характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения ~/2 Р( ) (1+я4) О тает: /($) = чГ2е ~'~~'/звш(я/4+ ф/~/2). 9.27.
Может ли функция У(') ='-1+42 являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.28. Может ли функция /($) = 2 — сое$ являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.29. Может ли функция где [$) — целая часть числа $, являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Ответ: не может. 9.30. Найдите характеристическую функцию случайной величины У = аХ+ Ь, где Х вЂ” случайная величина, определенная в задаче 9.26. Ответ: Я) =~Г2е Ь"~~~~+нвеш(я/4+~аФЦЯ).
9.31. Случайная величина Х1 распределена равномерно в интервале (0,1), а случайная величина Х2 имеет стандартное нормальное распределение. Найдите характеристическую Вопросы и эвяачя 1 1+ 2й Ответ: МХ = — 2, РХ=4. 9.33. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию У(с) = Ле ~й~~~в1п(-+ 1 ~,4 ~/2/ Ответ: МХ = О, РХ = 1+ гЛ 4 9.34. Найдите закон распределения случайной величины, характеристическзл функция которой равна сов с(2 сов Ф+ 1) 3 Ответ: У($) является характеристической функцией дискретной случайной величиныХ, имеющей ряд распределения, представленный в табл. 9.7.
Таблица 9.7 9.35. Найдите плотность распределения случайной величины, имеющей характеристическую функцию О т в е т: р(х) = — вш гп пж2 г функцию случайной величины У = Х1 + Хг, если известно, что Х1 и Хг являются независимыми. (еы 1)е-с /2 О т в е т: уу(1) = 11 9.32. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию 442 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.36. Проводится выборочное обследование большой партии злектрических лампочек для определения среднего времени их горения. Среднее квадратичное отклонение времени горения лампочки равно а = 80 ч. Из всей партии наудачу выбирается 400 лампочек. Воспользовавшись центральной предельной теоремой, оценитевероятность того,чтосреднее (математическое ожидание) время горения лампочки будет отличаться от наблюденного среднего времени горения выбранных 400 лампочек не более чем на 10 ч.
Ответ: 0,98738. 9.37. Случайная величина Х является средним арифметическим ю и независимых одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой ю которых равна 5. Воспользовавшись центральной предельной теоремой, оцените, какое число слагаемых и нужно взять для того, чтобы с вероятностью не менее 0,9973 случайная величина Х отклонялась от своего среднего не более чем на 0,01. Ответ: и > 450000.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
