Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Что называют регрессией одной координаты двумерного случайного вектора на другую? Что такое линия регрессии? 8.8. Что называют условной дисперсией одной координаты двумерного случайного вектора относительно другой? Как определяется значение условной дисперсии одной координаты двумерного случайного вектора при условии,что другая координата приняла соответствующее значение? 8.9. Первчислите свойства условной дисперсии. 8.10. Что называют корреляционным отношением Члену? Как вычислить корреляционное отношение для дискретных и непрерывных случайных векторов? 8.11. Перечислите свойства корреляционного отношения 8.12. Распределение двумерного случайного вектора (Х, У) задано табл.
8.9. Найдите условное распределение случайной величины Х при условии, что случайная величина 1' приняла значение у„у = 1,2, и условное распределение случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение я;, 1 = 1,2,3. Используя найденные условные распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. 393 Вопросы и задачи Таблица 8.9 Таблица 8.10 Таблица 8.11 О т в е т: Условные распределения случайной величины Х при условии У и случайной величины У при условии Х представлены в табл.
8.10 и 8.11 соответственно. Случайные величины Х и У являются зависимыми. 8.13. Двумерный случайный вектор (Х, У) распределен равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках (-3; -10), (-3;10), (3;10) и (3;-10). Найдите условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у и условную плотность распре.
деления случайной величины У при условии, что случайная ве. личина Х приняла значение х. Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: ( —, ~х~<3 и ~у~<10; рх(х~у) = б' О, ~х~>3 и ~у~<10; ( —, )у~<10 и )х~<3; р~ (у~х) = О, )у~ > 10 и ~х~ < 3. Случайные величины Х и У являются независимыми. 8.14. Непрерывный двумерный случайный вектор (Х, У) имеет плотность распределения ) Су, (х, у)ЕП; О ( )Ф1~ 394 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где Р— область, ограниченная линиями у = хэ и у = 1.
Найдите постоянную С, условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х. Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: С= 5/4; — хЕ[ — ~/р,,Я и рб[0, 1]; О, хф[-/у, Я и уЕ(0,1]; (] ) — 1 — я4' 4 уЕ[х 1] и хЕ( — 1 1)' О, у ф [хэ, Ц и х Е ( — 1, 1). Условная плотность рх(х[у) не определяется при р ф (0,1], условная плотность ру(у]х) — при х ф (-1, 1). Случайные величины Х и У являются зависимыми. 8.15. Двумерный случайный вектор (Х, У) имеет нормальное распределение с плотностью распределения -4ж~-эжя-я4 Найдите условную плотность распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х.
Используя найденные условные плотности распределения, проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: ° (*ь) =-' -~"">", "ь].) =- -*'"' — х и 7Г Случайные величины Х и У являются зависимыми. Вопросы и задачи 395 8.16. В условиях задачи 8.12 найдите условные математические ожидания М(Х)У) и М(У)Х), условные дисперсии О(Х)У) и ЩУ)Х), коРРелЯционные отношениЯ ох~у и Оу)х. Ответ: М(Х)0,10) - 0,39, М(Х)0,15) = 0,375, М(Х)0,20) 0,39, М(У~О 3) - О 16 М(У~О 6) - 0 55 11(Х)0 10) и 0 018 11(Х)0,15) - 0,17, 11(Х~0,20) 0,17, Р(У)0,3) — 0,0019, П(У)0 6) 0 0020 1)х)у 0,59, 1)г)х 0 52.
8.17. В условиях задачи 8.13 найдите условные математиче. ские ожидания М(Х)У) и М(У)Х), условные дисперсии О(Х)У) и Р(ЦХ), корреляционные отношения 1)х~у и 1)у)х. Определите регрессии случайных величин Х на У и У на Х и постройте линии регрессии. Не проводя дополнительных вычислений, скажите, чему равен коэффициент корреляции случайных величин Х и У. О т в е т: М(Х)У) ез МХ = О, М(У)Х) гн МУ = О, О(Х)У) = 1)Х = 3, 11(У)Х) = 13У = 100/3, д(9) = О, Чх!у =Оу!х =Р= О.
8.18. В условиях задачи 8.14 найдите условные математические ожидания М(Х)У) и М(У)Х), условные дисперсии П(Х)У) и О(У)Х), корреляционные отношения ох~~ и Оу)х. Определите регрессии случайных величин Х на У и У на Х и постройте линии регрессии. Не проводя дополнительных вычислений, скажите, чему равен коэффициент корреляции случайных величин Х и У. Ответ: М(Х)У) = О, М(У)Х) = В(Х!У) = -' В(ЦХ) = ('-Х')'('+'Х'+Х') ( ) = О 18(1+ Х~)~ 2(1+х +х ) Ь(х) =, 1)х) =Р=О, 1)у~х 0,31.
(З(1+х ) 396 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8.10. В условиях задачи 8.15 найдите условные математиче- ские ожидания М(Х~У) и М(У~Х), условные дисперсии О(Х~У) и 1Э(У~Х) и корреляционные отношения ох~у и уу~х. Определи- те регрессии случайных величин Х на У и У на Х и постройте линии регрессии. Ответ: М(Х~У) = -У/4, М(У~Х) = -Х, Х)(Х~У) = 1/8, 11(У~Х) не 1/2, д(у) =-у/4, а(х) = — х, пх!у = Чцх =1/2.
8.20. Случайная величина Х имеет плотность распределе- / 1 — ~х~, )х~ < 1; О, ~х~ ) 1, а случайная величина У связана со случайной величиной Х функциональной зависимостью У = Х4. Найдите условные ма- тематические ожидания М(Х~У) и М(У~Х), условные диспе- рсии Р(Х~У) и Р(У)Х) и корреляционные отношения щу и т~ур~. Определите регрессии случайных величин Х на У и У на Х и постройте линии регрессии. Не проводя дополнитель- ных вычислений, скажите, чему равен коэффициент корреляции случайных величин Х и У.
Ответ: М(Х)У) ьв О, М(У~Х) = Х4, 1:1(Х~У) = ~/У, П(У~Х) ьв О, д(у) ш О, Ь(х) = х, пх~г — — р = О, уг~х — — 1. 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том, что практическое применение методов этой математической дисциплины основывается на законе предельного постоянства частоты события. Закон предельного постоянства частоты события установлен эмпирически.
В соответствии с этим законом повторение одного и того же опыта приводит к тому, что частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу, который в соответствии со статистическим определением вероятности (см. 2.4) и называют вероятностью. Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при ансиоматичесном определении вероятности, которое мы испольэовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или не.
скольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона большиз чисел. В настоящей главе мы докажем некоторые формы этого закона, которые, в частности, поясшпот смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением. Далее (см. 9.4) доказывается простейший вариант центральной предельной теоремы, уточняющей закон больших чисел. Центральная предельная теорема, в свою очередь, объясняет то широкое распространение, которое получило на практике нормальное распределение. 398 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.1.
Сходимость последовательности случайных величин Пусть представляет собой последовательность случайных всличнн, заданных на одном и том же веролтпностпном простпранстпве. Опишем типы сходнмостн последовательности ХьХэ,...,Х„,... к некоторой случайной величине Х. Сразу же отметим, что естественно все определения сходи- мости вводить таким образом, чтобы сходимость последовэ тельности случайных величин Хь Хэ, ..., Х„, ... к случайной величине Х была эквивалентна сходимости последовательности У1=Х| — Х, У~=Хэ Х,...,Уп=Хп — Х, случайных величин к нулю, т.е. к случайной величине, принима; ющей всего одно значение О. Поэтому далее мы будем говорить только о сходимости последовательности Хь Хэ,..., Х„,...
к нулю. Поскольку каждая из случайных величин Х; представляет собой фуйкцию, заданную на простпранстпвс элементпарнмх исходов й, и существуют разные определения сходимости функций, то можно ввести и различные определения сходимости последовательности случайных величин. Казалось бы, наиболее разумно понимать сходимость последовательности Хь Хэ,..., Х„, ... случайных величин следующим образом. Для каждого элементарного исхода то Е й последовательность Х1(м), Хэ(ю), ..., Х„(от), ...
представляет собой обычную числовую последовательность, и можно определить сходимость последовательности Хь Хэ, ..., Х„,... случайных величин как сходнмость числовых последовательностей Х1 (от), Хэ(ю), ..., Х„(ы), ... при всех и Е й. К сожалению, такая сходимость (ее называют сходимосптью всюду) редко встречается на практике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
