Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Следствием из центральной предельной теоремы является интегральная теорема Муавра — Лапласа (см. 3.6, интпезральнал формула Муавра — Лапласа). Теорема 9.8 (интпееральнал тпеорема Муавра — Латьласа). Обозначим Б„суммарное число успехов в и испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д = 1 — р. Тогда с ростом и последовательность функций распределения случайных величин (Б„— пр)/ /Юру сходится к функции стандартного нормального распределения, т.е. Р " (х + Ф(х).
425 9.4. Центральнан предельное теорема < Пусть Х; — число успехов в 4-м испытании. Тогда МХ; = Р, ВХ1 = Р~. Представляя Я„в виде оа — Х1 + ° ° + Ха и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы. ° Пример 9.17, Для определения скорости о движения объекта делают п измерений и1, ..., е„, причем ьье измерение проводят с погрешностью Х; (т.е. гч = о+ Х;), при этом погрешности измерений являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с математическим ожиданием МХ; = 0 (отсутствуют систематические погрешности наблюдений) и дисперсии РХ; = оэ.
Оценим вероятность того, что средняя наблюденная скорость 91 +... + Фа оср— и будет отличатьсл от истинной скорости и не более чем на с. Имеем РЦ.„о~ <.) Р~ с« .) Считая теперь, что число и измерений велико, воспользуемся центральной предельной теоремой, согласно которой случайная величина о1+ ° ° + оо / г 426 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ приближенно распределена по стандартному нормальному за- кону. Значит, Р«) — )< ) Ф( )/ — ) — Ф(- )) — )=2Ф ( ))' — ). Значения интпеграла Лапласа Фе(х) приведены в табл. П.З.
9.5. Решение типовых примеров Пример 9.18. По многолетним наблюдениям, средняя скорость ветра в некотором пункте равна 16 км/ч. Оценим с помощью первого неравенстпва Чебышева веролтпностпь того, что в случайный момент времени скорость ветра в этом пункте превысит 80 км/ч. Обозначим через Х скорость ветра при наблюдении в случайный момент времени и, воспользовавшись первым неравенством Чебьппева, получим 16 1 Р(Х >80) < — =-. 80 5 Пример 9.1у. Используя втпорое неравенстпво Чебышева, оценим вероятность того, что глупа«1ная величина отклонится от своего среднего значения тп более чем на З«т, где «т — среднее квадратичное оп«пленение случайной величины Х. В соответствии со вторым неравенством Чебьппева г Р()Х вЂ” тп~ > Зо) < (Зо)г Пример 9.20. Пусть Х), Хг, ..., Х„, ...
— последовательность независимых глупа«гных величин, причем случайная величина Х„имеет гал«л«а-распределение с параметрами у„= п и Л„= /й. Покажем, что последовательность Хы Хг, ..., Х„, ... удовлетворяет закону больших чисел в форме Чебьппева. 427 9.5. Репзеиие типовых примеров Дисперсия случайной величины Х„равна ОХ = — =1.
7о п Поскольку дисперсии ПХо ограничены 1, то к последовательности Х1,Хз,...,Х„,... применим закон больших чисел в форме Чебышева. Пример 9.21. Пусть Х»,Хз,...,Х„,... — последовательность случайных величин, удовлетворяющих условиям ОХ„< С и 11ш соп(Х;,Ху) = О. (з-11-+со Докажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел.
Согласно второму неравенству Чебьппева, (1" з=1 з=1 =Р( '1-хе м('1.хз) >, < ',о('1 х). 1 з=1 з=1 Поэтому для решения поставленной задачи достаточно пока- зать,что 1:»(- у Х) — + О. зеп Действительно, в соответствии со свойствами дисперсно о(-~х;) = —,в(',» х;) = з=1 звп в = — (~ Х)Х;+ 2 ~ сои(Х;зХ1)). зьм 1(з(1(о »4' 428 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из условия задачи следует существование для любого е ) 0 такого М, что соч(Х;,Ху) < е при всех 1, у, длл которых 1 — у' )»». Поэтому сумма коеаривций содержит не более пФ слагаемых, больших е.
Поскольку всего слагаемых в этой сумме п(п — 1)/2 и в соответствии со свойством 4 ковариации ) (»;,»,)~<~ехо»,<с, получаем О(~> Х;) ~ (Сп+ 2СпФ+ еп(п — 1). «=1 Значит, (1 ~ ~ Сп+ 2СпЖ+ еп(п — 1) С(1+ 2Ф) в -~х) < г +е в=1 что в силу произвольности е доказывает утверждение. Пример 9.22. Найдем харакпьеристическую функцию случайной величины Х, рлд распределенил которой представлен в табл. 9.2. В соответствии с определени- ем характеристической функции Я) = ~ем»гр =0 2(е гп+егп)+ +0 Це "+е")+О 4ее'" = 014сов(21)+О 2совй+О 4 = = 08 сов'1+ 02совс = 02 соей(4совй+ 1). Пример 9.23. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей геометприческое распределение с параметром р.
429 9.5. Ретевие типоыев примеров Используя ряд распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р, получаем у(Ф) = Яе'~~р(1 — р)1 =р~) (еа(1-р))о = У=О Пример 9.24. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей равномерное на интервале (а, Ь) распределение. Вспоминая определение плопьноспьн распределения равномерно распределенной на интервале (а, Ь) случайной величины, имеем Е"х дХ Е"Ь вЂ” Енв Ь У() = Ь- а ьс(Ь- а) в Пример 9.25.
Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распре. деления ~-1~! р(х) =— Характеристическая функция случайной величины Х равное +00 О +00 Г Еахв )х) 1 Г 1 Г 1х у(Ь) <~х е9$+1)пах+ ~ ерем-1)хдх г/' 21 -00 -00 О 1 1 1 2(ьЬ+ 1) 2(ьс - 1) Ьз+1' Пример 9.26. Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность раснределеннл Коши (1+ хз) 430 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Имеем еи» ввх У()= ~ Для вычисления интеграла воспользуемся методом контурного интегрирования [Х].
При этом рассмотрим отдельно два случая: $ ) 0 и 1 ( О. В первом случае выберем замкнутый контур 2', состоящий из полуокружности 2.в большого радиуса В с центром в точке О, лежащей в верхней части комплексной плоскости, и части 2 л действительной оси, представляющей собой диаметр этой полуокружности (рис. 9.3). Поскольку подынтегрэльная функция является аналитической внутри рассматриваемого контура эа исключением простого полюса в точке» =1, то интеграл по контуру Ь будет равен вычету в точке в, умноженному на 2кв, т.е.
| ив 1 ~ ив = 2к1Кеэ к(1+»2) в=в ~ к(1+»2) В свою очередь, е пв егм евм Вез 1 = 11ш(» — в) = 11ш »=в ( я(1+»2) !»-вв К(1+»2) в-вв'Х(»+В) 2КВ Оценим | е'в'в1» х(1+»2) при В ) ~/2. Поскольку ] вм]~~1 431 9.$. Решение типовых приыеров при Ф > 0 в верхней полуплоскости 1ш«> 0 и, кроме того, ~1+« ~ >— г 2 на окружности ф = В при В > ~/2, то | сече,1« я (1+ «~) Г2Щ 2зВ 2 -/ „Ваш,„Вг В.
Устремлял теперь В к бесконечности, видим„ что интеграл по полуокружности Ь' стремится к нулю, а интеграл по диаметру Ьв — к характеристической функции. Значит, Д$) =е ~ при $>0. Рис. 9.3 Рис. 9.4 Во втором случае поступим точно так же, только вместо полуокружности, лежащей в верхней части комплексной плоскости, воэьмем полуокружность, лежащую в нижней части этой плоскости (рис. 9.4).
Аналогичные выкладки дают: у($) =е при 1<0. Об ьединяя оба случая, получаем 432 О. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 9.27. Выясним, может ли функция Д1) = в1п1 являться характеристической функцией некоторой случайной величины. Не может, так как У(0) = 0 уе 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.28. Ответим на вопрос: может ли функция Д$) =е являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Не может, так как Д$) не является ограниченной, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.29. Выясним, может ли функция являться характеристической функцией некоторой случайной величины.
Оказывается, что не может, так как функция Д$) терпит разрыв в точках $ = -1 и $ = 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.30. Найдем характеристическую функцию случайной величины У=аХ+Ь, а)0, где Х вЂ” случайная величина, определенная в примере 9.26. Используя свойство 2 характеристической функции и результаты примера 9.25, имеем ~уф = ~х(а1)епя = е ~~6+'и 433 9.5. Решение типовых примеров Пример 9.31. Независимые случайные величины Х~ и Хз распределены по экспоненвиальному эакону с параметрами Л~ и Лз.
Найдем характеристическую функцию случайной величины у=х +х. Поскольку случайные величины Х~ и Хз независимы и имеют характеристические функции (см. пример 9.10), то в соответствии со свойством 3 характе- ристической функции Л(~)= Л~Лз (Л вЂ” ИНЛ2 — $$) Пример 9.32.
Недедем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию Нетрудно видеть, что характеристическая функция у(1) имеет производные всех порядков в любой точке Ф, причем -дв1пЬ вЂ” 2есове+ 2вш$ ун( )- у~( ) 12 при $ ф О, а у'(0) и уе(0) определяются из условия непрерывно- сти. Воспользовавшись правилом Лопиталя, имеем У'(0) = О, Ув(0) = — —. Отсюда в силу свойства 4 характеристической функции МХ= —,=О, МХ =-Уе(0)=- 1ЭХ=МХ вЂ” (МХ) = —. у'(о) 3 3' вшФ У(1) = 11 Ух,(е) = л е Лз — й 1фО; 1= 0. 434 9. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1+ соя 1 2 Мы не будем пользоваться фор.нулоб обращения, а представим характеристическую функцию у($) в соответствии с формулой Эйлера в виде п.1 у($) = -е' ' + -е' 4 ~+ -е' ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
