Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 50
Текст из файла (страница 50)
9.1. Сходимость посаедоеательвости сеутайяьтт ааевчвв 399 Введем некоторые типы сходимости случайных величин. Рассмотрим все элементарные исходы ы, для которых последовательности Хт(ьт), Хэ(от), ..., Х„(ы), ... сходятся к нулю, и обозначим через А событие, состоящее иэ этих исходов, т.е.
А= (ьп Бш Хп(ы) =О~. Определение 9.1. Если последовательность Х1, Хг, ..., Х„, ... случайных величин удовлетворяет условию Р(А) =1, то говорят о сходимостпи этой последовательности к нулю с вероятпностпью 1, или почтпи наверное. Сходимость к нулю с вероятностью 1 записывается в виде В дальнейшем мы в основном будем использовать сходи- моста по вероятпностпи.
Определение 9.2. Если последовательность Хт, Хт, ..., Х„, ... случайных величин для любого е ) О удовлетворяет условию 1пп Р( ~Х„~ ( е) = 1, то говорят о сходимостпи этой последовательности к нулю тьо вероятпностпть Сходимость к нулю по вероятности записывается в виде Р Смысл сходимости по вероятности заключается в том, что вероятность нарушения неравенства ~Х„~ < е при увеличении п становится сколь угодно малой. Наконец, во многих приложениях теории вероятностей важную роль играет сходимостпь в среднем кввдротпичном. 400 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 9.3.
Если последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... случайных величин удовлетворяет условию йш МХ~ч =О, и-+оо то говорят о сходимоспзи этой последовательности к нулю в среднем коадратпичном. Сходимость к нулю в среднем квадратичном записывается в виде Մ— '-Ф О. в-+оо При доказательстве центральной предельной теоремы нам понадобится понятие слабой сходимости последовательности функций распределения.
Определение 9.4. Последовательность функций распределения Р1(х),...,Р„(х),... сходится к предельной функции распределения Р(х), если 11ш Р„(х) = Р(х) для любых х, 9вляющихся точками непрерывности Р(х). Такую сходимость называют слвбой сходимосптю последовательности функций распределения и обозначают Р„(х) =~ Р(х). Приведем пример последовательности случайных величин, для которой не имеет место сходимость всюду. Пример 9.1.
Рассмотрим бесконечное число испытаний по схеме Бернулли с равными вероятностями успеха и неудачи р = д = 1/2. Последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ..., где Х;— число успехов в 1-м испытании, будет представлять собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. 9.1. Сходииооть ноеледоватаеьноети случайных величин 401 Рассмотрим последовательность Ум Уз,..., где 1и=-(Х,+...+Х„) 1 представляет собой вычисленную по первым и испытаниям частоту успеха.
Далее будет показано (см. теорему 9.4), что последовательность Ум Уз,..., У„,... сходится по вероятности к 1/2. Более того, имеет место так называемый усиленный закон больших чисел, согласно которому эта последовательность будет сходиться к 1/2 с вероятностью 1. Установимсуществование такихэлементарныхисходовю, для которых числовыепоследовательности У1(ю), Уз(ш),...,У„(ю),...
не сходятся к 1/2. Это означает, что для последовательности Ум Уз, ..., У„, ... случайных величин сходимосгь всюду не имеет места. Пространство элементарных исходов й состоит из всевозможных (бесконечных) последовательностей УНН...УН... (см. 3.6). В отличие от случая конечного числа испытаний, й уже не будет дискретным (более того, Й „почти" эквивалентно отрезку (0,1) с равномерной вероятностью на нем; для доказательства этого достаточно отождествить последовательность Х1,Хт, ,Ха... с двоичным представлением некоторого числа, заключенного между нулем и единицей).
При этом каждый элементарный исход ю имеет вероятность 1 1 1 Р(ю) = — —.... — ...=О. 2 2 2 Рассмотрим элементарный исход о~о = УУ...У... Для него Х1(ыо) =Хг(шо) = ... =1 и У1(ио) =Уз(ыо) = ...=1, 402 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ т.е. средние арифметические значения равны единице. Таким образом, для элементарного исхода шс = УУ...У...
последовательность У1, Уз,..., 1~„,... случайных величин сходится к 1, а не к 1/2. Читатель без труда может привести примеры и других элементарных исходов, для которых последовательность У1, уз, ..., У„, ... либо будет сходиться к некоторому отличному от 1/2 числу из промежутка [О, 1], либо вообще не будет сходиться. К определению слабой сходимости можно сделать несколько замечаний.
Замечание 9.1. Из слабой сходимости последовательности функций распределения еще нельзя сделать вывод о какой-либо сходимости последовательности самих случайных величин, так как даже одинаково распределенные случайные величины могут быть заданы на совершенно разных вероятностных пространствах. Замечание 9.2. Требование сходимости в любой точке непрерывности г'(х) нельзя заменить более сильным требованием сходимости во всех точках х. Это подтверждает следующий пример.
Пример 9.2. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин Хь Хз, ..., Х„, ..., причем каждая случайная величина Х„принимает всего одно значение 1/п. Тогда последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... будет сходиться к случайной величине Х ьв 0 для любого элементарного исхода ю (причем даже равномерно). Тем не менее Гх„(0) = 1 при всех и, но Рх(0) = О.
9.1. Слодииостъ последоввтелвиости сеучввиыл величие 403 Приведенный пример показывает, что Рх„(0) не стремится к Рх(0), хотя естественно было бы ожидать сходимости Рт„(х) к Рх(х) в любой точке х, поскольку Х„(ш) — + Х(ш) при всех элементарных исходах ы. Разгадка этого парадокса заключается в том, что 0 является точкой разрыва Рх(я), а при определении слабой сходимости функций распределения сходимости в таких точках мы не требовали.
Замечание 9.3. Если последовательность Р1(х),Рз(х),..., Р„(х),... функций распределения сходится к некоторой функции Р(х) в каждой точке непрерывности последней, то это не гарантирует слабой сходимости, поскольку Р(х) может вообще не быть функцией распределения. Пример 9.3. Пусть Хв ма для всех м. Тогда Рх„(х) =" Р(х) ив О при каждом х.
Но Р(х) не является функцией распределения, так как Р(+со) =Оф1. Значит, при определении слабой сходимости обязательно нужно требовать, чтобы предельная функция являлась функцией распределения. Можно показать, что из сходимости с вероятностью 1 и из сходимости в среднем квадратичном следует сходимость по вероятности, а из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость функций распределения*.
'См., ивврвиер: Вевпщель ЖС. Теорие вероятностей, 1969. 404 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.2. Неравенства тзебьппева. Закон болыпих чисел Прежде чем приступить к рассмотрению закона больших чисел, докажем два неравенства Чебышева. Заметим, что неравенства Чебышева представляют и самостоятельный интерес, поскольку в современной теории вероятностей широко используются неравенства такого типа.
'леорема 9.1. Для каждой неотрицательной случат1коб величины Х, имеющей матпелтантичесное оэтсидакие МХ, при любом е > 0 справедливо соотношение МХ Р1Х > в1 < —, называемое первым неравенстпвом Чебышева. < Доказательство проведем для непрерывное случабкоб величины Х с плотвкосптью распределения р(х) (для геометрической интерпретации доказательства удобно воспользоваться рис. 9.1). Поскольку случайная величина Х является неотрицательной,то +00 МХ = хр(х) сЬ. о Так как подынтегральное выражение неотрицательное, то при уменьшении области интегрирования интеграл может лишь уменьшиться.
Поэтому т +со +со МХ = хр(х) дх+ хр(х) дх > хр(х) дх. о т Е Заменял в подынтегральном выражении сомножитель х на е, имеем 9.2. Неравенства Чебьппева. Завоя оовыпих часов 405 Остается заметить, что последний интеграл (равный площади области, заштрихованной на рис. 9.1) представляет собой вероятность события Х > е, и, значит, МХ > еР(Х > е), откуда и вытекает первое неравенство Чебышева. Аналогично первое неравенство Чебьппева доказывается и для дискретной случайной величины, при этом нужно только заменить интеграл суммой. > Рис. 9.1 Ясно, что применять первое неравенство Чебьппева имеет смысл только тогда, когда е > МХ; в противном случае оно дает тривиальную оценку.
Пример 9.4. Пусть Х вЂ” время опоздания студента на лекцию, причем известно, что МХ = 1 мин. Воспользовавшись первым неравенством Чебышева, оценим вероятность Р(Х > 51 того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин. Имеем Р(Х) 5) < — =0,2. МХ 5 Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем иэ каждых пяти студентов опаздывает, по крайней мере, на 5 мин не более чем один студент. ф Рассмотрим теперь случайную величину Х, имеющую дисперсию РХ = аз. Мы уже говорили, что дисперсия является показателем разброса Х вокруг математического ожидания МХ. Однако с точки зрения исследователя разброс естественнее характеризовать вероятностью РЦХ вЂ” МХ~ > е) отклонения случайной величины Х от МХ на величину, большую некоторого заданного е. Следующее неравенство позволяет оценить эту вероятность с помощью дисперсии оз.
406 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОАТНОСТЕИ Теорема 9.2. Для каждой случайной величины Х, имеющей дисперсию ПХ = сгз, при любом е > 0 справедливо еньорое нероеенстпео Чебышева о' РЦХ-МХ~ > е~ < —. Е ~ Для доказательства воспользуемся утверждением первого неравенства Чебышева. Применял к случайной величине У = (Х вЂ” МХ)з это неравенство, в котором е заменено на е~, получаем РЦХ вЂ” МХ~ ) е~ = РЦХ вЂ” МХ)з ) ез~ = МУ ОХ о~ р~у ) 2~ ~~ е я я что и доказывает второе неравенство Чебьппева. ~ Геометрический смысл второго неравенства Чебьппева понятен из рис. 9.2.
9.2. неравеаотва чееаапева. Заков болввшх засел 407 Второе неравенство Чебышева имеет содержательный смысл лишь при е > о. Пример О.б. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что а = ~(ЬХ = 1. Оценим минимальное значение хе, при котором вероятность опоздания студента на время не менее хе не превышает заданного значения Р, = 0,1. Для решения поставленной задачи воспользуемся вторым неравенством Чебышева. Тогда Р, < Р(Х > хе) = Р(Х вЂ” МХ > хе — МХ) < оз < РЯХ вЂ” МХ~ > хе — МХ) < (хе-МХ з Значит, а~ дз (хр-МХ) ~ (— и хе~~МХ+ э е Подставляя конкретные значения, имеем 1 хе < 1+ ~/ — ж 4,16.
~/0,1 Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1. Сравнивая полученный результат с результатом примера 9.4, видим, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности. Пример 9.6. Пусть случайная величина Х имеет плотность распределения р(х) = — е ~*~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
