Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин явлюотся непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения р(х) имеет место равенство 136 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ гральным законом раснределеннл случайной величины, а плотность распределения р(х) — диЯференциальным законом раснределеннл той же случайной величины. На рис 4.4 представлен типичный вид плотности распределения. Рис.
4.4 Теорема 4.2. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1) р(х) >О; 2) Р(х1 < Х < хг) = р(х) дх; +00 с1 3) р(х) дх = 1; 4) Р(х < Х < х+ Ьх) м р(х)Ьх в точках непрерывности плотности распределения; 5) Р(Х =х) =О. ~ Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является проиэводной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубывающей функцвеб, а производная неубывающей функции неотрица тельна. 137 4.5.
Непрерывные случайные вееиеивы Согласно свойству 2 функции распределения, Р(х1 < Х < хз) = Р(хз) — Р(х1). Отсюда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла [ Л] имеем ее е1 ее Р(хг) — Р(хд) = р(х) дх — р(х) сКх = р(х) сКх, Х1 что и доказывает утверждение 2. В частности, при х1 — — -оо, хе = +ос собьивие (х1 < Х < хз) является достиоеерным, и поэтому справедливо утверждение 3.
Согласно свойству 4 (см. теорему 4.1), Р(х < Х < х + Ьх) = Р(х+ Ьх) — Р(х) = ЬР(х). Если Ьх „малб" (см. рис. 4.4), то имеем ЬР(х) ЙР(х) = Р'(х)Ьх = р(х)Ьх, что и доказывает утверждение 4. Наконец, поскольку в силу определения 4.5 функция распределения случайной величины есть несобственный интеграл от плотности, то она является непрерывной, что приводит нас к утверждению 5. > Замечание 4.3. В силу свойства 2 плотности распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [х1,хз) численно равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.
4.4. Согласно свойству 3 площадь, заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна единице. В соответствии со свойством 4 вероятность попадания случайной величины Х в некоторый „малый" промежуток 138 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (х, х + Ьх) практически пропорциональна Ьх с коэффициентом пропорциональности, равным значению плотности распределения в точке х. Поэтому выражение р(х)Ьх или р(х)4х называют иногда элементпом веролгпмостпи. Можно также сказать, что непрерывная случайная величина реализует геометирическую схему с коэффициентом пропорциональности р(х), но только в „малой" окресшвосши точки х.
Наконец, согласно свойству 5, вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю. 4~ В заключение отметим, что на практике иногда встречаются случайные величины, которые нельзя отнести ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, как показывает следующий пример. 'Пример 4.4. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором т1 = 1 мин горит зеленый свет, тз — — 0,5 мин— красный, снова 1 мин — зеленый, 0,5 мин — красный и т.д. В случайный момент времени, не связанный с работой светофора, к перекрестку подъезжает автомобиль. Пусть Х вЂ” время ожидания у перекрестка. Покажем, что Х не является ни дискретной, ни непрерывной случайной величиной.
Обозначим т = г1 +тз = 1,5 мин цикл работы светофора. Естественно считать, что автомобиль подъезжает к перекрестку в случайный момент времени по отношению к циклу работы светофора. Тогда, с одной стороны, с вероятностью т1 ~т = 2/3 автомобиль проедет перекресток не останавливаясь, т.е. Х принимает значение 0 с вероятностью 2/3 ) О. Поэтому Х не может быть непрерывной случайной величиной. С другой стороны, на второй 0,5-минутной части цикла работы светофора время ожидания Х может принять любое значение от 0 до 0,5.
Значит, Х не может быть также дискретной случайной величиной. Для того чтобы лучше понять существо дела, построим функцию распределения г'(х) случайной величины Х. Посколь- 4.е. Неврерыввые елучайвые ееавчввы ~ЗО ку время ожидания не может принять отрицательное значение, то Р(я) = 0 для всех х < О. Далее если О < х < 0,5, то событие 1Х < х1 происходит в том случае, когда автомобиль либо попадет на первую часть цикла работы светофора (зеленый свет), либо подъедет к светофору при красном свете, но до включения зеленого света останется время, меньшее х. В соответствии с определением геоые~ирическоб вероятности т1+я я+1 Р(я) = Р1Х < я) = — = —.
т 1,5 Наконец, поскольку автомобиль в любом случае проведет у перекрестка не более 0,5 мин, то Р(я) =1, х>0,5. Таким образом, О, х < 0; Р(я) = —, О < я < 0 5; ) 1, х > 0,5. ГраФик функции распределения Р(х) приведен на рис. 4.5. Отметим, что в рассмотренном примере случайная величина Х представляля собой „смесь" дискретной и непрерывной случайных величин, причем Р(Х = 0) = Р(+0) — Р(0) — скачку функции распределения в точке я = О. Можно привести и более сложные примеры, в которых случайные величины уже не являются „смесью" дискретной и непрерывной составапощих, однако зти примеры нужно отнести к разряду математических абстракций. 140 4.
ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рис. 4.6 4.6. Некоторые непрерывные случайные величины Приведем примеры некоторых наиболее важных раснределеннй непрерывных случайных величин. То, что приводимые функции Р(х) являются функциями распределения, следует из замечания 4.1 и проверяться не будет. Равномерное распределение. Случайнал величина имеет равномерное распределение на отрезке (а, Ь1, если ее плотпность распределения — а <х <Ь; 1 р(.) ь- ' О, х<а или х>Ь.
Легко видеть, что фуннння распределения в этом случае определяется выражением Р(х) = 1'рафики плотности распределения р(х) и функщ4и распределения Р(х) приведены на рис. 4.6 и 4.7. О, х-а Ь вЂ” а' 1, х<а; а<х<Ь; х>Ь.
4.6. Некоторые яепрерыввые случайные величавы 141 Рис. 4.7 Рис. 4.6 Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал (х1, хг), лежащий внутри отрезка (а, О), равна г'(хг) — г'(х1) = (хг — х1)/(6 — а), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок (а, Ь). Экспоиеициальное распределение. Случайная величина распределена по экскокеккиалькомр (покаэапьелькому) эакоку, если она имеет плотность распределения О, х < 0; Л >О где Л > 0 — параметр экспоненциального распределения.
Для функции распределения в данном случае нетрудно получить следующее выражение: О, х< 0; Р(х) = ГраФики плотности распределения и функции распределения экспоненциально распределенной случайной величины приведены на рис. 4.8 и 4.9. 142 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рис. 4.8 Рис. 4.9 Экспоненцизльно распределенная случайная величина может принимать только положительные значения.
Примером случайной величины, имеющей экспоненцизльное распределение, является время распада радиоактивных элементов. При этом число 1 Т=— Л называют средним временем распада. Кроме того, употребляют также число 1п2 То =— Л ' называемое периодом полураспада. Название „период полураспада" основано на следующем физическом соображении. Пусть у нас первоначально имелось н атомов вещества. Тогда спустя время То каждый атом распо дется с вероятностью 1 1 р=Г(То) =1 — е =1 — — = —. -МсгР 2 2 Поэтому в силу независимости отдельных распадов чисоо распавшихся эа время То атомов имеет биномиильное распределение с р = д = 1/2.
Но, как мы увидим далее, согласно закону больигия чисел (см. 9.2), при больших н это число будет примерно равно и/2, т.е. период полураспада То представляет собой 4.б. Некоторые кепрерыппые сеучейпые ееепчппы 143 время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества. Экспоненциально распределенная случайная величина Х обладает весьма важным свойством, которое естественно назвать отпсутпстпвие.ы иоследебстпеил. Трактуя Х как время распада атома, рассмотрим событие А = (х1 < Х < х1+хг) и найдем условную веролтвкоствь этого события при условии выполнения события В = (Х > х1).
В соответствии с определением условной вероятности Р(А~В) = Р(В) Но событие АВ, как нетрудно понять, совпадает с событием А. Поэтому Р(А~В) = —. Р(А) Р(В) Далее, используя свойство 4 функции распределения (см. теорему 4.1), имеем: Р(А) = Р(х1 < Х < х1+ хз) = = (1 — е "1*'+*'~) — (1 — е "*') = е '(1 — е '), Р(В) = Р1Х ) х11 = 1 - Р(Х < х1) = е ~'. Значит, Р(А~В) = =1 — е ~'. е ~к' Таким образом, вероятность распада атома за время хз при условии, что перед этим он уже прожил время хм совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого атома за 144 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ время хз.
Именно зто свойство и представляет собой отсутствие последействия. Допускал некоторую вольность речи, отсутствие последействия можно трактовать как независимость остаточного времени жизни атома от того времени, которое он уже прожил. Можно показать и обратное: если случайная величина Х обладает свойством отсутствия последействия, то она обязательно должна быть распределена по экспоненциальному закону. Таким образом, отсутствие последействия является хз рактеристическим свойством экспоненциально распределенных случайных величин. Практика показывает, что экспоненциальное распределение имеют и другие физические величины, например: времена между падениями метеоритов в определенный район, времена между соседними поступлениями вызовов на телефонную станцию и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
