Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому Р(Нт)Р(А~Н;) Р(А) Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (3.5) полной всролтпностпи, приходим к утверждению теоремы. ° 98 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятпностпи Р(Н1), ..., Р(Н„) обычно называют априорнььии (т.е. полученными „до опыта"), а условные еероятпностпи Р(НцА), ..., Р(Н„~А) — апостпериорнььии (т.е.
полученными „после опыта"). Пример 3.9. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 н 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оцениваниет как 40% и 60% соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90% случаев и при заболевании 2 — в 20% случаев.
Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после зтого7 Обозначим через А событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: Н~ — имеет место заболевание 1; Нз — имеет место заболевание 2. Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: Р(Н1) =0,4 и Р(Нз) =0,6, а условные вероятности события А при наличии гипотез Н1 и Нз равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя формулу Байеса, находим Р(Н;~А) = ' ' = 0,75. 0,4 0,9 з 1 + 1 '0~ Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболе- вания 1.
Пример 3.10. Рассмотрим случай, когда Р(А~Н;) = сопвФ = С, т' = 1, и, З.б. Схема Бернулли т.е. на вероятность появления события А все гипотезы влияют одинаково. Тогда, согласно формуле Байеса, получаем Р(Н;~А) = Р(Н;), т.е. дополнительная информация о появлении события А не имеет никакой ценности, поскольку не меняет наших представлений об априорных вероятностях гипотез. 3.6. Схема Бернулли Повторные испытания — это последовательное проведение н раэ одного и того же опыта или одновременное проведение н одинаковых опытов.
Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить н испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания п опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными. Определение 3.6. Схемоб Берну ьли (или носледоваюпемьностпыо независимых одинаковых ис~ыгнаний, или биномиально6 схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяюшую следующим условиям: 1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого собмтвиа А, называемого „успехом", либо появление его дополнения А,называемого „неудачей"; 2) испытания являются нсэввисимыни, т.е.
вероятность успеха в Й-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до Й-го; 3) всроюиностиь успеха во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) =р. Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим о, т.е. Р(А) = 1 — р = в. 100 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени „вписываются" в рамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли. 1. Последовательное подбрасывание н раз симметричной монеты (здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание и раэ игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6).
Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли. 2. Последовательность н выстрелов стрелкй по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо иэ-эа „пристрелки" спортсмена, либо вследствии его утомляемости. 3.
Испытания н иэделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы. При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события Аю состоящего в том, что в н испытаниях успех наступит ровно й раэ, й = О, н. Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность Р(Аь) через Р„(й). Теорема 3.8. Вероятность Р„(й) того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно й успехов, определяется формулой Бернулли Р(й) Срд й бн. (3.7) ~ Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей иэ н букв „У" и „Н", причем буква „У" на ~-м месте означает, что в 1-м испытании произошел успех, а „Н" — неудача.
Пространство элементарных исходов й состоит из 2" исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. З.б. Схема Беряуххя Каждому элементарному исходу ы =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность Р(ат) = Р(УНН...У) В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем Р( )=р'д" ', т'=б,п, Формрлу (3.7) называют также биномиальноб, так как ее правая часть представляет собой (Й+ 1)-й член формулы бинома Ньютона 11].
1 = (р+ д)" = С„д" + С~р д" ~ +... + Сйр "д™ +... + Сир". Набор вероятностей Р„(Й), Й = 6, п, называют биномиальным распределением ееролтпностпеб. Из формулы Бернулли вытекают два следствия. 1. Вероятность появления успеха (события А) в и испытаниях не более Й1 раз и не менее Йз рзз равна: йт Р(Й,<Й<Й,~= ~С»р'д™. й=йт (3.8) если в и испытаниях успех „У" имел место т раз, а неуспех „Н", следовательно, п — т раз. Событие А» происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ат, в котором т' = Й. Вероятность любого такого элементарного исхода равна р"д" ".
Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить Й букв „У" на и местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно Сй. Так как Ай есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности Р(А») = Р„(Й) формулу (3.7). ~ 102 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Это следует из того, что событвл Аь при разных й явллютсл несовместными.
2. В частном случае при й1 = 1 и Йэ = п из (3.8) получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в и испытаниях: Р(й>Ц 1 а (3.9) Пример 3.11. Монету (симметричную) подбрасывают п = = 10 раз. Определим вероятность выпадения „герба": а) ровно пять раэ; б) не более пяти рэз; в) хотя бы один раз. В соответствии с формулой (ЗЛ) Бернулли имеем: /1~ 1о 262 а) Р1о(5) = С1о ~-) = — =0,246; ~2) 1024 ) ( ) с1о+ с1о+ с1о+ с|о+ с1о+ с1о 1024 — 0,623; 638 1024 ~ ~1о в) Р(й > Ц = 1 — ~ — ~ 0,999.
1,2~ Пример 3.12. Вероятность выигрьппа на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрьппа в лотерее была не менее заданного значения Р, = 0,9. Пусть куплено и билетов. Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью р = 0,01. Тогда вероятность получить й выигрьппных билетов можно определить, используя формулу Бернулли. В частности, согласно (3.9), имеем при д = 1-р: РР>Ц 1 в 1 (1 )э>Р 103 З.б. Схема Беряулля откуда получаем 1п(1 — Р,) 1п0,1 1п(1-р) 1п0,99 Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных биле- тов. При больших значениях числа испытаний и использование формулы Бернулли затруднительно в вычислительном плане.
Здесь существенную помощь могут оказать приближенные формулы. Пусть число испытаний п по схеме Бернулли „велико", а вероятность успеха р в одном испытании „мала", причем „малб" также произведение Л = пр. Тогда Р„(й) определяют по приближенной формуле Р„(й) — —,е Л" й! Й=О,п, Замечание 3.5. Слова „малб" и „велико" здесь и далее носят относительный характер. Рекомендации по выбору численных значений соответствующих величин будут приведены ниже. Пример 3.13. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,015.
Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найдем вероятность того, что в коробке, выбранной наудачу, не окажется ни одного бракованного сверла. называемой формулой Пуассона. Совокупность вероятностей Р(*я; Л) = Л"е "/й!, й = О, 1, ..., называют распределением Пуассона. Значения функции Р(й; Л) для некоторых Л приведены в табл. П.1. Формула Пуассона справедлива также для числа неудач, но только в том случае, когда „малб" Л' = пд.
104 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Очевидно, что мы имеем дело со схемой Бернулли, причем и = 100, р = 0,015 и й = О. Поскольку число и испытаний „велико", а вероятность успеха р в каждом испытании „мала", воспользуемся приближенной формулой Пуассона, в которой Л =пр= 100 0,015 =1,5. Тогда искомая вероятность е-ц51 50 Р - , ' = Р(0; 1,5). По табл. П.1 находим Р(0; 1,5) = 0,22313. Локальная формула Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний и „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и у неудачи, то для всех Й справедлива приближенная формула ъ/ййр (л) ~ Ч3(х), называемая лональной формулой Муавра — Лапласа, где Й вЂ” пр /йЯ ' -е~/2 у(х)= — е *~. ~2х Функцию у называют плопзностпью спзандарпьного нормального (или гауссоеа) распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
