Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поскольку значение функции распределения в любой точке х являетсл вероятностью, то вз свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1. Если х~ < хз, то событие (Х < х~) включено в событие (Х < хД и, согласно свойству 3, Р(Х < хД < Р(Х < хз), т.е.
в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2. Пусть х~, ..., х„, ... — любал возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +оо. Собыщие (Х < +со), с одной стороны, является досщоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение собышиб (Х < х„). Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утвержде. нии 3. Аналогично доказывается и первое равенство.
128 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Событие (Х < хз) при х~ < х2 представляет собой объединение двух непересекающихся собышиб: (Х < х~) — случайная величина Х приняла значение, меньшее хы и (х~ < Х < хз)— случайная величина Х приняла значение, лежащее в промежутке [хь хз). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4. Наконец, пусть хы ..., х„, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие (Х < х) является объединением событий (Х < хс). Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.
~ На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения. Рис. 4.1 Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция г'(х), удовлетворяющая условиям г(-оо) =0 и Г(+ос) =1, является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения г'(х), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначаю- 129 4.3.
Дескретные случейеые вееичявы щий конкретную случайную величину. Например, для случай- ной величины Х Рх(х) = Р(Х < х). В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события 1Х < х). Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция Р(х) будет непрерывна справа.
Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры: — дискретных случайных величин (число очков, вьшавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т.д.); — непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т.п). 4.3. Дискретные случайные величины Определение 4.3.
Случайную величину Х называют дискрепекой, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения. Определение 4.4. Р*дом распределения (верол|пностпей) дискреепкой случайной величины Х называют та блицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в 130 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ нижней — вероятности р; = Р(Х = х;) того, что случайная величина примет эти значения. Чтобы подчеркнуть, что Таблииа 4.1 ряд распределения относится Х х1 хэ ...
х; ... х„именно к случайной величи- Р,. р„не Х, будем наряду с обозначением р; употреблять также обозначение рх;. Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности р;. В силу аксиомы кормироваккости эта сумма должна быть равна единице: Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее фунниив раскределекия .г'(х). Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения х1, хэ, ..., х„расположены в порядке возрастания.
Тогда для всея х < х1 событие (Х < х) является невоэможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 Г(х) =0 (рнс. 4.2). Если х1 < х < хэ, то собы- 4.3. Дисиретиыв случайиые величавы тие (Х < х) состоит из тех и только тех элемекщариых исходов ю, для которых Х(ы) = х~, и, следовательно, г(х) =рь Аналогично цри хз < х < хз событие (Х < х) состоит вз элементарных исходов ш, для которых либо Х(м) = х~, либо Х(ы) = хз, т.е. (Х < х) = (Х = х~)+ (Х = хз), а следовательно, Р(х) =Ю+рз и т.д.
Наконец, при х ) х„событие (Х < х) досшоверио и и'(х) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (-оо, х~] значение О, на промежутках (х;, х,+~], 1 ~( 1 < и, — значение р~ + ... + р; и на промежутке (хи, +со) — значение 1. Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически.
Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой 1 Р(Х = 1) = -, 1 = 1, 6. 6' Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3. 132 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0,2 0,1 2 3 4 Рис. 4.3 4.4. Некоторые дискретные случайные величины В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения диснретпных случайныя величин. Биномиальное распределение. Дискретная случайнал величина Х распределена по биномиальному эаиону, если она принимает значения О, 1, 2,..., и в соответствии с распределением, заданным формулой Р1Х=4) =Р„Я =С„'р'й" ', 4 =0,п, или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл.
4.2, где О < р, а < 1 и р+ д = 1. Таблица 4.3 Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, Р„(4) ) О 4.4. Некоторые дискретные слутайиые ееличивы 133 ЯР (4) = Я,СЮу" = (р+ Ч)" = 1: ите «=О Внномиальное распределение являетсл не чем иным, как распределением числа успехов Х в п испытаниях по схеме Бернулли с еероятпностпью успеха р и неудачи д = 1 — р (см. 3.6). Распределение Пуссона.
Дискретная случайнзл величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями Р(Х = 4) =Р(1; Л) = —.е Ле л ~! 1 = О, 1,..., или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в табл. 4.3, где Л ) Π— параметр распределения Пуассона. Таблица 4.8 Убедимся в том, что распределение Пуассона определено корректно: Л' „ „ Л' ~ Р(4; Л) = ~~) —,е " = е "~ы —., = е "е" = 1. е=е 1ыо ' С распределением Пуссона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6). Распределение Пуассона также называют законом редких событиий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с машй вероятностью происходит „редкое" собьивие.
В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном 134 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли.
Пусть Х вЂ” число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда Х— дискретная случайнэл величина, принимающая значения О, 1, 2, ..., к, ... Определим вероятность события (Х = н). Очевидно, что Х = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому Р(Х = 0) =р. Далее, Х = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — успех.
Но вероятность такого события (см. теорему 3.8), равна ор, т.е. Аналогично Х = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит, Р(Х = 2) = дар. Продолжая эту процедуру, получашл Р(Х=4) =рд', 1=0,1, Таким образом, случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 4.4. Таблица 4.4 Случайную величину с таким рядом распределения нэзывэ. ют распределенной согласно гео.кеозрннескол4у закону. Правильность составления табл.
4.4 вытекает иэ равенства ~~) Р(Х =1) =~~) ра' =р~~> д'= — =1. з=е е.е. Неерерневые сеучеавые вееиеивте 4.5. Непрерывные случайные величины Определение 4.5. Непрерывной называют случайную величипу Х, функцию рвспредееенил которой Р(х) можно представить в виде Р(х) = р(у) Иу. (4.1) Функцию р(х) называют п.аотппостпью распределения (ве- ро*тппостпеб) случайной величины Х. р(х) = г"(х), (4.2) что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом [У1]. Только такие случайные величины мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Замечание 4.2. Соотношения (4.1) и (4.2), связывающие между собой функцию и плотность распределения, делают понятной следующую терминологию, часто употребляемую на практике. Функцию распределения Р(х) называют иптпе- Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (4.1) сходится. Как и прежде, для того чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине Х, будем наряду с записью р(х) употреблять запись рх(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
