Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект, если он есть, и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан негодным. Найдем вероятность того, что проверяемый транзистор будет признан негодным. Пусть А — событие, состоящее в том, что проверяемый транзистор признан негодным. С этим событием связаны две гипотезы: Н1 — проверяемый транзистор дефектный и Нг— проверяемый транзистор исправный. По условию Р(Н1) = 0,1, Р(Нг) = 0,9, Р(А!Н1) = 0,95, Р(А~Нг) = 0 03.
Тогда в силу формулы полной веролтвкос~ип Р(А) =0,1 0,95+0,9 0,03 =0,122. Пример 3.22. В поступивших на склад трех партиях де. талей годные составляют 89%, 92% и 97% соответственно, а количества деталей в партиях относятся как 1: 2: 3. Ответим на два вопроса. 1. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной? 113 3.7. Репшпие типоееех примерое Р(Нг) —, Р(Нз)— 2 3 Событие А — выбранная деталь является негодной. Условные вероятности события А равны: Р(А~Н1) = 0,11, Р(А~Нг) = 0,08, Р(А~Нз) = 0,03.
Согласно формуле полной вероятности, найдем Р(А) = —. 0,11+ — 0,08+ — 0,03 = 0,06. 1 2 3 6 ' 6 ' 6 Вероятности того, что негодная деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям, определим, используя форееулу Бай еса: — 0,08 Р(Нг~А) = 0,44, О, 0,11 Р(Н1~А) = е и0,31, 0,06 з 0,03 Р(Нз/А) = Е еп 0,25. ) Пример 3.23. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передают одну из двух команд управления в виде 2. Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалась негодной. Найдем вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям. Обозначим Н1, Нг и Нз события, состоящие в том, что деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям соответственно. Поскольку зти события попарно несовместные и образуют полную гружу собм7аиб, то они являются гипотезами,причем,как нетрудно подсчитать, 114 3.
УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть. схемА БеРнУлли кодовых комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд равны 0,7 и 0,3 соответственно. За счет помех вероятности правильного приема каждого из символов 1 и 0 уменьшаются до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо один от другого. На выходе зарегисрирована комбинация 10110. Определим, какая иэ команд наиболее вероятно была передана. Пусть А — событие, состоящее в приеме комбинации 10110.
К этому событию ведут две гипотезы: Н~ — была передана комбинация 11111; Нэ — была передана комбинация 00000. По условию задачи Р(Н~) = 0,7 и Р(Нэ) = 0,3. Определим условные вероятности Р(А~Н~) и Р(А~На). В силу независимости искажения символов имеем: Р(А)Н~) = 0,6 0,4 0,6 0,6 0,4-0,035; Р(А!Нэ) =0,4 0,6 0,4 0,4 0,6-0,023. Воспользовавшись теперь формулой Вайеса, получим: 0,7. 0,035 0,7 0,035 0,3 0,023 0,3 0,023 0,7 0,035 0,3 0,023 Сравнивая найденные вероятности, заключаем, что при появлении комбинации 10110 с большей вероятностью 0,78 была передана команда 11111. Пример 3.24. По цели производят шесть независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле р = = 0,75.
Вычислим: а) вероятность ровно пяти попаданий (событие А); б) вероятность не менее пяти попаданий (событие В); в) вероятность менее трех попаданий (событие С). 115 3.7. Ре>пепле твповых примеров Очевидно, мы имеем дело со схемой Бернулли, в которой и = = 6, р = 0,75 и д = 0,25. Воспользовавшись формулой Бернулли, будем иметь: а) Р(А) = Ре(5) = Се~0,75~0,25~ вв 0,356; б) Р(В) = Р(Я ) 51 = Се~0,75~0,25~+ Сее0,75е0,25е 0,534; в) Р(С) = Р(й (2) = Сее075~0>25~+СеО>75~0>25~+ + Се~О 75ЯО 254 0 0376 Пример 3.25.
В коробке лежит 200 конденсаторов, причем два из них нужной емкости. Случайным образом из коробки вынимают один конденсатор и после определения его емкости возвращают обратно в коробку. Выясним, сколько раз нужно осуществить указанную операцию, чтобы вероятность хотя бы один встретить конденсатор нужной емкости была не ме. нее 0,95. Поскольку выбор осуществляется с возвращением, мы имеем дело со схемой Бернулли, в которой 2 р= — и 9=1-р=0,99.
200 Пусть А — интересующее нас событие. Тогда А — событие, состоящее в том, что при н испытаниях ни разу не появился конденсатор нужной емкости. Из условия задачи следует: Р(А) = 0,99" < 1 — 0,95 = 0,05. Позтому 1п0,05 н) — '-296. 1п0,99 Итак, указанную операцию необходимо осуществить, по крайней мере, 296 раз.
116 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Пример 3.26. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0,001. Сообщение считают принятым, если в нем отсутствуют искажения. Найдем вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое. Передаваемое сообщение содержит 2000 символов. Предполагал, что символы искажаются независимо, имеем дело со схемой Бернулли, в которой н = 2000, р = 0,001, я = О. Поскольку п „велико", причем Л=пр=2 „малб" (см. с. 107), то для вычисления интересующей нас вероятности применим приближенную формулу Пуассона. Тогда, используя табл. П.1, получаем Р Р(0; 2) = 0,13534.
Пример 3.27. На факультете обучаются 300 студентов. Предполагая, что вероятность родиться в каждый день года одинакова, найдем вероятность того, что ровно 80 студентов факультета будут праздновать дни рождения летом. Вероятность того, что ровно Й студентов будут отмечать летом день рождения, определяется по формуле Бернулли, в которой и = 300, р = 1/4 и д = 3/4. Так как и, р и д „велики" и и Л'=ну=225, Л=пр=75 то для вычисления искомой вероятности необходимо применить одну из формул Муавра — Лапласа. Поскольку в задаче нужно найти вероятность наступления ровно Й успехов, то применим лональнуи формулу Муавра — Лапласа, в которой й-нр 80-75 ~/йро = 7,5, я = = = 0,67.
,/Юро 7,5 117 3.7. Ревееиие типовых примеров Воспользовавшись табл. П.2, имеем ~р(0,67) 0,31874 7,5 7,5 = 1 Пример 3.28. Определим вероятность того, что при 900 бросаниях игральной кости „шестерка" выпадет от 130 до 300 раз. Поскольку в данном примере „велики" п = 800, и Л'=од=750, Л = пр = 150 то, согласно интегральной формуле Муавра — Лапласа, имеем: Й~ — пр 130 — 150 ~/6Ж ~ 89). ог !56 Йз — пр 300 — 150 ФЯ у'893 Ц76 5/6 Так как в табл. П.З значение Фо(14,23) отсутствует, заменим его на 0,5. Тогда Р = Фо(14 23) — Фо( — 1 90) = 0 5+ 0 47128 = 0 97128 Пример 3.29.
Игральную кость бросают 10 раз. Требуется найти вероятность того, что „шестерка" выпадет два раза, а „пятерка" — 3 раза. В данном опыте имеем дело с 10 независимыми испытаниями, причем в каждом испытании с вероятностью 1/6 происходит событие А~ (выпадает „шестерка"), с той же вероятностью 1/6 происходит событие Аз (вьшадает „пятерка") и, наконец, с вероятностью 4/6 происходит событие Аз (вьшадает любое другое число очков).
Искомую вероятность можно вычислить, используя теорему 3.9: 10~(1/6)х (1/6)з (4/6) о 2! 3! 5! 118 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Вопросы и задачи 3.1. Дайте определение условной вероятности. 3.2. Сформулируйте теорему умножения вероятностей и объясните ее геометрический смысл для двух событий. 3.3. Какие два события называют независимыми? зависи- МЫМИ? 3.4. Какие и событий называют независимыми в совокупности? попарно? 3.5. Какая связь существует между совместными и зависимыми событиями? 3.6.
Какие события называют гипотезами? 3.?. Напишите формулу полной вероятности. 3.8. Напишите формулу Байеса. 3.9. Что называют схемой Бернулли? 3.10. Напишите формулу Бернулли. 3.11. Напишите формулу для вероятности того, что в п испытаниях по схеме Бернулли число успехов будет заключено в пределах от Й1 до йз. 3.12. Напюпите формулу для вероятности того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет, по крайней мере, один успех. 3.13.
Напишите формулу Пуассона. 3.14. Напишите локальную формулу Муавра — Лапласа. 3.15. Напишите интегральную формулу Муавра — Лапласа. 3.16. В каких случаях можно применять формулу Пуассона? 3.17. В каких случаях можно применять локальную формулу Муавра — Лапласа? Воиросы и задачи 119 3.18. В каких случаях можно применять интегральную формулу Муавра — Лапласа? 3.19. Что называют полиномиальной схемой? 3.20.
Напишите формулу для вероятности того, что в полиномизльной схеме событие А| произойдет ровно п1 раз, ..., событие А,„произойдет ровно п рзз. 3.21. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А — на трех костях выпадут разные числа очков,  — хотя бы на одной из костей выпадет „шестерка". Вычислите Р(А~В) и Р(В|А). Ответ: Р(А~В) =60/91, Р(В~А) =1/2. 3.22. В шкаф поставили девять новых однотипных приборов.
Для проведения опыта берут наугад три прибора, после работы их возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в употреблении, не отличается от нового. Определите вероятность того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется новых приборов. Ответ: Р=1 (6/9 5/8 4/7) (3/9 2/8 1/7) -0,0028. 3.23. На карточках разрезной азбуки написаны 32 буквы русского алфавита. Пять карточек вынимают наудачу одна за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найдите вероятность того, что получится слово „КОНЕЦ". Ответ: Р= 1/32 1/31 1/30 1/29 1/28 м4,14 10 з.
3.24. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Если студент не отвечает на один вопрос, преподаватель задает другой. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет. Ответ: Р=1 — 1/29-0,966. 3.25. Два стрелка стреляют в цель, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого стрелка вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго — 0,8.
Какова вероятность попасть в цель хотя бы одному стрелку? Ответ: Р=0,94. 120 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ 3.26. Система состоит из 2 четырех узлов (рис. 3.5). Веро- 1 4 ятности Р; безотказной работы узлов равны соответствен- 3 но Р1, Р2, Рз и Р4.
Вычислите вероятность безотказной рабоРис. З.В ты всей системы. Ответ: Р = Р1 [1 — (1 — Р2) (1 - Рз)) Р4. 3.27. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживают с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найдите вероятность того, что при и циклах объект будет обнаружен. Ответ: Р= 1 — (1 — р)". 3.28. В первой урне лежат 10 шаров, иэ них восемь бельп~, во второй — 20 шаров, из них четыре белых.
Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих двух наудачу берется один шар. Найдите вероятность того, что это будет белый шар. Ответ: Р=05. 3.29. На шахматную доску ставят двух слонов: белого и черного. Какова вероятность того, что при первом ходе один слон может побить другого? Ответ: Р=б/36 0,139.
3.30. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% и третьего — 5%. Определите вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров с первого завода, 20 — со второго и 50 — с третьего. Ответ: Р=0,895. 121 Вопросы и задачи 3.31. На заводе, изготавливающем болты, на первом станке производят 25%, на втором 35% и на третьем 40% всех изделий. В продукции брак составляет 5%, 4% и 2% соответственно. а) Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт будет дефектным. б) Пусть случайно выбранный болт оказался дефектным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
