Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5.2 заштрихован), сначала определим вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < Ьэ) (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант (х1 < Ь1, хэ < Ьэ) за вычетом вероятности попадания в квадрант (х1 < 61, хэ < аэ), т.е.
Р(Х1 < ам аз < Хэ < Ьэ) = Р(61, Ьэ) — Р(Ьм аз). Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник (а1<х1<6м аэ<хэ<Ьэ) совпадает с вероятностью попадания в полуполосу (х1<61, аз~(хэ <62) из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < ~), равная Р(ам 62) — Р(а1, аэ).
Окончательно получим утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказываетсл и утверждение 6. Наконец, событие (Хэ < +со) является достоверным, поэтому (Х1 < х1) й (Хэ < +ос) = (Х1 < х1). Аналогично (Х, < +со) й (Хэ < х,) = (Х, < хд). Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения Рх, и, случайного вектора (Х1, Хэ) и функциями Рх, и Рх„которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) фуннииями распределения случайных величин Х1 и Хэ. ~ Пример 5.3. Некоторое техническое устройство состоит вз двух различных по надежности элементов, причем время безотказной работы первого элемента можно задать случайной величиной Х1, а второго — случайной величиной Хэ.
Тогда надежность всего устройства можно описать двумерным случайным вектором (Х1, Хэ), имеющим неотрицательные координаты Х1 и Хэ. 170 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть нелестно, что для любых хд > 0 и хя > 0 вероятность события (Хд > хд, Хя ) хя) определяется формулой Р(Х > х Х > х д е лдяъ Лиха лд1дпж1хд яч1 д хд 2. х2) =е 1 где Л; > О, д = 1,2, и Лдя > О. Найдем совместную функцию распределения Рх,,х, (хд, х2) и одномерные функции распределенддя Рх,(х) и Рх,(х) В силу неотрицательности Хд и Х2 событие (Хд ) х) совпадает с событием (Хд > х, Х2 > О), а событие (Хя ) х)— с событием (Хд ) )О, Х2 > х). Подставляя 0 вместо хд и х2 в выражение для Р(Хд > хд, Хя > хя), получаем: Р(Хд > х) = Р(Хд ) х, Хя ) О) = е дл'+лд2)* х > 0 Р(Х2 > х) = Р(Хд > О,Х2 > х) = е длд+л'~~*, х > О.
Отсюда находим одномерные функции распределения Рх, (х) и Рх,(х): Рх,(х) = 1 — Р(Хд )~ х) = 1 — е дл'+л">*, х > 0; Рх,(х) =1-Р(Хя) х) =1 — е (л'+л")*, х >О. Естественно, поскольку случайные величины Хд и Х2 неотрицательные, то Рх,(х)=Р,(х)=О, х<О. Так как событие (Хд < хд, Х2 < хя) совпадает с событием й '1 ЯХд > хд) 0 (Х2 ) х2)), то совместнал функция распределения Рх„х,(хд,х2), согласно свойствам 1 и 5 (см.
теорему 2.8), при хд,хя > 0 имеет вид Рх,,х,(*мхя) =1 — Р((Х > х ) О(Х > х2)) = = 1 — Р(Хд )~ хд) - Р(Х2 ~ )х2) + Р(Хд ) хд, Хе ) хя) = 1 е-(лд+ли)ю е-(ли+ли)е1 + е-лдю-лзхз-лидпах(хд *21 5.2. Диеиретиые двуиериые саучвйиые величины 171 Очевидно, что значение совместной функции распределения Рх„х, (хт, хз) при хт < 0 или хз < 0 задается равенством гх,х (х1 хз) ж О Полученная функция распределения задает двумерное энсноненцнальное распределенно. Заметим, что это распределение моделирует простейший случай зависимых отказов, при котором могут одновременно отказать оба элемента. При этом в теории надежности Лт называтот интенсивностью отказа только первого элемента, Лэ — только второго элемента и Лщ — одновременно и первого, и второго элементов. 5.2. Дискретные двумерные случайные величины Определение 5.3.
Двумерную случайную велнчнну (Х, У) называют диснретттной, если каждая из случайных величин Х и У являетсл диснретпной. Как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевтяможных пар (х,, р ) значений координат случайного вентпора (Х, У) и соответствующих веролтпностпей с которыми эти пары значений принимают случайные величины Х и У. Для простоты ограничимся конечным множестпвом возможных значений, когда случайная величина Х может принимать только значения хт, ..., х„, У вЂ” значения дт, ..., лет, а координаты двумерного случайного вектора (Х, У) — пары значений (х;, у ), т' = 1, и, т' = 1, тп.
Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1). В этой таблице в верхней стРоке пеРечислены все возможные значениЯ 1тт, ..., Ртч ..., утп случайной величины У, а в левом столбце — значения хт, ..., х,, ..., х„случайной величины Х. На пересечении столбца ау~ е со строкой „х;" находится вероятность рту — — Р(Х = х;, У = уу) совместного осуществления событий (Х = хт) и (У = рй). 172 в. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Таблица Б.1 В этой таблице обычно добавляют еще одну строку „Ру" и столбец „Рх ". На пересечении столбца „Рх" со строкой „я;" записывают число Рх1 =Рп+" ° +Риа Но рх, представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина Х примет значение ж;, т.е.
Таким образом, первый и последний стыбцы таблицы дают нам рлд распределения случайной величины Х. Аналогично, в последней строке „Ру" помещены значения РУ1 =Р11+" +Р11 а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины х . Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна иэ этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.
Используя табл. 5.1, нетрудно определить сов.нестнув функцию распределения Рх,у(ж,у). Ясно, что для этого необходимо е.2. Двсвретвые двумервые сауееввые еелвчввы 173 просуммировать р; по всем тем значениям е и у, для которых х; < х, уу < у, т.е. г'(х,у) = ~' Ре. е х;<е у' яд<ай Пример 5.4.
В соответствии со схемой Бернулли (см. 3.6) с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д = 1 — р проводятся два испытания. Вьшюпем распределение двумерного случайного вектора (Хм Хз), где Х;, е = 1,2, — число успехов в е'-м испытании. Каждая из случайных величин Х1 и Хз может принимать два значения: О или 1. Числа успехов в обоих испытаниях равны нулю тогда, когда произойдут две неудачи, а это в силу независимости испытаний происходит с вероятностью дд.
Поэтому Р(Х1 = О, Хз = О) = д~, и на пересечении столбца „О" со строкой „Ое нужно записать дз (табл. 5.2). Далее, Х1 = 1 и Хз — — О, если в первом испытании произошел успех, а во втором — неудача, и, значит, Таблица 5.2 Р(Х, =1,Х,=О)=рд. Аналогично заполняем второй столбец: Р(Х1 =О,Хе=1) = др, Р(Х,=1,Х,=Ц = р'. Наконец, на пересечении столбца „Рг," и строки еОе должно стоять Р(Х1 =О) = д'+рд=д(д+р) =д, а на пересечении столбца „Рх, е и строки „1"— Р(Х = 1) =рд+р'=р(р+д) =р. 174 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Проверим правильность составления таблицы.
Сумма элементов последнего столбца р+ о = 1, последней строки р+ о = 1. Так и должно быть. Построим теперь совместную функцию распределения случайныя величин Х1 и Хз.' Р(х1, хз) = Р(Х1 < хм Хз < хг) Поскольку при х1 < 0 или хз ( 0 нет ни одного элементарного исхода ы, для которого или Хз(и) < хз, то для таких х1 и хз событие (Х1 < хмХз < хз) невозможное, и, значит Р(х1>хз) = 0 при х1 < О или хз < О. Далее, если 0<х1 <1 и 0<хз<1, то событие (Х~ <хмХг <хз) эквивалентно событию (Х1 = О, Хз = О), которое, как видно из табл. 5.2, происходит с вероятностью дз, и Р(х1,хг) = д~ Если же О < х1 < 1, а хз > 1, то событие 1Х1 < х1, Хз < хз) совпадает с объединением непересекающихся собмтиб (Х1=0,Хз=О) и (Х1 =О,Хз=1).
Тогда Р(х1,хз) = уз + др = д. Аналогично Р(х1, хз) = д + др = д. при х1 > 1 и 0 < хз ( 1. Наконец, если х| > 1 и хз >1, то событие (Х1 <хм Хз <хз) достоверно,и, следовательно, Р(хмхз) = 1. Совместная функция распределения Р(хмхз) задает поверхность в трехмерном пространстве, и ее не очень удобно изо- е.л. Дискретные двумерные случайные величины 175 бражать графически. Тем не менее такая попытка предпринята на рис. 5.3.
Рис. 5.3 Пример 5.5. Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (т.е. 1 — 6, 2 — 5, 3 — 4). Случайнзл величина Х— число очков, вьшавших на верхней грани, случайная величина У вЂ” то же на нижней грани. И случайная величина Х, и случайная величина У могут принимать любые значения от 1 до 6 с одинаковой вероятностью 1/6. Однако если случайная величина Х приняла значение 1(на верхней грани выпало 1 очко), то единственным значением случайной величины У может быть только 6 (на нижней грани обязательно выпадет 6 очков). Значит, строка „1" табл.
5.3 будет состоять нз нулей, за исключением пересечения со столбцом „6": на этом месте должна стоять вероятность 1/6. Аналогично строка „2" будет иметь единственный отличный от нуля элемент на пересечении со столбцом „5", также равный 1/6 (на верхней грани выпало 2 очка, на нижней — 5), и т.д. Столбец еРх" и строку еРР" находим, суммируя соответствующие строки и столбцы; как и должно было быть, мы получаем в них одинаковые значения 1/6, соответствующие классической схеме. 176 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Таблица б.у Предоставляем возможность интересующемуся читателю самостоятельно построить совместную функцию распределения случайных величин Х и У.
5.3. Непрерывные случайные величины Определение 5.4. Непрерывной двумерной случайной веяннцной (Х, У) называют такую двумерную случайную величину (Х, У), совмеспгную функцию распределения которой Г(х1,хг) = Р(Х < х1,У < хг) можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: ю х2 г" (хм хг) = р(у1, уг) ау~ ауг. Р(хмхг) = Рх,у(х11хг) 6.3. Непрерывяые случайяые велвчяяы называют совмеспзной двумерной плотпностттью распределени.я случайных величин Х и У, или плотностью распределения случайного вектора (Х, У).
Область интегрирования в двойном интеграле представляет собой квадрант (у1 < хм уз < хз1 с вершиной в точке (х>,.хз). Как известно [ЧП], двойной интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке, следовательно, я> зт зт я> р(хт>хз) = Иу1 Р(ут >уз) ау2 = ауз Р(у1 > уз) у1 дел(х1,хг) дзР(хт,хз) дх1дхз дхздх> (5.1) Заметим, что аналогичный смысл имеет совместпная и-мерная плотпностпь распределения случайных величин Х1 " Хт» или плотпностпь распреде аения случайноао вентпора (Х1, ..., Х„): д»г'(х1,..., х„) р(хт,...,х„) = х1 ° ° ° ха Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотно- сти распределения.
Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что Р(х1 хз) непрерывная (или непрерывнал за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании интеграла с пеРеменным верхним пределом [Ч1] совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную [Ч] совместной функции распределения: Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
