Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда уравнения осей рассеивания принимают вид яд-2 яэ-3 -5 7 х~ -2 яэ — 3 7 5 а матрица ковариаций в канонических координатах При испытании гаубицы было обнаружено, что в некоторой прямоугольной системе координат с центром в точке О прицеливания вектор Х = (Хд, Хэ) отклонений (в метрах) от точки О имеет вектор средних дУд = (2, 3) и матрицу коварнаций (в /300 140 д квадратных метрах) Е = ~ Найдем уравнения осей рассеивания двумерной случайной величины (Хд,Хэ). Центр рассеивания находится в точке О'(2, 3). Матрица Е = Е д имеет вид 194 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Плотность распределения случайного вектора (Х1,Х2), представляющего собой координаты отклонения точки разрыва от точки О', вычисленные в ортонормированной системе координат, связанной с осями рассеивания, имеет вид + рх',х'(хмхг) = — е 2 ~400 1007 400я Для того чтобы получить стандартное нормальное распределение, мы должны за единицу масштаба по большей оси эллипса рассеивания принять 20 м, а по меньшей — 10 м.
Предположим теперь, что цель поражаетсл в том случае, когда точка разрыва снаряда находится от нее не далее чем в 10 м. Вычислим вероятность поражения цели одним снарядом. В соответствии с формулой (5.5) двумерная плотность распределения вектора Х = (Х1,Х2) имеет вид (см. вид матрицы Е) рХоХ7 (х1, х2) — 3 [0,005(з1-2) г -0,007(х1-2) (жг — 3)+0,0075(яг -3) ~) 400я И скомая вероятность равна вероятности попадания снаряда в область х21 + хг г< 100 и в силу свойства 6 двумерной плотности распределения определяется выражением 1 Р(Х1 + Хг ( 100) = рхьХг(ХМХг) С(Х1ПХг — Х з(+я 7~(100 -$(0,005(ж1-2) -0,007(ж1-2)(аг-З)+0,0075(жг-З) ] (( *',+*,'<100 Для вычисления последнего интеграла необходимо применить численные методы, поэтому окончательный ответ мы не приводим. 7Р Рассмотрим основные свойства многомерного нормального распределения.
195 о.о. Многомерное нормальное распределение 1. Закон распределения каждой из координат случайного вектора Х, имеющего и-мерное нормальное распределив с вектором средних й = (пап ..., п2 ) и матрицей коверная(ий Е = сг;, является нормальным с параметрами етц и о;. ~ Докажем зто утверждение для случая в = 2 (общий случай требует более громоздких преобразований).
Определим плотность распределения рг, (х1) в случае, когда Рх„л, (х1, х2) определяется формулами (5.2) и (5.3). Используя свойство 7 двумерной плотности распределения, находим +ое Рх,(х1) = 1 оХ2~ -4(е1 ие) 2яо1о2 1 — р2 где 1 Я(х1,х2) = — х Делая замену еа-щл Де1-т~) ае й= 2 1 после преобразований получаем +со / 1 У 1: о рх (х1) = / — е '1 Иу. ,/ 2~пт1 -00 Поскольку с учетом значения интеграла Пуассона [ЧП] +оо +оо | е "~~Ну = ~Г2 е ' Ж = ~2я, приходим к окончательному ответу рх,(х1) = е -(е1-пц)е/2п~е 1 2яо'1 196 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ что и доказывает требуемое утверждение. Аналогично можно показать,что (ед — эвр)~ 1 рх,(хз) = е 2'"з Ляог 2.
Ксли ковариационная матрица Е случайного вектора Х, распределенного по нормальному закону (невырожденному), является диагональной [111], то координаты вектора Х1, ..., Х„ являются независимыми случайными величинами. М Действительно, матрица Е = Е 1 также является диагональной и имеет вид О О СГй и, следовательно, формула (5.2) для совместной (и-мерной) плотности распределения имеет вид 1 рхп...,х„(хь ° ° ° хв) = х (~/2я)" о1... о„ (х~ — т~) (е — о~„) +-+ 1 ХЕ в' =РХ (Я1)" РХ„(еа) т.е. случайные величины Х1, ..., Х„являются независимыми (см. замечание 5.3).
> Заметим, что если о,Ч = О для некоторых 1 и у или, что то же самое, коэффициент корреляции р11 = О, то говорят, что случайные величины Х; и Х) являются неноррелнрованными. Таким образом, из некоррелированности координат случайного вектора, распределенного по нормальному закону, следует (в силу теоремы 5.3) их независимость.
Легко показать и обратное: независимые нормально распределенные случайные 197 Б.б. Репмппе тпповых примеров величины являются некоррелированными (в 7.4 будет показано, что для проювольно распределенных случайных векторов некоррелированность координат есть лишь необходимое условие независимости). 3. Если вектор Х = (Х1, ..., Х„) имеет нормальный закон распределения с вектором средних т = (тм ..., тп) и матрицей ковариаций Е, то вектор Х' = (Х1, ..., Х„1) также распределен по нормальному закону с вектором средних т' = = (т1, ..., т„1) и матрицей ковариаций Е', полученной ю матрицы Е вычеркиванием последних строки и столбца. < Это свойство доказывается так же, как и свойство 1, но в силу громоздкости вывода оно здесь не приводится.
° Из свойства 3 методом математической индукции можно показать, что любой набор координат н-мерного случайного вектора Х = (Хм ..., Х„), распределенного по нормальному закону, снова имеет нормальное распределение. В частности, двумерный случайный вектор (Х1, Х2) распределен по нормальному закону с вектором средних (т1, т2) и матрицей ковариа- оп ош О'21 О22 5.6.
Решение типовых примеров П ример 5.13. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения О, я < 0 или у < 0; Р(х, у)— -и — 2я+ -х -2я Найдем: а) веролтности событий (-2<Х<2, 1<У<3), (Х>0, У>1) и (Х<1, У>2); б) частные функции распределения случайных величин Х и У. 198 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а. В соответствии со свойством 5 двумерной функции распределения имеем Р(-2 < Х < 2, 1 ~ (У < 3) = Р(2,3) — Р(2, 1)— — Р(-2,3)+Р(-2,1) =1 — е 4 е е+е ю— -(1-е '-е '+е ')-О+О=е '-2е '+е ". Событие (Х > О, У ~> 1) представляет собой попадание дву- мерной случайной величины (Х, У) в квадрант (х ~ ~О,у ~ )Ц. Поэтому Р(Х > О, У > 1) = Р(+со, +оо) — Р(+со, 1)— —.г'(О, +со)+Г(0, 1) =1 — (1 — е ~) — О+.0 =е ~.
Аналогично Р(Х < 1, У > 2) = Р(1, +оо) — Р(1,2) — Р(-оо, +оо) + +Р( 2) 1 -1 (1 -1 — 4+ -б) 0+0 — 4 -5 б. В соответствии со свойством 7 двумерной функции распределения частные распределения случайных величин Х и У задаются формулами О, х<0; Рх(х) = г(х, + ) = ~ 11 — е *, х>0; ЖУ(у) = Р(+со, у) = О, у<О; 1 — е ", у>0.
Пример 5.14. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Г(х,у) = О, 31пх Зшу, вшх, ешу, 1, х ( (0 или у » (0; О < х < я/2 и 0 < у < к/2; О < х < к/2 и у > к/2; х>я/2 и 0<у<к/2; х > к/2 и у >и/2. 200 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ б) значения совместной функции распределения Р(х,у) в точках (4 5; 8) и (9; 11), а также вероятность события (4 ~(Х <9, 8~~У<11). а. Поскольку событие (Х = 3) совпадает с объедикекиел4 иеиересекаюи4ияся событпиб (Х = 3, 1' = 3), (Х = 3, У = 8) и (Х=З,У=12), то Р(х =з) =Р(х=з, у=з)+Р(х =з, у=8)+ +Р(Х=З, У=12) =0,55. Аналогично Р(Х = 5) = Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) + + Р(Х = 3, У = 12) = 0,45.
Ряд распределения случайной величины Х приведен в табл. 5.5. Таблица $.6 Таблица Б.Б Суммируя вероятности по столбцам (см. табл. 5.4), находим: Р(У =3) =Р(Х = 3, У=3)+Р(Х =5, У=3) =027, Р(У = 8) = Р(Х = З 1 = 8) + Р(Х = 5 1 = 8) = 0 4З Р(У = 12) = Р(Х = 3, У = 12) + Р(Х = 5, У = 12) = 0,30. Ряд распределения случайной величины У представлен в табл. 5.6. б. Используя определение 5.3 совместной функции распределения и то, что событие (Х < 4,5, У < 8) совпадает с событием (Х = 3, У= 3), получаем Р(4,5, 8) =Р(Х < 45, У < 8) = Р(Х = 3, У = 3) =017. 201 Б.б. Решеиие типовых примеров Аналогично событие (Х < 9,У < 11) совпадает с объедине- нием непересекающихся событий (Х = 3, У = 3), (Х = 3, У = 8), (Х = 5, У = 3) и (Х = 5, У = 8), и, значит, 7(9,11)=Р(Х<9,У<11)=Р(ХееЗ,УееЗ)+Р(Х=З,Уее8)+ + Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) = 0 70.
Наконец, Р(4 < Х < 9, 8 < У < 1Ц = Р(Х = 5, У = 8) = 0,30. Пример 5.10. Совместная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины 1Х, У) имеет вид и (х,у) = — ~ахеей - + †) ~вгсг8 — + †) (а > 0,6 > О). тз~ а 2)~ 6 2) Найдем совместную плотность распределения. Воспользовавшись равенством дхР(х,у) д" дхду получим Пример 5.17. Совместная плотность распределения непре.
рывной случайной величины 1Х, У) имеет вид С р(х у) ( з , уг, „) . Найдем: а) постоянную С; б) частные плотности распределения случайных величин Х и У. 202 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а. Постоянную С находим согласно свойству 3 совместнои плотности распределения Вычисления интеграла с помощью перехода к полярным коор- динатам (7П) дают: +00+00 20 +со Сдхду рдр (хг+уг+я)2,/ ~ Г (р2+я)2 СО 00 О рддр Стт Поэтому С = 1. б. Частпные плотпностпи распределения случайных величин Х и 1' вычисляются в соответствии со свойством 7 совместной плотности распределения: +со +00 ду тг Рх(х) = РхУ(х,у)<Ь вЂ” ( г+ 2+ )г 2( л+ )зГг +00 Г ах з Ру(у) = Рху(х,у)д ~ (хг+уг+,)г 2(уг+„)зГг' Пример 5.18.
Сов.иестпнал плотпностпь распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, 1') имеет вид х<0 или у<0; ~ о * "1пгЗ, х>0 и у>0. 203 5.6. Ретеаве типовых лрямеров Найдем: а) совместную функцию распределения; б) частные плотности распределения случайных величин Хи У; в) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2, 1), В(2, 2) и С(5, 1). а. Совместная функция распределения Р(х,у) =0 А при х < 0 или у < О, а при х > 0 и у > О, согласно определению 5., я 9 9 Р(х Р) — 1 (3 " "1тРЗ~1пДе = ~1н 3-™-м1п'ЗНе = х~р) о о о о 3 "1 3 1п 3 "1пЗ 1о =(1 — 3 *)Р— 3 ").
о о б. Частная плотность распределения случайной величины Х равна 0 при х < О, а при х > 0 имеет вид рл(х) = 3 * "1п Зду=З *1пЗ. о Аналогично частная функция распределения случаинои величины У равна 0 при у < О, а при у > 0 определяется выражением ру(р) = 3 * "1п З~Ь = 3 "1пЗ. о в. В соответствии со свойством 6 (см. теорему 5.2) совмест- ной плотности распределения вероятность попадания случаино- го вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2; ), А 2 1) 204 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В(2;2) и С(5;1) находим по свойству 6 теоремы 5.2: Р1(Х;У) е Щ = р(х,у)ахау, где область В представляет собой рассматриваемый треугольник (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
