Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Какие случайные величины называют независимыми? 5.15. Могут ли случайные величины быть независимыми попарно,но зависимыми в совокупности? 5.16. Как проверить независимость двух дискретных случайных величин? 214 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 5.17. Как проверить независимость двух непрерывных случайных величин? 5.18. Запишите выражение совместной плотности распределения для двух нормально распределенных независимых случайных величин. 5.19. Запишите выражение совместной плотности распределения двумерного нормального закона (в общем случае). 5.20. Что называют вектором средних и матрицей ковариаций двумерного случайного вектора, имеющего нормальное распределение? Чему равен коэффициент корреляции координат двумерного случайного вектора, имеющего нормальный закон распределения? 5.21.
Запишите выражение плотности п-мерного нормального распределения. 5.22. Что называют вектором средних значений и матрицей ковариаций многомерного нормального распределения? Чему равен коэффициент корреляции координат и-мерного случайного вектора, имеющего многомерное нормальное распределение? 5.23. Какой нормальный закон называют стандартным? 5.24. Что называют эллипсом рассеивания двумерного нормального закона? Как определить угол поворота осей симметрии эллипса рассеивания двумерного закона относительно осей координат? 5.25. Что называют эллипсоидом рассеивания многомерного нормального закона? Как можно получить и-мерный случайный вектор, распределенный по произвольному нормальному закону, с помощью п-мерного случайного вектора, распределенного по стандартному нормальному закону? 5.26. Какие свойства многомерного нормального распределения Вы знаете? 215 Воиросы и задачи 6.2Т. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Р(х,у) = — (4агс18хагс18у+ 2з агсвйх+ 2иагсвйу+ к ).
1 2 4з2 5.28. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения х < 0 или у < 0; О, вши+ в1оу — вш(и+ у) 0<х<— 2 0<х<— 2 х> — иО 2 х> — ну 2 и 0<у< 2,. и у>з/2; 2 Ф вши — сова+ 1 2 вшу — сову+ 1 > < у < —. >- 2 Найдите: а) вероятности событий (з/12 < Х < у/4, (я/12 < У < я/4), (Х > я/4, У > я/4) и (Х < я/3, У > я/6); б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Вычислите: а) вероятности событий (-1 < Х < 1, 1 < У < ~/3) и (Х >1,У> ~Г31; б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: а) Р( — 1 < Х < 1, 1 < У < ~ГЗ) = 1/24, Р(Х > 1, У > ~ГЗ) = = 1/24; б) Гх(х) = — (2агсМх+ и), Ру(у) = — (2агсФКу+ к); в) да, являются. 216 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0 т в е т: а) Р(х/12 < Х < гг/4, я/12 < У < л/4) = (2~/3 - 3)/4, Р(Х > х/4, У > гг/4) = (~/2 — 1)/2, Р1Х < «/3, У > и/61 = 1/2; 5.29. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х, У) задано табл.
5.10. Найдите: а) ряды распределения случайных величин Х и У; б) значения совместной функции распределения Р(х,у) случайных величин Х и У в точках (2,5; 25) и (9; 11), а также вероятность события (2 » (Х < 9, 10 < У < 30); в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Тайища $.10 Ответ: а) ряды распределения случайных величин Х и У приведены в табл. 5.11 и 5.12; б) Р(2,5, 25) = 0,17, Р(9, 11) = 0,14, Р(2 < Х < 9, 10 < У < 301 = 0,50; в) нет, не являются. О, ( ) иве — сезя+1 2 11 О, вв Гà — сов Н+ 1 2 1, в) нет, не являются.
х< 0; 0 < х < х/2; х > х/2; 9<0; О < у < х/2; р > х/2; 217 Вопросы и задачи Таб ища 5.11 Таблица 5.13 5.30. Найдите совместную плотность распределения для непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) из задачи 5.28. Ответ: О, хф(О,Д илирф(0,-]; х Е (О, -] и 1( Е (О, -] . 5.31.
Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) имеет вид О, (х-3) +(р-2) >4; р(х,Я= С(3-Д(,-3) 4(3-3) ), ( -3)'4(3-3)~44. хФ[1,5); О, — (3~/4-( -3)3— 3 ~ 8~г ~ -( -3)'1 '+"' ' " ), 4(1,3); б) рх(х) = Найдите: а) постоянную С; 6) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; в) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в круг (х-3)2+ Ь-2)2 (1; г) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: а) С = 3/(8я); 218 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ о, у к [0,4]; — ~2~/4 — (у — 2) 8к ~ -(у — 2~~1 ~ ), рб $0,4Я; Ь-г! руЫ = в) Р = 1/2; г) нет, не являются. О, х<Оили у<0; Р((~ Я) с -4х-гя Найдите: а) постоянную С; б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в область, ограниченную прямыми у = х, х + у = 2 и х = 0; д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: а) С=8; О, х(~0 или р((0; б) г(х,р) = ~(1-е ~)(1-е г"), х)Оку)0; ) Рх(х) = 4 -4* О. РУЫ = 2 -гУ ~4е *, х)0; ~ 2е ", у)0; г) Р = 2(1 — Зе 4+2е е)/3; д) да, являются. б.33. Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно в квадрате с вершинами (О, 0), (О, 1), (1, 0) и (1, 1). Найдите: а) совместную плотность распределения; 3.32. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) имеет вид Вопросы и эаяачп 219 б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в круг (х — 1)2+(у-1)2 <1/2; д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: ) О, хф[0,1]илиуф[0,1]; 1 1, хЕ[0,1]куб[0,1]; О, х<Оилиу<0; ху, 0<х<1иО<у<1; б) Р(х,у)= х, 0<х<1иу>1; у, х>1иО<у<1; 1, х>1иу>1; ) О, х к [О, 1]; 1 О, у ф [О, 1]; 1, х Е [О, 1]; ][ 1, у б [О, 1]; г) Р = я/8; д) да, являются.
5.34. Непрерывная двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную плотность распределения С 1+х2+у2+х2у2 Найдите: а) постоянную С; б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках (-1; 1), (1; 1) и (О; 0); д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. 220 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Ответ: а) С=1/я; б) Р(х,у) = ~-агсф3х+-)~ — агс13у+-~; 71 1ъ 1 1 в) Рх(х) = 1 РУ(9) = г) Р = —; д) да, явапотся.
1 5.35. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х, У) задано в табл. 5.13. Проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Таблипа 5.13 Ответ: да, являются. 5.36. Двумерная случайная величина (Х1, Хз) распределена по нормальному закону с вектором средних т71 = (2, О) и матри- 1 /25 71 цей ковариаций Е = — ~ (. Найдите: 576 1 7 25( а) оси рассеивания двумерной случайной величины (Х1, Хз); б) вероятности события (Х1 ) 2,28) и (-0,2 < Хз < 0,2); в) вероятность попадания двумерной случайной величины (Х1, Хз) внутрь эллипса 25х~1 — 14х1хз + 25хз ~— 100х1+ 28хз+ +98 =0. Ответ: а) х1 — хз = 2 и х1+ хз = 2; б) Р(Х1 ) 2,28) ж 0,159, Р(-0,2 < Хз < 0,2) - 0,711; в) Р =1 — е 1-0,63.
5.37. '11зехмерный случайный вектор Х = (Х1, Хз, Хз) распределен по нормальному закону с вектором средних значений 221 Вохросы х заяочх гй = (-2, О, 1) и матрицей ковариаций 13 5 2 Е= — 5 35/2 7 81 2 7 19 Найдите: а) плотность распределения случайного вектора Х; б) одномерные плотности распределения случайных величин Х1, Хз и Хз. Ответ: а) рХ(У) = ехр~ — — ~7(х1+ 2) (1/2~г)з91/2 324 -4(х1+2)хз+бхз-4хз(хз — 1)+5(хз — 1) ]~.
9 81(х+2) 9 Д 81х б) рх,(х) = е 28 , рх,(х) = е зз , 1/2гг1/13 ' 1/2~г1/35 9 81(х — 1) рх(х)= е 88 5.38. Независимые случайные величины Хд и Хз имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями гпх, = 3 и гпх, = 2 и средними квадратичными отклонениями ггх, = ох = 0,5. Найдите радиус В круга с центром в точке (3; 2), вероятность попадания в который равна 0,997.
Ответ: В 0,45. 6. <РУ'НКЦИИ ОТ СЛУ СВАЙНЫХ ВЕЛИЧИН На практике очень часто встречается случай, когда рассматриваемая числовая величина У является функцией от одной Х или нескольких Хь ..., Х„числовых величин, т.е., как говорят, связана с этой или этими величинами функциональной зависимостью У = У(Х) или У = У(Хы...,Х„). Очевидно, что если величина Х или величины Хы ..., Х„, через которые выражается У, являются случайными, то и У также будет случайной величиной.
Таким образом, мы приходим к понятию функции оти случайной величины Х или ощ случайного вектора (Хы ..., Х„), которое будет рассмотрено в настоящей главе. 6.1. Примеры функциональной зависимости между случайными величинами Прежде чем переходить к строгому математическому определению функции ош случайной величины и выводу формул, связывающих законы распределения аргумента и самой функции, остановимся несколько подробнее на описании функциональной связи между случайными величинами и приведем поясняющие примеры. В предыдущей главе были рассмотрены многомерные случайные величины, или случайныг вентаоры. Было показано, что полное вероятностное описание многомерного, в частности двумерного, случайного вектора состоит в задании совмгсганой функции распределения. Если же нам известно, какое значение приняла одна из координат двумерного случайного вектора, то вероятностные свойства второй координаты определяются б.1.
Примеры фуиилиоиваьиой зависимости 223 условиым заковом распределения, который будет рассмотрен ниже в 8.1. Однако условная функция распределения отражает только вероятностную, или стохастическую, связь между случайными величинами, а предсказать точное значение одной случайной величины по значению другой, вообще говоря, невозможно. Более того, как мы теперь знаем, для весьма часто встречающихся в реальной жизни независимыз случабкыя величии по значению одной случайной величины нельзя судить о значении другой, и в этом плане независимость нужно признать крайним случаем стохастической связи. Еще один крайний случай стохастической связи между случайными величинами, также постоянно используемый на практике, заключается в том, что по значению одной случайной величины можно однозначно определить значение другой; его называют функциональной зависимостью между случайными величинами.
При этом говорят также, что вторал случайная величина является функцией от первой случайной величины. Аналогично вводят скалярную и векторную функции от случайного вектора. Рассмотрим примеры. Пример 6.1. Для измерения недоступного предмета, например высоты Н трубы, с помощью угломера используют функциональную зависимость (рис. 6.1) Н = а 18св, где а— размер „базы"; а — угол, под которым видна труба. Однако если размер а можно измерить практически точно, то вследствие погрешностей иэ- Н мерений, присущих угломеру, свнеобходимо считать случай- а ной величиной. Таким обра- з зом, приведенная вьппе формула задает функциональную Рис. 6.1 224 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН связь между измеренным значением угла а и полученной по этой формуле высотой Н трубы.
Пример 6.2. Пусть Х и У вЂ” измеренные (с погрешностями) длины катетов прямоугольного треугольника. Тогда функциями от двух случайных аргументов Х и У будут: Ь = ~Х+У~ — найденная по теореме Пифагора длина гипотенузы; Я = ХУ/2 — вычисленная площадь этого треугольника. Пример 6.3. Предположим, что на плоскость в соответствии с некоторым вероятностным законом случайным образом бросают точку и измеряют ее полярные координаты р и <р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
