Печинкин, Тескин, Цветкова и др. - Теория вероятностей (1077486), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда формулы Х = реева и У = рвш~р перехода от полярных координат р и ~р к декартовым Х н У (ПЦ определяют векторную функцию от векторного аргумента. 6.2. Функции от одномерной случайной величины Пусть на вероятпостпном простпрапстпве (Й,В,Р) задана сяучайпая величика Х = Х(и). Рассмотрим действительную функцию р = У(х) действительного аргумента х (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины Х). Определение 6.1.
Случайную величину У, которая каждому элемептпарному исходу ы ставит в соответствие число У(и) = У(Х(ш)), называют фуккиией У(Х) (скаллрко6) отп скалярной слу- чайной величины Х. Функция У = У(Х) от дискретпой случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она о.г.
Фуиклии от одиоавриой слутвйиой величавы 225 не может принимать больше значений, чем случайная величина Х. Очевидно, что если случайная величина Х имеет рлд распределения, представленный в табл. 6.1, то ряд распределения случайной величины У = У(Х) определяется табл. 6.2. Таблица 6.1 Таблица 6.9 При этом, если в верхней строке табл. 6.2 появляются одинаковые значения У(х;), соответствующие столбцы нужно объединить в один, приписав им суммарную веролтиностпь. Пример 6.4.
Рассмотрим игру „Спортлото 6 из 49". Поставив на некоторые фиксированные номера, мы в результате рсюыгрьппа получим случайную величину Х вЂ” число угаданных номеров. Число угаданных номеров имеет гцнергеометирцчвское распредвленце (см. 2.2, а также задачу 2.36), в котором и = 2, п = 49, п~ = 6, цз = 43 и тп = 6, а значит, вероятность угадаты, 1 = О, 6, номеров определяется формулой Проводя вычисления, получаем ряд распределения случайной величины Х, представленный в табл. 6.3. Таблица 6.6 Х 0 1 2 3 4 5 6 Р 0 4360 0 4130 0 1324 0 0176 0 00097 1 8.
10-в 7. 10-в 8 Однако случайная величина Х нас не интересует, для нас важен выигрьпп, связанный с числом угаданных номеров Х. Рассмотрим идеализированный вариант игры, при котором, не угадав ни одного или угадав один или два номера, мы проигрываем (с учетом платы за билет) 0,3 р., угадав три 226 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН номера, получаем выигрыш 2,7 р., угадав четыре номера— 54,7 р., пять номеров — 699,7 р.
и шесть номеров — 9999,7 р. Выигрыш У зависит только лишь от числа угаданных номеров, т.е. представляет собой функцию от случайной величины Х: У = У(Х). При этом числовая функция У(я) определена формулами: У(0) = У(1) = У(2) = — 0,3, У(3) = 2,7, У(4) = 54,7, У(5) = 699,7, У(6) = 9999,7. Ряд распределения случайной величины У получаем из ряда распределения Х (см.
табл. 6.3) заменой в верхней строке чисел 4 = О, 6 на соответствующие значения У(4) (табл. 6.4). Таблица 6.~ У -0,3 -0,3 -0,3 2,7 54,7 699,7 9999,7 Р 0 4360 0 4130 0 1324 0 0176 0 00097 1 8. 10-в 7. 10-в Осталось заметить, что в табл. 6.4 три первых столбца имеют одинаковые значения У, равные -0,3. Объединяя их в один, окончательно получаем ряд распределения случайной величины У, представленный в табл. 6.5. Таблица 6.6 У вЂ” 0,3 2,7 54,7 699,7 9999,7 Р 0 9814 0 0176 0 00097 1 8.
10-в 7. 10-в Реально при игре в „Спортлото" выигрыш У зависит от числа играющих, поставивпппс на ту или иную комбинацию, и в этом случае его нельзя считать функцией от числа угаданных номеров Х, а необходимо рассматривать более сложную модель, учитывающую вероятности (частоты) использования различных комбинаций номеров. В частности, нельзя (без обращения к „потусторонним" силам) изменить вероятность угадывания определенного числа номеров, но можно увеличить выигрыш, 6.2. Фуякляи от одвомеряой случвйиой ввличивы 227 ставя на „непопулярные" комбинации, которые, хотя и появляются с той же частотой, что и остальные, но приносят болыпий выигрьпп.
Однако риск от „непопулярных" комбинаций относится к сфере психологии, а не к теории вероятностей. Функция У = У(Х) от непрерывкой случайной величины Х может быть как непрерывной, так н дискретной (если, например, множество значений функции У(Х) конечное или счетное). Сформулируем правило определения функции распределения Ру(р) по заданной плотности распределения рх(х), пояснив идею вывода (при строгом выводе необходимо использовать понятие интеграла Лебега). В силу определения Р1.(у) представляет собой вероятность события (У < р), состояшую из тех элементарных исходов ш, для которых У(Х(ш)) < у. Для этих же элементарных исходов ш случайная величина Х(и) будет принимать свои возможные значения на некоторой совокупности (Ьь), я = 1,2, ..., непересекающихся промежутков числовой прямой В.
Иными словами, событие 1У(Х(м)) < р) эквивалентно событию 0(Х(м) Е Ь~), ь и, следовательно, по расширенной аксиоме сложения вероятностей Ру(р) = Р(У(Х(ы)) < р) = ~~> Р(Х(мь) Е Ь|). я Знал плотность распределения рх(х) случайной величины Х, имеем Р(Х(м) Е Ьь) = рх(х) Их, а следовательно, учитывая свойство аддитивности определен- ного интеграла, получаем ~0д=К~Ы )4~=~п~()и*, ~=оь~, ь а Ь где сумма может быть и бесконечной.
228 б. Функции От случАЙных Величин Поскольку совокупность промежутков (Ьь) определена как множество тех значений случайной величины Х(м), для которых У(Х(м)) < у, то для множества Ь = 0Ь|, по которому ь ведется интегрирование, принято обозначение: У(х) < у. Окончательно получаем Ру(р) = Рх(х) пх УОО<ь (6.1) Пример 6.5.
Случайная величина Х имеет стиакдартное нормальное распределение. Найдем распределение случайной величины У = Х~. В данном случае У(х) = х~, поэтому 1 Ру(у) = рх(х)дх= — / е * ~ Их. ~/2~г / Поскольку при у < О нет ни одного значения х, для которого х~ < у, то не существует ни одного о, для которого У(Х(ы)) = = (Х(м)) <у, и Ру(у) = О при у < О.
Последняя запись означает, что интегрирование проводится по всем тем значениям х, для которых У(х) < р. Множество таких значений может представлять собой совокупность промежутков, и тогда нужно использовать свойство аддитивности интеграла, а пределы интегрирования по отдельным промежуткам определяются их границами. Таким образом, формула (6.1) позволяет вычислять функцию распределения Ру(у) случайной величины У(Х) через плотность рх(х) распределения случайной величины Х. В случаях, когда функция У = У(Х) является монотонной или кусочно монотонной, формула (6.1) далее будет записана в более простом виде.
6.2. Функции от олиомерной случвйной величины 229 Если же у > О, то область 1х2 < у) совпадает с областью ( — /у < х < /у1, и, значит, или в силу четности у(х) «Ю Ру(у) = — е * /~дх. «/2~г l 0 Делал в последнем интеграле замену» = х2 при у > О, получаем -в 2 Р«(у) = — / — е *г~И». «/2и «/» О Следовательно (см. 4.1), Р (у) = р (у)1у, где О, у<О; нг(н — Е Н/2 >О «/О тир Так как «/й = Г~-~, где Г(х) — гамма-фукицил Эйлера /1« '«2~' [ХЦ, то плотность распределения ру(у) случайной величины 1' совпадает с плотностью гальке-распределения с параметрами Л =1/2 и у=1/2.
Замечание 6.1. Напомним (см. 4.6), что зту плотность распределения также называют плотностью Л2-распределения 230 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН с одной степенью свободы. Таким образом, Хэ-распределение с одной степенью свободы является распределением квадрата случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение. В общем случае в математической статистике используют Х~-распределение с п степенями свободы, которое, по определению, есть распределение суммы квадратов и независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону У Если функция У(х) является монотонной или кусочно монотонной, что обычно бывает в прикладных задачах, то закон распределения случайной величины 1' = У(х) в виде функции распределения или плотности распределения можно получить без интегрирования через функцию распределения или плотность распределения случайной величины Х.
Действительно, предположим сначала, что функция У(х) является непрерывной возрастающей (рис. 6.2) или убывающей функцией. В этом случае существует обратная функция (1] Рис. 6.2 б.2. Фуннлии от одномерной случайной величиям 231 и событие 1У(Х(ш)) < р) эквивалентно событию Х(ю) < ф(р)) (в случае возрастающей функции У(х)) или событию 1Х(о~) > > ф(р)) (в случае убывающей У(х)). Значит, для возрастающей функции У(х) РР (х) < р) = Р(х < ФЬ)), (6.2) для убывающей У(х) Р[У(Х) < р) = Р1Х > ф(р)). (6.3) Поскольку, согласно определению (4.2) функции распределения, Р1 Ь) =РР'<р) Р (р) =Рх(ФЬ)); (6.4) для убывающей функции У(х) Ру Ь) = 1- Рх(Ф(р)). (6.5) Напомним, что у1(х) = У 1(р) — функция, обратная к У(х). Пример 6.6.
Пусть случайная величина Х имеет непрерывную функцию распределения Р(х), которзл является возрастающей функцией. Рассмотрим случайную величину У = = Р(Х). Она принимает значение только на промежутке [О, 1). Обратная функция для функции Р ФЬ) =Р '(р) при р Е [О, 1[, очевидно, удовлетворяет тождеству Р(ФЬ)) =р и, следовательно, в соответствии с формулой (6.4) имеем для р Е [О, 1]: РуЬ) = Р(Р 'Ь)) = р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
