Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При опрелелении напряжения в какой-либо точке тела через эту точку моягно провести бесконечно большое число разно направленных плоскостей сечения. Для полной характеристики напряженного состоянии в данной точке надо знать не только величину и направление напряжения, но и наклон площадки. В дальнейшем мы увидим, как меняется напряжение в данной точке в зависимости от нзклона площалки, проведенной через эту точку. Понятия о деформации и напряжении являются основными понятиями сопротивления материалов.
контголъныа ВОпРОсы 21 5 5. Контрольные вопросы Что называется деформацией тела? Что такое упругость тела? Какая деформация называется упругой и какая пластической? Какие задачи решает наука о сопротивлении материалов? Какие основные требования предъявляются к проектируемым мавшнам и сооружениям? Как классифицируются нагрузки, действующие на части машин и сооружений? Что называется брусом, пластинкой н тонкостенной оболочкой? Какие основные виды деформаций вызываются внешними силами? В чем заключается метод сечения? Что называется напряжением? Какова размерность напряжения? Какое напряжение называется нормальным и какое касательным? ГЛАВА П РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ З 6.
Продольная деформация. Напряжение. Закон Гука Возьмем призматический брус (рис. 12) с постоянной плошадью поперечного сечения г"' еже. Нанесем на его поверхности острой иглой две неглубокие черточки на расстоянии 1 мм друг от друга. Теперь приложим по концам Рис. 12. бруса две равные и противоположно направленные силы, по Р кг каждая, так, чтобы эти силы строго действовали вдоль оси бруса. Брус, находясь в равновесии под действием растягиваюших сил, удлннится в продольном направлении, а поперечные его размеры несколько уменьшатся.
При этом ыы булем предполагать, что в рассматриваемом брусе все плоские сечения, нормальные к ог ~ бруса, остаются и после деформации плоскими и нормальными к его оси. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Она подтверждается опытными данными для сечений, достаточно удаленных от места приложения силы Р; принимая эту гипотезу, тем самым предполагают, что все продольные элементы бруса растягиваются совершенно одинаково. З 6) пгодольнля двеоемлция. нлпгяжвник. алкон гика 23 Тщательно измерив расстояние между двумя нанесенными черточками, ны найлем, что оно увеличилось и стало равным 1, мм. Удлинение бруса на участке г будет равно И=),— А Это прирашение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением лри растяжении; в случае сжатия брусз оно называется полным или абсолютным укорочением.
Б последнем случае величина М имеет отрицательный внак. Абсолютное удлинение, очевидно, зависит от первоначальной длины бруса. Поэтому более удобной мерой дефорлтиии является удлинение, отнесенное к единице первоначальной длины бруса. Отношение ЗГ абсолютное удлинение, мм а (4) первоначальная длина, мм называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением.
Относительное удлинение не имеет размерности, это отвлеченное число и часто выражается з процентах от первоначальной длины: ао/ — — ° 100 — а . ! 00о/ аг Лля определения напряжения в поперечном сечении, т. е. в сечении, перпендикулярном к оси бруса, применим общий способ, принятый в сопротивлении материалов, — метод сечений. Рассечем мысленно брус (рис. 12) на две части поперечным сечением ад и правую часть отбросим. )лля равновесия оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние силы упругости, направленные нормально к плоскости сечении.
Силы эти ааменяют действие удаленной правой части на левую часть бруса. Равнодействующая сила упругости будет действовать по оси бруса и по величине будет равна Р кг. Приняв гипотезу плоских сечений, мы тем самым предположилн, что при рзстяжении силы упоугости распределены равномерно по всему сечению, поэтому напряжение зо всех точкзх поперечного сечения будет определяться по формуле а = — кг/ам' Р Р 24 вастяжзнии и сжатии Напряжение это будет нормальным, так как оно направлено, как и сила Р, перпендикулярно к плоскости поперечного сечения.
Сила Р измерялась в килограммах, площадь Е— в квадратных сантиметрах, поэтому напряжение е будет иметь размерность кг!сага. В случае сжатия бруса напряжение вычисляется по той же формуле Гб), так как здесь изменяется только направление сил. Величина напряжения при растяжении и сжатии ие зависит от выбора места сечения по длине бруса. Во всех поперечных сечениях предполагается равномерное распределение упругих сил, и только в сечениях, расположенных вблизи точки приложения внешней силы, нельзя ожидать равномерного распределения напряжений. Определение напряжений в таких местах представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.
Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулированз впервые Робертом Гуком в 1678 г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в сопротивлении материалов.
При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напра>кением и относительной деформацией: е = Ее. (6) Пропорциональность эта нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности. Предел пропорциональности для материалов устанавливается опытным путем. Коэффициент Е, входящий в формулу (6), называется модулеж упругосл>л первого рода или модулем Юнга, по имени ученого, введшего его в науку.
Из формулы (6) видно, что размернойть модуля упругости Е такая же, как и напряжения, так как е — величина отвлеченная, т. е. Е выражается в кг1глгз. При одном, и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала, т. е. способность сопротивляться деформации, что и следует из формулы (6): й 6] продольнля дееоемлция. напряжения. закон гукл Яа> закон Гука, можно написать и в дру~ом виде, подставляя в нее вместо е и е их выражения: Е а ке>еаи Материалы 2 ° 1Ое — 2,2 ° 10а 0,75 ° 10а — 1,б ° 1 0" 1 10а 1,2 1Оа 1,0 1(Я 0,075 10а 1 ° 1О" Сталь Чугун Медь . Бронза Титан Алюминий Лерево .
Р а1 е=.-- и а= — —; Г. при этом получим: Р1 И=ю. (7) Из агой формулы следует, по удлинение (укорочение), получаемое брусол>, прямо пропорционально растягивающей (с>кпмаюнгей) силе, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и величине модуля упругое>н материала. Произведение, стоящее в знаменателе формулы (7), т. е.
ЕР, называется лсесткостью при растяжении (сжатии). Чел> жесткость бруса будет больше, тем при одной и той же ллине он получит меньшую деформацию. Жесткость харак- теризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры сечения. Формула для напряжения(5) и закон Гука (6) или (7) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие. Пример 1. Определить относительное удлинение стержня, если первоначальная длина его 1 = 250 мм, а длина после растяжения 1> — 250,5 мм.
Реа>ение. Абсолютное удлинение стержня равно: 51=-1> — 1= 250,5 — 250 = 0,5 мм. Относительное >длииение стержни 51 0,5 1 ' 0 250 Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. В таблице 1 даны средние значения Е для некоторых материалов при комнатной температуре. Для материалов, не подчиняющихся закону Гука, как-то: камень, цемент, кожа и др.,— пользуются степенной зависимостью: ею =- Ее. Показатель ла, вообще говоря близкий к единице, подбирается опытным путем. Таблица 1 формулу (6), выражающую значения модуля упругости 26 [гл. и влстяженяв и сжлтия Выражая относительное удлинение в процентах, получиш еа/а —— 0,002 ° 100 в 0,2а/о Пример 2.
Круглый стержень диаметром Я= 2 см и длиной ! = 2 м при растяжении силой Р 800 кг получил абсолютное удлинение Ы = 0,5 мм. Определить модуль упругости Е материала, если известно, что напряжение в стержне ве превосходило предела пропорциональности. Решение. Из формулы (7) имеем: Р! 800 ° 200 Е = — 1 020 000 кг/см'. РЫ 3,14 2г 005 4 Пример 3. Определить напряжение, относительное и абсолютное удлинение (пренебрегая собственным весом) в стальной штанге, если растягнвающая сила Р 3 т, длина штанги ! 2 м, плон!аль поперечного сечения Р = 4 с.иг. Предел пропорционааьности данной стали равен 2500 кг/см', модуль упругости Е 2 ° 10г кг/слР. Решение. Напряжение в штанге по формуле (5) будет равно Р 3000 а — — =?50 кг/смг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
