Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(3.38) коктурА, Для прямоугольной системы координат х, у, и гп = (Х2 — Х1) с + (У2 у)) ! + (22 — зс) 1с, и, = 1,1+ т1! + п,1с, е(з = е(хт 1+ е(У21 + е(22 1с. (3.39а) (3. 39б) (3.39 в) Подставляя эти выражения в (3.38), получаем )Т,С, (21 — 2,) 4У вЂ” (Уг — У1) дхт ГВА1-Ат = -к '~' 1 + контур А, Тк 1 Д (хт — х1) а12 — (хт — 2 ) т(х контур А, + п1 $ (У, — 1),) Ых — (хт — х,) ЫУТ вп Г контур А, (3.
40) где Г2 = (х2 — х,) + (у2 — у1)'+ (и, — 21)2 н („т„п, — направляющие косинусы. Ии)егрировапие по контуру поверхности А2 в (3.40) следует выполнить описанным выше способом. Если оси координат ориентированы таким образом, что единичный вектор нормали п1 к элементарной площадке е(А1 параллелен одной из осей координат, то направляющие косинусы п 1 относительно двух других осей становится равнымн нулю и два интеграла в (3.40) пропадают. Кроме того, если одна из границ поверхности А2 параллельна оси координат, интегрирование также упро1цается.
б) Диффузный средний угловой коэффициент между поверхностями А, и Ат. Рассмотрим диффузный средний угловой коэффнциеит ГА1-А, между поверхностямн А) и Ал определяеммй выражением ') А1уА,-А, = ~ увА,-А,Г(Аь (3.41) А, Подставляя гвл, А, из (3.40) в (3.41), после преобразования интегралов получим контур 1 А + Тут Г ! ( 2 1) 1 (Хт Х1)п1,( 1 1,( 1 У2+ контур А, А, — [[ ' ' ', "' Т'1' КА„]нть 11,111 Г контур А. Заменим интегралы по поверхности в этом выражении иа соот- ветствующие интегралы по контуру.
Первый интеграл по поверх- ности А1 в (3.42) можно записать в виде "' ' уА,=- ']п1 (УХУ,)1(Ап (3.43) А, А где д и, — = !11+)т, + 1сп„У=! —, +1 дх, Применяя теорему Стокса, получаем (уг — у1) Л 1 — (21 — 21) л11 Г с(А1 = — + 1с —, д д ду1 дх, У, =! 1пг. У1 ° е(з1 = а!иге(х„ нантур А, контур А, А, (3.46) где У,=1!пг и У,=1с!пг. Подставляя (3,44) — (3.46) в (3.42), получаем выражение '~11'Ат-Ат ~ 1З) $ !П 1'Е(Х1) Е(Х2+ контур А Т.контур А, + — „$ ( $1п ге(у1) Г(ут + контур Л, контур Л, + —, $ ( $1п г 1421) г(з„(3.47а) контур А, кконтур А, (3. 44) так как т(з, = ! Г(х1 +)е(у1+ )с е(21.
Аналогично остальные интегралы в (3.42) примут вид (21 — 21) (1 — (Хт — Х 1) Л1 с(А1 = $ У2 ° е(з1 = $!п г е(у„ А, контур А, контур А, (3.45) ' с(А1= $ У, туз1 = $(пге(зс, А~ контур А, контур А, Угловые ноэффицаенты 149 146 Глава 3 которое можно переписать в виде А,РА,-А, = — (!п г е)х е)х,+!иге)уг е)у,+!иге)за е)з,), (3.475) контур А, «онтур А, где г= ту (х, — х,)г+ (уг — у,)г+ (нг — з,)г.
В качестве иллюстрации применения метода контурного интегрирования рассмотрим примеры расчета величин гвл, хч и гл,-л, для некоторых простейших конфигураций. 77ример !. Рассмотрим параллельные элементарную площадку е)А1 н прямоугольник Аг (фиг, 3.5). Площадка е)А1 параллельна плоскости ху и расположена на оси оу на расстоянии ег от начала координат. Один из углов прямоугольника Аг расположен на оси он, а его стороны а и а параллельны осям ох и оу соответственно. Координаты площадки е)АО х1 = О, у, = е), н, = О; направляющие косинусы единичного вектора нормали п1 к площадке т!Ап !1= О, т~ = О, и, = !.
При подстановке этих координат и направляющих косинусов в уравнение (3.40) получаем г" — = — су' ' ' ' ' (3 48) контур Л ха+ (вг т') + а где хъ уг, с — координаты любой точки па поверхности Аг. Разделим контур Аг па четыре участка (1, 11, 1!1 и !'нт) и выберем х Фиг. З.6. Расчет диффузного локального углового коэффициента Рал 1 Лт методом контурного интегрирования.
направление интегрирования, как показано на фиг. 3.5. Пределы интегрирования для каждого участка равны: участок 1: ха=- О, е)ха= О, интеграл равен нулю; участок 11: у,=б, е)уз=О, хг изменяется от О до а; участок!11: ха=а, е)хе=О, уг изменяется от Ь до О; участок 1Ч: у,=О, е)уз=О, х, изменяется от а до О. С учетом указанных пределов интегрирования интеграл (3.48) принимает следующий вид: а 1 Г б — и гвж-лт = — ~О + г г 2 ,'+ 1~ — ~)'+" о о 1.
(.) р,-ь х,=о Вычисление входящих в (3.49) интегралов не представляет труда. Пример 2. Применим метод контурного интегрирования для определения диффузного среднего углового коэффициента гж-л, между двумя параллельными прямоугольниками А, и А„ расположенными на расстоянии с !фиг. 3.6). Для определения этого углового коэффициента воспользуемся уравнением (3.47б), принимая во внимание, что в выбранной Фиг. 3.6. Расчет диффузного среднего углового коэффициента РА А мета. дом контурного интегрирования.
1бо Угловые коэффичигкты ГАПВП В 151 пса[риал с! системе координат л! = О, а дд = с для поверхностей А! и Аа соответственно. Тогда с)я1 — — с(ла = 0 и уравнение (3.47б) принимает вид 2пА!РА, А, = $ $ (1пгс(х,с(х1+(пгс(нас(л1) (350) контур А, контур А Разделим контуры прямоугольников А! и Ат на четыре участка (фиг, 3.6) и интегрирование в уравнении (3,50) выполним сначала по контуру Ам а затем по контуру А1. Учитывая, что в интеграле по контуру Аа на участках 1 н 111 с(ха = О, а на участках 11 — 1У с(уд — — О, получаем Р [ 1 ~ 1*! т !т, — т,!' т '! кт,) кт, т коптур '1 ус=с и 1„„,1*.! 1с — а1'-"! контур А ~ кс — — О о коктУР А~ ос=а Г о 1т.к О контур А~ к,=о Выполняя аналогичным образом интегрирование по контуру А1, получаем о ь 2яайРА, А,= ~ ~ 1П[(уа — у1)а+Си]чтг(у,г(у1+ д;Р Р,=Ю о о + ~ ~ 1п [ад+ (уа — у1)д+ сд]Ь г)утг)у+ Р,=Ь д,=р + Интегралы по участкам 11, 111, 1У.
(3.52) Окончательный результат можно получить с помощью стандартных таблиц интегралов. 3.4. ДИФФУЗНЫЙ ЛОКАЛЬНЫЙ УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ПЛОЩАДКОЙ И БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ ПОЛОСОЙ Рассмотрим элементарную площадку а1А1, расположенную в начале координат в плоскости ху, и бесконечно длинную полосу Аа с образующей, параллельной оси х (фиг. 3.7). Пусть а(т — линия пересечения прлосы Аа с плоскостью Оя, а Р!Ра н срд— Фиг, 3.7.
Диффузный локальный угловой коэффициент между элементарной площадкой пА! и бесконечно длинной полосой Аь углы между осью оя и линиями оа и О(т соответственно. Угловой Козффнцнвит С(РВА, — полоса ил, Мсжду ЭЛЕМЕитар пой Пиощадной с(А! н бесконечно длинной элементарной полосой с(АР определяется следующим простым соотношением; ! ! с(РвА,— по оы вА, = ~ соз!Рс(!Р = ~ с((в(пРР), (3 53а) а уГЛОВОй КОЭффицИЕНт РВА — покоса ПА, МЕжду ЭЛЕМЕНтарНОй ПЛО- щадкой с(А! н бесконечно длинной полосой А, получается интегрированием выражения (3.53а): оь ! 1 РВА,— полоса А, = ~ г Соа Рр С('р = г [З1П Ррд В1П Рро], (3.53б) оп что впервые было сделано Хоттелем, Подробный вывод этой формулы приведен в книге Якоба [9]. Формула остается верной и в случае, когда элементарная площадка с(А! представляет собой элементарную полосу, расположенную в плоскости ху пэ]Раллельно оси Ох. 1в2 Глава 3 !33 угловьге коэффициенты 3.5.
АЛГЕБРА ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Диффузные угловые коэффициенты для тел сложной формы часто могут быть выражены через известные угловые коэффициенты для более простых тел при помощи принципа суперпозиции и соотношений взаимности для угловых коэффициентов. Примеры использования такого подхода, известного под названием алгебра диффузнотх угловых коэффициентов, приведены в работах (1, 7]. Ниже рассмотрены некоторые наиболее простые из этих примеров а) Диффузный локальный угловой коэффициент между поверхностями етА1 н Аз, расположеинымн параллельчо друг другу. Рассмотрим параллельные элементарную площадку е(А1 н прямоугольник Аг (фиг.
3.8). С помощью алгебры диффузных угловых коэффициентов определим угловой коэффициент г" ВА — А через известный угловой коэффициент гил, А, между поверхностями е(А1 и А, (фиг. 3.9). Сначала представим Аз как алгебраическую сумму таких площадей Ае (1= 3, 4, 5, 6) (фиг. 3.!0), для которых угловые коэффициенты Рил, А, (1=3, 4, 5, 6) можно было бы определить по графику, приведенному на фиг.
3,9. Из условия сохранения энергии излучения, испускаемого г(А1 иа Аз, коэффициент гил А может быть получен путем супернозиции коэффициентов геА, Ае В виде А — ~„„А — г"ел А + г" А А, (3.54) 1 Е поскольку Аз = Аз — Ае — Аа+ Аа (3.55) Угловые коэффициенты н правой части уравнения можно определить по фиг. 3.9. г 1г— 1 1 1 1 ,~ЯДР Нлх фнг. З.В. Взаимное положение поверхностей гГА н .л . 1 Ай' 0,5 0,4 о.з о,г 0,1 О,оз 0,06 0,05 0,04 0,ОЗ о,ог о,о1 О,ООВ 0,006 Ц005 0,004 о,ооз о.оог Оыииигаииа иа/В Фнг 39 Днффузнын локальный угловой козффнннент Рлл А (7) б) диффузный средний угловой коэффнцнент между поверхиостямн А, н Аа.
Рассмотрим два прямоугольника А1 и А,' (фиг. 3.11). Диффузный средний угловой коэффициент гл А е между поверхностями А1 и Ан определяется суперпозицией коэффициентов гл,-л, между прямоугольниками А1 и А, (фиг. 3.19). Для удобства введем обозначение ~а-а — '4а~а-в (3.56) Тогда соотношение взаимности для диффузных угловых коэффициентов между поверхностями А„и Ав примет вид ~а-а ~а-а (3.57) Арифметические действия, применимые к угловым коэффициентам для сложной системы, могут быть записаны более компакт- 154 Глава 3 13.60) 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
