Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Диффузный средний угловой коэффициент между поверхностями А2 и Аг (фиг. 3.1) 140 Глава В Угловые коэффициенты 141 определяется следующим образом; [ Энергия излучения, испускаемого поверхностью Аг и непосредстаегщо достигающего Аг г'Лг-Лг [ Полная энергия излучения, испускаемого поверхностью Аг во всех панранленнвх а пределах полусферического телесного угла Если 7, пе зависит от направления и постоянна по всей поверх- ности Аг, то из (3.12) получаем 1 Г Г соз йг соз йг Рл,-лг = А ) ) ', е(Аге(А,.
(3.13) л, л, Выражение для диффузного среднего углового коэффициента между поверхностями Аг и Аь когда уг не зависит от направле- ния и постоянна по всей поверхности Аг, получается непосред- ственно из (3.13) путем простой перестановки индексов 1 н 2; 1 Г Г соз Ог сов Ог Рм-лг А 1г 1г г е(Аг е(АП (3.14) л, л, Из (3.13) и (3.14) получаем следующее соотношение взаим- ности: (3.15) Агул, л, = Агул,-ли СВОЙСТВА ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Выше речь шла о диффузных угловых коэффициентах между двумя поверхностями. Рассмотрим теперь свойства диффузных угловых коэффициентов между поверхностями замкнутой системы, состоящей из АГ зон. Предположим, что каждая зона является изотермической с диффузно излучающими и диффузно отражающими поверхностями площадью Ат (г = 1, 2, ..., АГ) н что интенсивность излучения постоянна в пределах каждой зоны.
Тогда для угловых коэффициентов между двумя поверхпостямн А; и А„замкнутой системы соотношение взаимности имеет следующий вид: А;Рл, л — — А1Рл л., (3.16а) которое можно записать более компактно: А,рг-! — А1р1-г. (3.166) Угловые коэффициенты для замкнутой системы подчиняются следующему правилу суммирования (аксиома замкнутости); Х Р, а=(. (3.!7) Физический смысл этого выражения очевиден из определения углового коэффициента.
Если поверхность Аг плоская или выпуклая, излучение, искускаемое этой поверхностью, на нее непосредственно пе попадает, Если поверхность вогнутая, то часть ее излучения возвращается па нее же. Следовательно, Рч, = 0 (плоская или выпуклая поверхность), (3.18а) Р„ Ф 0 (вогнутая поверхность). (3.186) МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Определение диффузного углового коэффициента между двумя элементарными площадками в соответствии с (3.5) не представляет труда.
Однако вычисление локальных и средних угловых коэффициентов требует одно- и двукратного интегрирования по поверхности. Такие интегралы, за исключением случаев самых простых форм поверхностей, довольно сложны. Гамильтон и Морган [1] вычислили диффузные угловые коэффициенты для простых конфигураций, включая прямоугольники, треугольники и цилиндры, и представили результаты в виде графиков н таблиц.
В работах [2 — 4] собраны угловые коэффициенты для различных тел простой формы. Источники, содержащие определения угловых коэффициентов, сведены в таблицу в книге Хауэлла и Энгеля [51 Сводка других данных по угловым коэффициентам приведена в работах [6 — 81 Различные аналитические и экспериментальные методы определения диффузных угловых коэффициентов описаны в книге Якоба [01 В работе [10] представлена программа расчета угловых коэффициентов для цилиндрических ребер, составленная на языке ФОРТРАН.
Ниже рассматриваются некоторые аналитические методы, применяемые для расчета диффузных угловых коэффициентов. 3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ Для иллюстрации метода расчета диффузных угловых коэф. фициентов прямым интегрированием рассмотрим пример, заимствованный у Гамильтона и Моргана [11 Определим диффузный локальный угловой коэффициент Рвл,-л, между элементарной площадкой г)Аг и поверхностью Аг, расположенными под углом ср (О ( гр (180'), как показано на фиг. 3.2.
Выделим на поверхности Аг элементарную площадку е(Аг с координатами (х, у) н Угловые нагффициенты 140 Глава а 142 а вектор гм равен (3.24) (3.25) — лг) П2 сппгР Г (3.26) (3.27) с(Аг = с(х с(у. Ь а а ( со5 О1 со5 02 ( аА2 Аг ) г г А, У51Пф С51Пф 1 г Г птг ЕаАг-Аг = (3.!9) а=ос=а Ь а (3.28а) (3.22а) (3.226) Где Н вЂ” %, М=Ь(гс, гглг Снгт. 3.2. Координаты к определению диффузного локалыюго углоного коэффипиента между понерхносснми г(А1 п А,. направим вектор гм по линии, соединяющей площадки с(А1 н с(Аг. Единичные нормали пг и пг к площадкам ггА1 и ггАг образуют с линией, соединяющей этн площадки, углы 81 и 82. Диффузный угловой коэффициент между с(А2 и Аг в соответствии с (3.8) равен ГДŠà — ДЛИНа ВЕКтОРа Гга, В системе координат х, у, з, представленной на фиг.
3.2, координаты элементарных площадок с(А1 и с(Аг равны: Площадка с(А1: х, =О, уг =ссовгр, з, =св)пф, (3.20а) ПлоЩацка с(Аг: х,=х, Уг=р, Я2=0. (3.20б) Выражения для единичных векторов и и и, можно записать в виде и, = Иг + )т, + )гп„ (3.21а) пг = 112 + )т, + )гп„ (3.21б) где 1, 1, )г — единичные векторы, направленные по осям оу, ох и оз соответственно. Направляющие косинусы равны 1, =О, т, =в)игр н и, = — совф, 1, = О, т, = 0 и Гсг =- 1, гм — — 1(х, — х) + 1(Уг — Уг) + )г (зг — г!), (323а) г„= — гни (3.23б) Тогда величины Г', совОо сов 85 и с(Аа, входящие в выражение (3.19), могут быть выражены через переменные х, у, я следующим образом: Г' = ~ г„)2 = (х, — х,)' + (у, — д,)' + (яг — яг)' = = (Π— х)г + (с сов гр — у)2 + (с в(п гр — 0)г = =-хг+ дг+ с' — 2су сов гр, Пг Г12 (Хг — Х1) (2 + (Уг — У1) lпг + (Х2 — 21) лг совЕ,— —— (~П! Г (х — 0) 0+ (У вЂ” с соа ф) 5)п ф — (Π— с 51П ф) соа ф У 5(п ф Г Пг Ггг (Хг — Х2) 12 + (Уг У2) л12 + (Х1 сов 85— г 1 Г211 Г (Π— х) 0 + (с сна гр — у) 0 + (с Мп гр — 0) 1 Г Подставляя (3.24) — (3.27) в (3.19) и интегрируя в пределах 0(х(Ь иО<у<а, получаем , Ых с(у.
,),) (х'+ у'+ с' — 2сусо5ф)' =од=о Выполнив интегрирование выражения (3.28а), получаем [1] 1'аА2-А 1 ( Нсоагр — ! '1, ( М вЂ” 1 агс(9 М+ ( 1 агс(д(, 1+ 2п 5,ЭГ1+ Н' — 2Нсоаф/ 2,5,1!+ Н' — 2Нсоаф/ -'(с. '...)(""(,—.' —" ) """(,5)И (3.28б) Угловые ногффииигнты 146 Глава 3 144 Фиг. 3.4. Применение те Стокса к определению ли ного локального углового фнннента Гнл, быть записана в виде воверхвость Л вовтур Л У = И л+1Рв+ 11У„ и = И+ [т+ \си, (3.30а) (3. 30б) где п, ггг зЕ,=— (3.33а) пг ° ггг Пг ' Ггг соз8,=— г (з.ззб) причем г =~ г„[. Фиг.
З,З. Выбор направления обхода контура н теореме Стокса. З.З. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОДОМ КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Вычисление угловых коэффициентов прямым интегрированием требует двух- или четырехкратного интегрирования, что представляет значительные трудности дпя большинства конфигураций, кроме самых простых. Интегрирование по поверхности можно заменить интегрированием по контуру в соответствии с теоремой Стокса. Этот способ составляет основу метода контурного интегрирования для определения диффузных угловых коэффициентов. Данный метод был первоначально применен в работе Муна [! 1) и позднее в работе Муна и Спенсера [12).
В работах Спэрроу [13), а также Спэрроу и Сесса [4) этот метод используется для расчетов диффузных утловых коэффициентов в задачах теплообмена. Согласно теореме Стокса, циркуляция вектора Ч по замкнутому контуру 5 поверхности А равна потоку ротора этого вектора через поверхность А, т. е.
и (У Х У) тУА = $ У тУЗ. (3.29) Направление обхода контура подчиняется правилу винта с пра- вой резьбой, завипчиваемого в направлении единичного вектора нормали к поверхности и (фнг. З.З). Представим выражения для Ч и и в виде где проекции вектора Ч на оси координат )г„ Гю 'уг, — дважды дифференцируемые функции х, у, з, а 1, т и и направляющие косинусы вектора нормали, Тогда теорема Стокса (3.29) может 'ь'х д~ дг ) 'х д~ дх) + воверхвость А / д1'и д1тх 'т + [ д / и~ А4 = $ (1'хтУх+ [грс(у+ [гхс(н).
(3.31) контур А Доказательство теоремы Стокса можно найти в любом учебнике высшеп математики. Ниже будет рассмотрено использование метода контурного интегрирования для определения диффузного локального и среднего угловых коэффициентов. а) Диффузный локальный угловой коэффициент между элементарной площадкой г1А, и поверхностью А,. Рассмотрим элементарную площадку с(А, и поверхность Аг конечных размеров (фиг.
3.4). Угловой коэффициент между с(Аг и Ап определяется [см. (3.8) [ в виде (3. 32) А, Подставляя (3.33) в (3.32), получаем выражение РВАг-Аг = — — ~ ( ', " ) ( ', " ) ПУА,, (3,34) г1т (46 Глава 3 147 Угловые коэффккиенты которое можно переписать в виде "-'=- — '1"2 ~ — "-'( .- М ' А, Используя равенство [11]1) (3.36) (3.36) получаем ГВА,-Ат = о ~ Пг 1(У Х ( гт )1 е(А2 (3.37) А2 В соответствии с теоремой Стокса преобразуем интеграл по по- верхности в интеграл по контуру: пвА1-Ат = 2 $ ( г ) е(з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
