Пупков К.А. - Сборник лаб по курсу УТС (1072098), страница 4
Текст из файла (страница 4)
20 Обычно считают, что входные воздействия имеют нормальный закон распределения. Простейший способ получения последнего предполагает простое суммирование (усреднение) (4 1) При этом у будет иметь распределение, близкое к нормальному, с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическнм отклонением, равным единице. С помощью операций умножения и сдвига нетрудно получить распределение с заданными математическим ожиданием н дисперсией. Увеличение слагаемых приближает закон распределения к нормальному, но при этом уменьшается длина псевдослучайной последовательности. На практике часто ограничиваются числом слагаемых, равным шести.
Заметим, что совершенные программные системы (тнпа МАП.АВ) сами генерируют числа с требуемыми законами распределения, для которых задаются лишь их параметры. При интегрировании непрерывных систем методом Эйлера числа с датчика снимаются с шагом Т, равным шагу квантования.
Алгоритм интегрирования рассматривает эти числа так, как если бы это была ступенчатая функция. Спектральная плотность описывается зависимостью шТ яп —— Б(а) = Т0 —— 2 <оТ 2 (4.2) Ф =ТУ. 2 (4.3) 21 Спектральные свойства этого шума зависят от уровня дисперсии 1) и шага квантования Т. При уменьшении шага квантования ширина спектра увеличивается, приближаясь к спектру непрерывного белого шума. Как известно, чтобы шум воспринимался как белый, достаточно имать ширину его спектра на порядок больше полосы динамического звена, на вход которого он поступает.
При известном уровне белого шума требуемая дисперсия может быгь определена из соотношения Требуемую спектральную характеристику входных воздействий обеспечивают с помощью формирующего фильтра 1К на вход которого поступает белый шум Я(о) --%(7'гл)й~(-7'гс) П 2. (4.4) раскладывая спектральную плотность на комплексно- сопряженные множители, с учетом уровня шума находят характеристики требуемого формирующего фильтра. Одним из эффективных методов определения характеристик стационарных случайных процессов, так же как и определения установившихся значений тех же характеристик, является метод стохастической аппроксимации.
В основе метода лежат относительно простые рекуррентиые вычислительные процедуры для вычисления математических ожиданий и корреляционных функций стационарных случайных процессов. Математическое ожидание М случайной функции х(г) вычисляется как решение дифференциального уравнения с переменным коэффициентом ЫМ 1 — =- — — 1М(г) — х(г)1. й ъ(Е) (4.5) Переменный коэффициент подчиняется соотношениям (4.б) Дисперсия и корреляционная функция определяются методом стохастической аппроксимации уравнениями 2 — =- — ЕХФ)-х (г)); Ж т(г) сИ 1 — = — — 1А(г) — х(г)х(г — т)1. ш' т(г) 22 Заметим, что второе уравнение (4.7) относится не ко всей корреляционной функции, а лишь к одному из ее значений, соответст- вующему величине сдвига случайных сигналов. Доказано, что оценки сходятся к истинным значениям при увеличении времени измерения.
Если случайный процесс является нестационарным, то эти оценки применять нельзя. Нестационарный характер случайных процессов соответствует переходным режимам в системах даже в тех случаях, когда и система, н воздействия являются стационарными. Надежным способом оценки статистических характеристик для широкого класса систем й сигналов без каких-либо существенных для практики ограничений является метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. При этом проводится многократное моделирование исследуемой системы (У раз), и по результатам испытаний вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии (4.8) Чтобы не запоминать все реализации, вторую формулу (4.8) при- водят к виду Ю Р„(г)= — -~ х; (1)-( — '1 х1(г)) .
(4.9) 2 1 2 1=1 Затем достаточно накапливать суммы первых степеней и квадратов искомых координат. Оценки будут тем надежнее, чем больше число реализаций У. Поскольку это число всегда конечно„ оценки математического ожидания и дисперсии сами являются случайными функциями, так что о точности вычисления оценок можно говорить лишь в вероятностном смысле, построив функции распределения, доверительные интервалы н т. д. Приближенные оценки требуемого числа реализаций можно получить более простым способом.
Из теории вероятностей известно, что среднеквадратические отклонения оценок математического ожидания и дисперсии от их точных значений определяются соотношениями 23 Чтобы среднеквадратическое отклонение оценки было на порядок меньше самого математического ожидания, число реализаций должно быть Ф >100 —. 2эх М„ 2' (4.12) Если математическое ожидание мало, то может потребоваться большое число реализаций, Порядок выполнения работы 1.
Просмотреть гистограммы с датчика случайных чисел при равномерном и нормальном законах распределсння в зависимости от объема выборки. 2. В качсстве динамической системы рассмотреть апериоднческое звено 24 Здесь п(г) — белый шум заданной интенсивности. Оценить аналитически математическое ожидание и дисперсию сигнала на выходе звена. 3. Оценить установившиеся значения математического ожидания и дисперсии на выходе звена методом стохастической аппроксимации, используя пакет моделирования. Сравнить найденные в ходе эксперимента значения с вычисленными аналитически.
4. Методом статистических испьгганнй получить переходные процессы по математическому ожиданию и дисперсии. Сравнить полученные результаты с рассчитанными аналитически. Отчет по работе должен содержатьс 1) все расчетные соотношения; 2) графики переходных процессов с указанием расчетных н полученных в ходе экспериментов установившихся значений реакций. Контрольные вопросы 1. Перечислите этапы статистического моделирования и факторы, учитываемые на каждом этапе. 2.
Что такое «уровень шума» и в каких единицах он измеряется? 3. Почему при расчете (моделировании) заданного числа реализаций нельзя выходить за пределы длины псевдослучайной последовательности? 4. Почему не удается использовать метод стохастической аппроксимации для анализа нестационарных случайных процессов? 5. Являются ли математическое ожидание н его оценка случайными величинами? 6. От каких факторов зависит уровень «белого шума» при моделировании? 7.
Изменятся ли параметры настройки шума при изменении шага интегрирования? Работа Уй 5 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ Цель работы — овладение навыками и умением по синтезу линейных систем управления с квадратичным критерием качества на основе классического вариационного исчисления. Продолжительность работы 4 часа. Теоретическая часть Во многих случаях схемы управления возмущенным движением могут рассматриваться как линейные системы с квадратичным критерием качества. Многие объекты управления достаточно точно описываются линейными динамическими моделями.
В этом случае путем разумного выбора квадратичных критериев качества и квадратичных ограничений удается синтезировать весьма удовлетворительные управляющие устройства с линейной обратной .связью. Пусть система описывается векторным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами (5.1) х =А(1)х +В(1) й. Необходимо перевести систему из некоторого начального состояния х (го ) в заданное конечное состояние (5.2) х(гь) ьз О, используя допустимые функции управления й(г) и не выходя за допустимые пределы по фазовым переменным в процессе двнжеОдин из методов решения этой задачи состоит в минимизации критерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления: ь ,Т= — ~х Оу,х~ + — )(х Дх+й Яй)й. (5.3) 1ГТ 1 1 Т Т 2 ~г=г~ 2 'о р = — при Я~,) = БахЦ,)' до дх (5А) дН вЂ” =О, дй (5.5) где функция Гамильтона 1 -Т вЂ” 1 -Т вЂ” -Т Н=-х Цх+-й Ки+р (Ах+В и), 2 2 (5.6) 26 Здесь 01, и Я1 — положительно-полуопределенные матрицы; В(г)— положительно-определенная матрица.
Управление й(1), минимизирующее (5.3), можно найти путем совместного решения. уравнения (5.1) и уравнения Эйлера — Лагранжа: откуд» В-1 Т- (5.7) Подстановка (5.7) в (5.1) приводит к следующей линейной двухточечной краевой задаче: х =Ах-ВЯ В р, -1 Т- (5.8) где функция х(го) задана; р=-Дх-А р, рЦ,)=Бах(~~,). (5.9) Результатом решения краевой задачи (5.8), (5.9) является программное управление й (т): й(г) = -К(т)х(Ф) (5,10) при К(г) = Я (г)В (г)В(т), где симметричная матрица 8(т) определяется из матричного уравнения Риккати Я = -ЯА — А Я+ ЖИ В Я вЂ” Д (5.11) при граничном условии Я(гЕ).=оь,а х и р связаны линейным преобразованием (5.12) Вектор ч можно найти из уравнения +(АТ-ВВ 1ВТ)рь+Дх~ =О.
(5.13) Для задачи терминального управленим основной интерес представляет сам непрерывный закон управления с обратной связью Закон управления и реакция системы в значительной степени зависят от выбора весовых коэф4ициеитов показателя качества. Выбор этих коэффициентов представляет трудную задачу, так как взаимосвязь весовых коэффициентов и параметров оптимальной системы илн ее реакции в общем случае весьма сложная. Чтобы получить допустимые уровни величин х(0), х(г) н й(г), матрицы 08, Яг) и Я(г) можно выбрать, например, диагональными со следующими элементами: (5 15) (5.1б) 2 = (гА ~ОНаю(ГНИ г;; (5,17) у~~(() = 0,5(1+ соя лг/101.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
