Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаС.В Галкин, В.Ф. Панов, О.С. ПетрухинаКРАТКИЙ КУРСТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Бауманав качестве учебного пособияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана20071УДК 519.21(075.8)ББК 22.171Г16Рецензенты: С.В. Свистова, Г.М. ЦветковаГ16Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С.Краткий курс теории вероятностей: Учеб.
пособие. — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 56 с: ил.ISBN 978-5-7038-2997-4Приведены определения вероятности (классическое, статистическое,геометрическое и аксиоматическое), примеры вычисления вероятности, атакже теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности,формула Байеса. Рассмотрены основные распределения случайной величины и доказательства их свойств. Исследованы многомерные случайныевеличины, их характеристики, доказаны свойства функции распределения, плотности распределения, математического ожидания и ковариации. Приведены доказательства неравенств Чебышева и законов большихчисел.
Представлена без доказательства предельная теорема в форме теоремы Ляпунова. Выведена интегральная теорема Муавра—Лапласа.Для студентов, изучающих курс «Основы теории вероятностей и математической статистики».Ил. 11. Табл. 6. Библиогр. 5 назв.УДК 519.21(075.8)ББК 22.171Учебное изданиеСергей Владимирович ГалкинВладилен Федорович ПановОльга Сергеевна ПетрухинаКраткий курс теории вероятностейРедактор О.М. КоролеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка И.А. МарковойISBN 978-5-7038-2997-4© МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2007Подписано в печать 19.07.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26. Уч.-изд. л. 3,05. Тираж 600 экз.Изд. № 37. Заказ №Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 52ПРЕДИСЛОВИЕТехнические университеты воспитывают настоящих инженеров, которые потом становятся ведущими специалистами вовсех отраслях техники. Они должны быть теоретиками и практиками в точных науках и различных технических дисциплинах,сочетать строгость аналитика, образность геометра, фантазиюдилетанта и интуицию профессионала. Эрудиция, системностьмышления и интуиция отличают инженеров-бауманцев — выпускников старейшего технического университета страны МГТУим.
Н.Э. Баумана.Несколько лет назад коллектив преподавателей-математиковМГТУ написал для студентов комплекс учебников «Математикав техническом университете» в 21 томе, который был отмеченПремией Правительства России в области науки и техники.Однако немногие студенты смогут освоить такой объем материала, тем более что предметов много, а времени у студентов мало. Поэтому надо создавать и краткий курс — строгое, конспективное изложение предмета.Именно так построено учебное пособие по теории вероятностей. В нем кратко, но строго изложены основы курса, от различных определений вероятности до законов больших чисел ицентральной предельной теоремы в разных формах.
Авторы надеются, что пособие пригодится не только студентам, но и инженерам, применяющим вероятностный подход.31. ВЕРОЯТНОСТЬВ теории вероятностей рассматриваются такие явления илиопыты, конкретный исход которых не определяется однозначноусловиями опыта (случаен), но по результатам большого числаэкспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).Элементарным событием (элементарным исходом) называетсялюбое событие (исход опыта), которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен,то и любое элементарное событие случайно.
Далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.Пространством элементарных событий Ω (исходов) называетсямножествовсехэлементарныхсобытий(исходов)(ω1,..., ωn ...) , если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один.
Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное идаже бесконечное множество элементарных событий.Случайным событием (событием) называется подмножествопространства элементарных событий. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.Пример. Бросается одна монета. Рассмотрим события: герб(ω1 = Г ) , решка (ω2 = Р ) , тогда Ω = (Г, Р ) .Пример. Бросаются две монеты, тогдаΩ = ((Г,Г ) , (Г,Р ) , (Р,Г ) , (Р,Р )) .Пример.
Капля дождя падает на прямоугольную площадку,тогда Ω = (( x , y ) , a < x < b, c < y < d ) .Достоверное событие — событие, которое всегда происходитв результате данного опыта, оно содержит все элементарныесобытия и обозначается Ω, так же, как и пространство элементарных событий.Невозможное событие — событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается ∅.41.1. Действия над событиямиПусть события А, В определены как множества, поэтомудействия над ними аналогичны действиям над множествами ихорошо иллюстрируются диаграммами Венна. Пространство Ωобозначим прямоугольником, элементарное событие — точкойпрямоугольника, а каждое событие — подмножеством точекэтого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или C = А ∪ В),состоящее из элементарных событий,принадлежащих А или В (рис.
1).Рис. 1Произведением двух событий А и Вназывается событие D = AB (или C == A ∩ B), состоящее из элементарныхсобытий, принадлежащих и А, и В(рис. 2).Рис. 2Разностью двух событий А и В называется событие А\В, состоящее изэлементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В (рис. 3).Рис. 3Пример. Пусть выбираются карты из колоды карт.
Событие — выбор червонной карты, событие — выбор десятки.Сумма событий А, В: С = А + В — выбор любой червоннойкарты или любой десятки.Произведение событий А, В — выбор десятки червей.Разность событий А, В — выбор любой червонной карты,кроме десятки.51.2. Классификация событийСобытие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в A , обозначим А и будем называть противоположным событием А = Ω\ A .Пример. Событие A — выбор червонной карты; А – выборлюбой карты другой масти.Два события A и B будем называть совместными, еслиимеется хотя бы одно общее элементарное событие, т. е., еслиАВ ≠ ∅, и несовместными, если АВ = ∅.Пример. События А — выбор червонной карты и В — выбордесятки являются совместными событиями, так как АВ ≠ ∅(АВ — выбор червонной карты).Пример.
Бросается игральный кубик; событие А — выпадение четного числа очков, А = {2, 4, 6}, событие В — выпадениенечетного числа очков, В = {1, 3, 5}. Очевидно, что события А иВ несовместны.Полная группа событий — это совокупность n событий А1,А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т. е.n∑ Аi= Ω.i =11.3. Свойства операций над событиямиЕсли А ⊆ В , то А + В = В , АВ = А . Отсюда следует 1) Ω = ∅;2) А + А = А ; 3) АА = А ; 4) А + Ω = Ω ; 5) А + ∅ = А ; 6) А Ω = А ;7) А∅ = ∅ ; 8) А = А ; 9) А + А = Ω ; 10) AA = ∅ .Коммутативность операций:А + В = В + А; АВ = ВА .Ассоциативность операций:А + (В + С ) = ( А + В ) + С , А(ВС ) = ( АВ )С = АВС .Дистрибутивность:А(В + С ) = АВ + АС , А + (ВС ) = ( А + В )( А + С ) .Пример. Вычислим ( А + В )( А + С ) = АА + ВА + АС + ВС = А + ВС .6В самом деле, ВА ⊂ А, АС ⊂ А, АА = А , тогда АА + ВА = А,А + АС = А .Правило двойственности (теорема де Моргана):∞∑ Ak =k =1∞∏ Ak ,k =1∞∏ Ak =k =1∞∑ Ak .k =1Пример. Пусть А, В — события, тогда А + В = АВ ; АВ = А + В .1.4.
Алгебра событийПусть Ω — пространство элементарных событий. Алгебройсобытий называется такая система случайных событий S , что1) S ⊃ Ω; 2) ∀A, B ⊂ S ⇒ А + В ⊂ S , АВ ⊂ S , А \ В ⊂ S .Заметим, что ∅ = Ω \Ω ⊂ S .Пусть Ω содержит конечное число элементов, Ω = {ω1,……, ωn}. Тогда алгебру S можно построить как множество всехподмножеств Ω:S = {∅,{ω1 },...,{ω n }, {ω1,ω 2 },...,{ω1 , ω n },...,{ω n-1, ω n },...,{ω1,..., ω n }} ,в S всего 2n элементов.Аналогично строится алгебра для счетного числа событий.События должны выбираться из алгебры событий.Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен.
Вводится σ-алгебра событий.Сигма-алгеброй (Σ-алгеброй) событий называется непустаясистема подмножеств пространства элементарных событий, такая, что1) А ⊂ Σ ⇒ А ⊂ Σ ;2) А1, А2 ,..., Аn ,..., ⊂ Σ ⇒ ( А1 + А2 + ... + Аn + ...) ⊂ Σ,( А1 А2 ,..., Аn ,...)... ⊂ Σ .Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий,но не наоборот.71.5. Классическое определение вероятности событияСлучаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.Пусть пространство элементарных событий Ω содержит конечное число случаев.Пусть N — общее число случаев в Ω, а NA — число случаев,образующих событие A (или, как говорят, благоприятствующихсобытию A).Вероятностью события A называется отношениеP ( A) =NA.NЭто классическое определение вероятности.Пример.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
