Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Проводятся два выстрела в мишень. При каждомвыстреле вероятность попадания равна p, вероятность промахаq = 1 – p. Случайная величина Xi — число попаданий при i-мвыстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1,X2) = ( X ,Y ) (табл. 6).Таблица 6XYy1 = 0y2 = 1PXx1 = 0q2qppX1 = qx2 = 1pqp2pX2 = pPYpY1 = qpY2 = pПостроим функцию распределения⎧0, ( x ≤ 0, y ≤ 0 ) ;⎪ 2⎪q , ( 0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) ;⎪F ( x ) = ⎨q, ( 0 < x ≤ 1, y > 1) ;⎪⎪q, ( x > 1, 0 < y ≤ 1) ;⎪1, ( x > 1, y > 1) .⎩40В самом деле, при ( x ≤ 0, y ≤ 0) событие {X < x, Y < y} —невозможное, при (x > 1, y > 1) событие {X < x, Y < y} — достоверное.При (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) событие {X < x, Y < y} представляетсобой событие {X = 0, Y = 0}.
Поэтому при (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1)F(x) = P{X = 0,Y = 0} = q2.При (0 < x ≤ 1, y > 1) событие {X < x, Y < y} является объе-динением несовместных событий {X = 0, Y = 0} и {X = 0, Y = 1}.Поэтому при (0 < x ≤ 1, y > 1) F(x) = P{X = 0, Y = 0} + P{X = 0,Y = 1} = q2 + pq = q(p + q) = q. Аналогично в случае ( x > 1,0 < y ≤ 1) F(x) = P{X = 0,Y = 0} + P{X = 1, Y = 0} = q2 + pq = q(p ++ q) = q.Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y — непрерывные случайные величины и ее функцию распределенияможно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения:F ( x, y ) = P ( X < x, Y < y ) =xy∫ ∫ p ( x, y ) dxdy .−∞ −∞Двойной интеграл можно записать в виде повторных(внешний — по x, внутренний — по y и наоборот).
Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируяпо переменным верхним пределам, получаемp ( x, y ) =∂2F ( x , y ) ∂2F ( x , y )=.∂x ∂y∂y ∂xСвойства плотности распределения:1) p ( x , y ) ≥ 0 (функция распределения — неубывающаяфункция);2)P (a < X < b, c < Y < d ) =b d∫ ∫ p ( x, y ) dxdy(по свойству 5a cфункции распределения); справедливо обобщение P ( X ∈ D ) ==∫∫ p ( x, y ) dxdy ;D3) P ( x < X < x + ∆x , y < Y < y + ∆y ) ≈ p ( x , y ) ∆x ∆y ;41+∞ +∞4)∫ ∫ p ( x, y ) dxdy = 1(по свойству 4 функции распределе-−∞ −∞ния);5) P ( X = x ,Y = y ) = 0 ;6) pX ( x ) =+∞∫p ( x , y ) dy;pY ( y ) =−∞+∞∫ p ( x, y ) dx(по свойству 7−∞функции распределения).6.1.
Независимость случайных величинСлучайные величины X, Y называются независимыми, еслиF ( x , y ) = FX ( x ) FY ( y ) , где FX ( x ) , FY ( y ) — функции распределения случайных величин X, Y.Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируяэто соотношение по x, y, получимp ( x, y ) =∂2 F ( x , y )= FX' ( x ) FY' ( y ) = pX ( x ) pY ( y ) .∂x ∂yпоэтому соотношение p (x, y ) = p X (x ) pY ( y ) можно считать определением независимости непрерывных случайных величин.Для дискретных случайных величин определение независиpij = P X = xi ,Y = y j =мости можно записать в виде(()= P ( X = xi ) P Y = y j = pX i pY j .)6.2. Математическое ожиданиеМатематическим ожиданием функции двумерной случайнойвеличины называетсяM ( f ( X ,Y )) =∑ f ( xi , y j )piji, jв дискретном случае,M ( f ( X ,Y )) =в непрерывном случае.42+∞ +∞∫ ∫ f ( x, y ) p ( x, y ) dxdy−∞ −∞Свойства математического ожидания:1), M (C ) = C , (M (C ) =+∞ +∞+∞ +∞−∞ −∞−∞ −∞∫∫ Cp ( x, y ) dxdy = C= C по условию нормировки) ;∫ ∫ p ( x, y ) dxdy =2) M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) , M (CX ) = CM ( X ) , M (CY ) == CM (Y ) ;M (X + Y ) =+∞ +∞∫ ∫ ( x + y ) p ( x, y ) dxdy =−∞ −∞==+∞+∞ ⎛ +∞⎛ +∞⎞⎞xpx,ydydxy ⎜ ∫ p ( x , y ) dx ⎟ dy =+)(⎜⎟∫ ⎝∫∫⎠⎠−∞−∞−∞ ⎝ −∞+∞∫xpX ( x ) dx +−∞+∞∫ypY ( y ) dy = M ( X ) + M (Y ) ;−∞M (CX ) =∞ ∞∫ Cxp( x, y )dxdy = C∫−∞ −∞∞=C∫⎛∞⎞xpy(x,y)dy⎜⎟ dx =∫ ∫⎠−∞ ⎝ −∞∞xpX ( x )dx = CM ( X ) ;−∞3) M ( XY ) = M ( X ) M (Y ) для независимых случайных величин;M ( XY ) =+∞ +∞∫ ∫( xy ) p ( x, y ) dxdy =−∞ −∞+∞∫−∞xpX ( x )dx+∞ +∞∫ ∫ ( xy ) pX ( x ) pY ( y ) dxdy =−∞ −∞+∞∫ypY ( y )dy = M ( X ) M (Y ) .−∞6.3.
Ковариация (корреляционный момент)Ковариацией случайных величин X, Y называют cov ( X ,Y ) ==M(( X− M ( X )) (Y − M (Y ))) .43Свойства ковариации:1) cov ( X ,Y ) = M ( XY ) − M ( X ) M (Y ) ;cov( X ,Y ) = M (( X − M ( X ))(Y − M (Y )) == M ( XY − M ( X ) Y − XM (Y ) + M ( X ) M (Y )) == M ( XY ) − M ( X ) M (Y ) − M ( X ) M (Y ) + M ( X ) M (Y ) == M ( XY ) − M ( X ) M (Y ) ;2) cov ( X , X ) = D ( X ) . По свойству 1) имеем cov( X , X ) =( )= M X 2 − ( M ( X )) = D ( X ) ;23) если X, Y независимы, то cov ( X ,Y ) = 0 (обратное неверно). Если случайные величины независимы, тоM ( XY ) == M ( X ) M (Y ) , тогда по свойству 1) cov ( X ,Y ) = 0 .
Случайныевеличины X, Y называются некоррелированными, если cov ( X ,Y ) == 0, из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность;4) cov ((aX + b ) , (cY + d )) = ac cov ( X ,Y ) .По свойству 1) имеем cov ((aX + b ) , (cY + d )) ==M((aX+ b ) (cY + d )) − M (aX + b ) M (cY + d ) == acM ( XY ) + bcM (Y ) + adM ( X ) + bd −−acM ( X ) M (Y ) − bcM (Y ) − daM ( X ) − bd == ac ( M ( XY ) − M ( X ) M (Y )) = ac cov ( X ,Y ) .5) cov ( X ,Y ) ≤D ( X ) D (Y ) . Покажем справедливость этогосвойства. Рассмотрим случайную величину z = aX + Y .
ИмеемD (z ) = D (aX + Y ) = M [(aX + Y ) − M (aX + Y )] = M [a( X − M ( X )) +2+ (Y − M (Y ))] =2M ⎡⎣a 2 ( X − M ( X ))2 + 2a( X − M ( X ))(Y − M (Y )) ++ (Y − M (Y ))2 ⎦⎤ = a 2D ( X ) + 2a cov( X ,Y ) + D (Y ) . Заметим, что от-сюда следует свойство дисперсии (при a = 1) D ( X + Y ) = D ( X ) ++ 2 cov( X ,Y ) + D (Y ) .ТаккакD( z ) ≥ 0 ,тоa 2D ( X ) ++ 2a cov( X ,Y ) + D (Y ) ≥ 0 . Это возможно только, если дискри-минант этого квадратного трехчлена относительно a меньше44или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:(cov( X ,Y ))2 − D ( X )D (Y ) ≤ 0 . Отсюда следует свойство 5);6) для того чтобы случайные величины были линейно зависимы(Y = aX + b),необходимоидостаточно,чтобыcov ( X ,Y ) = D ( X )D (Y ) . Докажем необходимость.
Пусть Y == aX + b. Тогда D (Y ) = M (((aX + b) − (aM ( X ) + b))2 ) = M (a 2 ( X −− M ( X ))2 ) = a 2D ( X );cov( X ,Y ) = M (( X − M ( X ))(Y − M (Y ))) == M (( X − M ( X ))(aX + b − aM ( X ) − b) = aM (( X − M ( X ))2 ) = aD ( X ) ;cov ( X ,Y ) = a D ( X ) = D ( X ) a 2 D ( X ) =D ( X ) D (Y ) .Докажем достаточность. Пусть cov ( X ,Y ) =D ( X )D (Y ) . То-гда (см. доказательство свойства 5) D (z ) = D (aX + Y ) = 0, следовательно, z — детерминированная величина, т. е. aX + Y == const, поэтому величины X, Y — линейно зависимы.cov ( X ,Y )Коэффициентом корреляции называется ρ =.D ( X )D (Y )Свойства коэффициента корреляции:1) ρ ( X , X ) = 1 ;2) если X, Y — независимы, то ρ ( X ,Y ) = 0 ;3) ρ (aX + b, cY + d ) = sign(ac )ρ ( X ,Y ) ;4) −1 ≤ ρ ( X ,Y ) ≤ 1 .5) ρ ( X ,Y ) = 1 тогда и только тогда, когда X,Y линейно зависимы.6.4.
Двумерное равномерное распределениеСлучайный вектор (X, Y) равномерно распределен в областиD (площадь D равна S), если его плотность распределения задана так: p(x, y) = 0, если ( x , y ) ∉ D, p(x, y) = 1/S, если ( x, y ) ∈∈ D.Пример. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен впрямоугольнике 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b. Покажем, что случайныевеличины X, Y некоррелированны:45aM (X ) =aM (X 2 ) =b1abdx ∫ xdy = , аналогично M (Y ) = ;∫2ab 0 02b1a2b222,аналогично();dxxdy=MY=3ab ∫0 ∫03D ( X ) = M ( X 2 ) − (M ( X ))2 =aM ( XY ) =a2 a2 a2b2, аналогично D (Y ) =;−=34 1212b11 a 2 b 2 ab.dxxydy==ab ∫0 ∫0ab 2 24Следовательно, случайные величины X, Y некоррелированны.6.5.
Двумерное нормальное распределениеДвумерная случайная величина (X,Y ) распределена нормально со средними значениями m1, m2, дисперсиями σ12 , σ 22 икоэффициентом корреляции ρ , если ее плотность заданаp( x , y ) =12 πσ1σ 2− 2ρ⎛ ( x − m )2⎪⎧ −11exp ⎨−2 ⎜222(1−ρ)σ⎝1− ρ1⎩⎪( x − m1 )( y − m2 ) ( y − m2 )2 ⎞ ⎫⎪σ1σ 2+σ 22⎟⎬ .⎟⎠ ⎪⎭6.6. Задача линейного прогнозаЗаданы характеристики m1, m2 , σ1, σ 2 , ρ случайного вектора( X 1, X 2 ) . Вводится случайная величина — оценка X = aX 1 +b —линейный прогноз X2. Вычислить a, b , чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки: M (( X − X 2 )2 ) → min ). НайдемM ((X − X 2 )2 ) = D(X − X 2 ) + (M (X − X 2 ))2 =46= D ( X ) − 2 cov( X , X 2 ) + D ( X 2 ) + ((M ( X ) − M ( X 2 ))2 == a 2σ12 − 2a ρσ1σ 2 + σ 22 + (am1 + b − m2 )2 .За счет выбора b можно лишь минимизировать последнееслагаемое, сделав его равным нулю: b = m2 − am1 .
Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от а (найти вершину параболы):−2ρσ1σ 2σa=−=ρ 2 .2σ12σ1Подставляя это значение, найдемb = m2 − ρσ2m1 .σ1Вычислим погрешность указанной оценки при этих значениях параметров:2⎛ σ ⎞σM (( X − X 2 )2 ) = ⎜ ρ 2 ⎟ σ12 − 2ρ2 2 σ1σ 2 + σ 22 = σ 22 (1 − ρ2 ) .σσ1⎝ 1⎠При линейной зависимости X 1, X 2 ( ρ = 1) оценка точна, погрешность равна нулю.Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка.В крайнем случае при отсутствии корреляции ( ρ = 0 ) имеемa = 0, b = m2 , X = m2 , M (( X − X 2 )2 ) = σ 22 .7. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛИ ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
