Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Бросается игральная кость, тогда Ω = {ω1,..., ω6 } ,N = 6.Cобытие А — количество очков кратно трем, A = {ω3 , ω 6 } ,2 1= .6 3Пример. В урне находятся а белых и b черных шаров. Вынимается один шар.bСобытие А — шар черный. Тогда Р ( А ) =.a+bИсходя из классического определения вероятности события,легко доказать свойства вероятности и их следствия.Свойства:1) P (Ω) = 1 (N A = N ) ;2) 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 (0 ≤ N A ≤ N ) ;3) если AB = ∅ , тоP ( A + B ) = P ( A ) + P (B ) (N A + B = N A + N B ) .Следствия:1) P (∅) = 0 (N ∅ = 0) ;NA = 2. Поэтому Р ( А ) =2) P ( A ) = 1 − P ( A ) ( A + A = Ω, AA = ∅, P ( A ) + P ( A ) = 1) ;3) если А ⊆ В , то P ( A ) ≤ P (B )(N A ≤ N B ) .Для определения общего числа равновозможных исходов ичисла благоприятствующих исходов используется основнойпринцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представ8ляет собой последовательность n операций Pk(k = 1, …, n), каждая из которых может быть выполнена mk способами.
Тогдаоперация Р может быть выполнена m1m2 ,..., mn способами.Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров из урны) из n элементов. Мы можем возвращатьочередной шар (в урну), тогда при каждом очередном выборемы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называетсявыборкой с возвращением. Мы можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшегочисла шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения.
С другой стороны, если учитывать порядок появления шаров, то выборка называется упорядоченной, или размещением изn по т (шаров). Если порядок шаров не учитывать (важно, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке), то такаявыборка называется неупорядоченной, или сочетанием из n по т(шаров). Выясним, сколькими способами можно произвести туили иную выборку (табл. 1).Таблица 1ВыборкаСочетанияn ( n − 1) ... ( n − m + 1)mCn ==m!Безвозвращенияn!=m ! (n − m ) !С возвращениемmmCn = Cn + m −1РазмещенияAnm = n(n − 1)...(n − m + 1)mmAn = nФормулы для размещений легко получаются из принципакомбинаторики. Для того чтобы перейти от размещений (безвозвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.
е. исключить те, которые различаются толькопорядком элементов. Выборки, различающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановокиз m элементов равно Pm = Amm = m ! ПоэтомуAnm.PmДоказательство формулы для сочетаний с возвращениемприведено в учебнике [1].С тn =9Пример. Производится выборка (см. табл. 1) двух шаров(m = 2) из урны, в которой находится n = 3 шара.Размещения с возвращением:(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3), A32 = 32 = 9.Размещения (без возвращения):(1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2), A32 = 6 .Сочетания с возвращением:(1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3), C 22+ 3−1 = C 42 = 6 .Сочетания (без возвращения):(1,2) (1,3) (2,3), C32 = 3 .Рассмотрим задачу о выборке «бракованных» деталей.В партии из N одинаковых деталей M бракованных.
Выбирается (без возвращения) n деталей. Какова вероятность того,что среди них окажется ровно m бракованных?Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n)равно C Nn . Мы выбираем m бракованных деталей из M бракованных, но и одновременно выбираем (n – m) деталей без бракаиз N – M деталей без брака. Тогда по основному принципуm n−mкомбинаторики такому выбору благоприятствует C MC N − M случаев. Поэтому искомая вероятность равнаp=m n−mCMCN − MC Nn.1.6. Геометрическая вероятностьФормула классической вероятности применяется только всхеме случаев, что встречается довольно редко. ОтношеNние P( A) = A представляет собой долю благоприятных исхоNдов среди всех возможных исходов. Аналогичным образомподсчитывают вероятность события в некоторых более слож10ных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.Рассмотрим задачу о встрече.Два студента договорились встретиться от 10 до 11 час наопределенном месте, причем первый студент, пришедший наместо, ждет товарища 15 мин и уходит.
Какова вероятностьвстречи?у11/44х1/41Рис. 4Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x — время прихода первогостудента, y — время прихода второго студента. Тогда множествоx − y < 1 / 4, 0 < x < 1, 0 < y < 1 содержит точки (события) встречи студентов (рис. 4). Его мера (площадь) равна 1 — (3/4)2 == 7/16. Так как мера (площадь) Ω = 1, то P( A) = 7/16.1.7.
Статистическая вероятностьФормулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. На практике мы имеем дело с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайногособытия, используя понятие частоты события.Пусть надо определить вероятность того, что в испытаниипроизойдет событие A . Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода:А и А . Частотой события А будем называть отношение числа NAиспытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.11Статистической вероятностью события А называетсяP ( A ) = lim N →∞NA.NЗаметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:1) P ( A ) ≥ 0 ,2) P ( Ω ) = 1 ,3) P ( A1 + ... + An ) = P ( A1 ) + ...
+ P ( An ) , если A1,..., An попар-но несовместны.Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий и распространил третье свойство на счетное число событий из сигма-алгебры событий. Этодало ему возможность дать общее аксиоматическое определениевероятности события.1.8. Аксиоматическое определение вероятности(по А.Н.
Колмогорову)Вероятностью P ( A ) называется числовая функция, заданная на сигма-алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:1) неотрицательность P ( A ) ≥ 0, ∀A ⊂ Σ -алгебре событийна Ω;2) нормировка P ( Ω ) = 1 ;3) расширенная аксиома сложения; для любых попарно несовместныхсобытийA1,..., AnвыполненоравенствоP ( A1 + ... + An + ...) = P ( A1 ) + ... + P ( An ) + ... +…(счетная аддитив-ность).Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) — это числовая неотрицательная нормированная счетноаддитивная функция (множества — события), заданная на сигма-алгебре событий.12Если пространство Ω состоит из конечного или счетногочисла событий, то в качестве сигма-алгебры Σ может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3) вероятность любого события А равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих А.Вероятностным пространством называется тройка ( Ω, Σ, P ) .Свойства вероятности.Сформируем и докажем основные свойства вероятности:1) P ( A ) = 1 − P ( A ) .
В самом деле, A + A = Ω , A, A несовместны. По аксиоме 3) P ( A + A ) = P ( A ) + P ( A ) = P (Ω) = 1 ;2) Р (∅) = 0. Так как ∀ А + ∅ = А, по аксиоме 3) Р(А + ∅) == Р(А) + Р(∅) = Р (А)Р (∅) = 0.3) если А ⊂ B , то Р(А) ≤ Р( B ). Так как B = А + B \А, поаксиоме 3) Р( B ) = Р(А) + Р( B \А), но по аксиоме 1) Р( B \А) ≥ 0.Пример. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4три раза наугад вынимают шар и записывают его номер: а) возвращая шары, б) не возвращая шары. Какова вероятность:1) получить комбинацию 111, 2) из номеров шаров составитьвозрастающую последовательность?В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 43.1Получим решение: 1) N A = 1, P = 3 , 2) N A = C 43 , так как воз4растающую последовательность можно составить всегда из неповторяющихся номеров. P = C 43 /43.В случае б) N = C 43 . Получим решение: 1) Так как номерашаров не повторяются, то N A = 0; P = 0 ; 2) Р = 1, так какN = N A = C 43 .Пример.
Пять человек садятся в поезд метро, состоящий изпяти вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся в разных вагонах?Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пяти элементов по пять N = 55. Числоэлементарных событий, составляющих A, равно 5! Поэтому P == 5!/ 55.132. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ2.1. Условная вероятностьВероятность события А при условии, что событие В наступило, будем называть условной и обозначать Р(А/В).Если никаких дополнительных условий не накладывается,то вероятность называется безусловной.
Рассмотрим пример.Пусть в данной аудитории присутствует N студентов. Среди нихNA — любящих математику, NB — любящих физику, NАВ — любящих и математику, и физику. Лектор случайно выбирает одного студента.Введем следующие события: А — случайно выбранный студент любит математику, В — физику, АВ — и математику, и физику. Эти события иллюстрируются диаграммами Венна (рис. 5).Вероятности этих событий равныР ( А) =NANNmesBmesABmesA, P (B ) = B ==, P ( AB ) = AB =.Nmes ΩNmes ΩmesΩNЭто — безусловные вероятности (mes — мера множества,т.
е. площадь области).Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятностьтого, что случайно выбранный любитель физики любит еще иматематику. В этом случае количество всех возможных исходовNB (выбираем только любителей физики), а количество благоприятных исходов — NАВ. ПолучимР (А /В) =14mes ΩP ( AB ) P ( AB )N ABmesAВ===.NBmes ΩP (B )P (B )mesВМы рассмотрели частный случай. Введем в общем случаеследующее формальное определение.В общем случае будем называть условной вероятностью события А при условии ВР (А /В) =Р ( АВ )Р (В )(если P (B ) ≠ 0) .2.2. Формула вероятности произведения событий(теорема умножения вероятностей).Независимые событияИз определения условной вероятности следует теорема умножения вероятностейР(АВ) = Р(В)Р(А / В) = Р(А)Р(В / А).Вероятность совместного наступления двух событий (вероятность произведения этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.Теорема умножения вероятностей может быть обобщена наслучай произвольного числа событий:⎛ n⎞Р ⎜ ∏ Аi ⎟ = Р ( А1 )Р ( А2 /A1 )P ( A3 / A1 A2 )...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
