Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Неравенства ЧебышеваПервое неравенство Чебышева. Пусть случайная величинаX ≥ 0 и существует ее математическое ожидание M(X ). Тогдадля любого ε > 0 выполнено первое неравенство ЧебышеваM (X ).P ( X ≥ ε) ≤ε47Д о к а з а т е л ь с т в о . В дискретном случаеnM(X ) = ∑ xkP(X = xk ) ≥k =1∑( xk ≥ε)xkPk ≥ ε∑ Pk = ε P(X ≥ ε) .(xk ≥εВ непрерывном случаеM (X ) =+∞∫∫xp ( x )dx ≥−∞xp ( x )dx ≥ ε( x ≥ε )∫xp ( x )dx ≥ ε P ( x ≥ ε) .( x ≥ε )Второе неравенство Чебышева. Пусть существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины M ( X ) = m, .D ( X ) = D .Тогда для любого значения α > 0 выполнено второеD.α2Д о к а з а т е л ь с т в о .
Проведем доказательство для непрерывного случая (для дискретного случая оно доказывается аналогично):неравенство Чебышева P ( X − m ≥ α ) ≤D=+∞∫(x − m)2 p(x)dx =−∞+∞∫2x − m p(x)dx ≥−∞≥ α2∫∫2x − m p(x)dx ≥x − m ≥αp( x )dx ≥ α 2 P ( X − m ≥ α) .x − m ≥αПоследовательность случайных величин сходится по вероятности к числу a({ XnP→ a) ,} ⎯⎯⎯если ∀ε > 0, δ > 0 ∃N (ε, δ) :∀n > N ⇒ P ( X n − a < ε ) > 1 − δ.7.2. Законы больших чиселЗаконы больших чисел могут быть записаны в разных формах, но суть их состоит в том, что при большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает бытьслучайным.Теорема Чебышева (Закон больших чисел в форме Чебышева).
При достаточно большом количестве независимых опытовсреднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной48величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:n∑ Xkk =1nPn →∞⎯⎯⎯→m.Д о к а з а т е л ь с т в о . РассмотримnY =∑ Xkk =1n, M (Y ) =mn= m,nD (Y ) =nD ( X ) D=.nn2Тогда по второму неравенству ЧебышеваP ( Y − m ≥ ε) ≤D (Y )D= 2.2εnε⎛ D ⎞Если выбрать N = E ⎜ 2 ⎟ , где E ( ) — целая часть, то при⎝ δε ⎠DD<= δ , следова2nεN ε2тельно,приn>NбудетвыполненонеравенствоP {Y − m ≥ ε} < δ , поэтому при тех же значениях n будет спра-n > N будет справедливо неравенствоведливо неравенство P {Y − m < ε} ≥ 1 − δ .Следовательно,n∑ Xkk =1nPn →∞⎯⎯⎯→m.Теорема Чебышева доказана.Обобщенная теорема Чебышева.
Пусть X1, Xn — независимыеслучайные величины с математическими ожиданиями m1,…, mnи дисперсиями D1, …, Dn. Пусть дисперсии ограничены в совокупности (Dk < L, k = 1,2, …, n). Тогда среднее арифметическоенаблюдавшихся значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математическихожиданий:∑ X k P ∑ mkk⎯⎯⎯→ k.nn49Д о к а з а т е л ь с т в о . РассмотримnnY =∑ Xkk =1n; M (Y ) =∑ mkk =1n.Оценим дисперсию:D (Y ) ==1Mn21n2n2=1Mn2( ∑ ( X k − M ( X k ))+=⎛ n⎞D ⎜∑ Xk ⎟⎝ k =1⎠2n22≤(∑ X k − M (∑ X k ))1Mn2(∑ ( Xk2=− M ( X k ))2)+∑ ( X p − M ( X p ))( X k − M ( X k ))) =p<k∑ M ( X k − M ( X k ))2=1n2∑ Dk≤Ln L= ⎯⎯⎯⎯→0 ,n →∞nn2(Поскольку случайные величины независимы, следовательно, инекоррелированны.)Отсюда по второму неравенству Чебышева следует утверждение теоремы (доказательство сходимости по вероятностипроводится, как в предыдущей теореме).Теорема Маркова.Пусть X1, Xn — зависимые случайныевеличины с математическими ожиданиями m1,…, mn и дисперсиями D1,…, Dn.
Пусть⎛ n⎞D ⎜∑ Xk ⎟⎝ k =1⎠n2⎯⎯⎯⎯→0.n →∞Тогда среднее арифметическое наблюдавшихся значенийслучайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство сходимости по вероятности проводится, как в теореме Чебышева.50Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числаопытов — независимых испытаний — частота события сходитсяпо вероятности к вероятности события.Д о к а з а т е л ь с т в о .
Доказательство проводится аналогично теореме Чебышева.7.3. Предельные теоремыЦентральная предельная теорема — это любая теорема, ставящая условия, при которых функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.Центральная предельная теорема подтверждает следующее:если исход случайного эксперимента определяется большимчислом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами m, D , подобранными соответствующим образом.Теорема Ляпунова. Пусть Xk — независимые случайные величины, имеющие математические ожидания M(Xk) = mk и дисперсии D(Xk) = Dk.
ОбозначимnI =∑ ( X k − mk )k =1n.∑ Dkk =1Если можно подобрать такое значение δ > 0 , чтоn∑Mk =1⎛⎜⎝X k − mk⎞∑ Dk ⎟k =1⎠n2 +δ2 +δ⎯⎯⎯⎯→0,n →∞то при n → ∞FI ( x ) сходится к Φ( x ) =12πx∫e1− t22 dt−∞равномерно по x.51Теорема Леви — Линдеберга. Пусть Xk — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математические ожидания M(Xk) = m и дисперсии D(Xk) = σ 2 . ОбозначимnI =∑ ( X k − m)k =1σ nТогда при n → ∞FI ( x ) сходится к Φ( x ) =.12πx∫e1− t22 dt−∞равномерно по x.В теореме Леви—Линдеберга (ее чаще всего и называютцентральной предельной теоремой)n∑ Dknσ 2 = σ n ,=k =1условиеn∑Mk =1⎛⎜⎝X k − mk⎞∑ Dk ⎟k =1⎠n2 +δ⎯⎯⎯⎯→0n →∞2 +δ1выполнено, оно превращается вδn2⎯⎯⎯⎯→ 0 (проверьте сами)n →∞из-за требования «одинаковости распределений», т.
е. равенствавкладов случайных величин в случайную величину I . Поэтому, теорема Леви—Линдеберга следует из теоремы Ляпунова.Если рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Леви—Линдеберга следует интегральная теорема Муавра—Лапласа.Интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может появиться событие А. Введем следующие обозначения: X k — число появлений события в k-м испытании(M ( X k ) = p, D ( X k ) = pq ) ;52X =n∑ Xkk =1— общее число появленийсобытия в n испытаниях ( M ( X ) = np, D ( X ) = npq ); I =X − np.npqТогда по теореме Леви—Линдеберга при n → ∞FI ( x ) сходится к Φ( x ) =12πx∫e1− t22 dt−∞равномерно по x. Отсюда следует практическое правило вычисленияn⎛⎞∑ X k − np ⎟⎜< b ⎟ ≈ Φ(b) − Φ(a ) = Φ0 (b) − Φ0 (a ) ,P ⎜ a < k =1⎜⎟npq⎜⎟⎝⎠где ∀a, b — любые значения.12πΦ0 ( x ) =x∫e1− t22 dt.0Так как значения ∀a, b, могут быть выбраны произвольнымобразом, заменим a наk1 − npnpq, b — наk2 − npnpqn,∑ Xk— на т.k =1Выведем интегральную формулу Муавра—Лапласа для вероятности нахождения числа успехов в заданном интервале (см.
разд. 5):⎛P ⎜ m1 <⎝n∑ Xkk =1⎞< m2 ⎟ = P⎠⎛ m1 − np m − np m2 − np ⎞<<⎜⎟≈npqnpq ⎠⎝ npq⎛ m − np ⎞⎛ m1 − np ⎞≈ Φ0 ⎜ 2⎟.⎟ – Φ0 ⎜⎝ npq ⎠⎝ npq ⎠Заменим a на ann, b на bв силу произвольностиpqpqa, b. Тогда⎛⎛nm − npn ⎞n ⎞P ⎜a<<b≈ Φ0 ⎜ b⎟⎟ − Φ0pqpq ⎠npq⎝ pq ⎠⎝⎛n ⎞⎜ a pq ⎟ .⎝⎠53⎛⎛nm − npn ⎞m − np<<b= P ⎜a <Но P ⎜ a⎟pqpq ⎠npqnpq⎝⎝⎞< b⎟ =n⎠pq⎛⎞⎛m⎞= P ⎜a < ⎜ − p ⎟ < b ⎟ .⎝n⎠⎝⎠Поэтому справедлива формула для вычисления отклонениячастоты от вероятности⎛⎛⎞n ⎞⎛m⎞P ⎜ a < ⎜ − p ⎟ < b ⎟ ≈ Φ0 ⎜ b⎟ − Φ0⎝⎠⎝⎠n⎝ pq ⎠⎛n ⎞⎜ a pq ⎟ .⎝⎠Если интервал симметричный, т.
е. a = −ε, b = ε , то по нечетности функции Лапласа получим⎛m⎞P ⎜ − p < ε ⎟ ≈ 2Φ 0⎝ n⎠⎛n ⎞⎜ ε pq ⎟ .⎝⎠Пример. Вероятность появления события p = 0,8. Проведеноn = 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, чтособытие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.По формуле Муавра—Лапласа получаем⎛ 90 − 100 0, 8 ⎞⎛ 75 − 100 0, 8 ⎞P ( 75 < X < 90 ) = Φ 0 ⎜⎟ − Φ0 ⎜⎟=⎝ 100 0, 8 0, 2 ⎠⎝ 100 0, 8 0, 2 ⎠= Φ0 (2, 5) − Φ0 (−1, 25) = 0, 4938 + 0, 3944 = 0, 9882 .Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появлениягерба от вероятности.Получаем:m2048 1−p =− ≈ 0, 007 = ε ;n4040 2⎛⎛m⎞4040 ⎞P ⎜ − p < ε ⎟ ≈ 2Φ 0 ⎜ 0, 007= 2Φ 0 (0, 89) = 0, 626 .⎝ n⎠0, 25 ⎟⎠⎝54Список литературыВентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. М.: Наука, 1969.564 с.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
Теория вероятностей: Задачник.М.: Наука, 1973. 172 с.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 1975.334 с.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1972. 477 с.Теория вероятностей / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2001. 455 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).55Оглавление1. Вероятность ........................................................................................1.1. Действия над событиями...........................................................1.2.
Классификация событий ...........................................................1.3. Свойства операций над событиями ..........................................1.4. Алгебра событий.........................................................................1.5. Классическое определение вероятности события ...................1.6. Геометрическая вероятность .....................................................1.7. Статистическая вероятность......................................................1.8. Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н. Колмогорову)..........................................................................................2.
Полная вероятность суммы и произведения событий ....................2.1. Условная вероятность ................................................................2.2. Формула вероятности произведения событий (теоремаумножения вероятностей). Независимые события .......................2.3. Формула вероятности суммы совместных событий (теоремасложения вероятностей) .............................................................2.4. Формула полной вероятности ...................................................2.5. Формула Байеса (теорема гипотез)...........................................3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
