Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Геометрическое распределениеРассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х число испытанийдо первого успеха, если вероятность успеха в одном испытанииравна р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, P ( X = 0 ) = p . Если Х = 1, т. е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения P ( X = 1) == qp . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-го неудач-ны и P ( X = n ) = q n p . Составим ряд распределения случайнойвеличины Х (табл. 4).Таблица 4хi012…n…pipqpq2p…qnp…Случайная величина с таким рядом распределения имеетгеометрическое распределение.Проверим условие нормировки: p + qp + q 2 p +...+ q n p + ...
=()= p 1 + q + q 2 + ... =pp= = 1.p1− q4.2. Гипергеометрическое распределениеРассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами.Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n1элементов первого типа, n 2 — второго типа и т. д., n N — N-готипа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить срединих m1 элементов из первой группы, m2 — из второй и т.
д.m N — из N-й?31Эту вероятность легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:P ( m1, m2 ,... mN , n ) =C nm1C nm2 ...C nmN12NC nm.В частности, при N = 2 ( m2 = m- m1 , n 2 = n - n1 ) (задача обракованных деталях)P ( m1, n ) =C nm1C nm−−nm111C nm.4.3. Формула Пуассона и распределение ПуассонаПусть число испытаний n велико, вероятность успеха p малаи значение λ = np мало.
Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формулеλ m −λПуассона P ( m, n ) ≈e .m!Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если значение q мало, приняв λ = nq.Случайная величина с рядом распределенияm, P ( m, n ) ≈λ m −λem!имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее.
Для грубых расчетов формулу применяют при n == 10, λ = 0…2 и при n = 100, λ = 0…3; для инженерных расчетов — при n = 20, λ = 0…3 и n =100, λ = 0…7; для точных расчетов — при n = 100, λ = 0…7 и n = 1000, λ = 0…15.Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона:M (X ) =∞m=0M ( X ( X − 1)) =32λ m −1∞λm∞λk= λe −λ e λ = λ ;k!k =0∑ m m ! e −λ = λe −λ ∑ (m − 1) ! = λe −λ ∑m =1∞∑m=0m ( m − 1)∞λ m −λλm − 2e = λ2 ∑e −λ = λ 2 ;m!m2!−)(m=2( )D ( X ) = M ( X ) − ( M ( X ))M ( X ( X − 1)) = M X 2 − M ( X ) = λ 2 ;22( )M X 2 = λ 2 + λ;= λ2 + λ − λ2 = λ .Заметим, что в распределении Пуассона M(X) = D(X) = λ.5.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ5.1. Экспоненциальное распределениеНепрерывная случайная величина имеет экспоненциальноераспределение, если ее плотность распределения задается формулойx < 0;⎧⎪0,p ( x ) = ⎨ −λx⎪⎩ λe , x ≥ 0,где λ > 0 — параметр экспоненциального распределения.Для случайной величины, имеющей экспоненциальное расx < 0;11⎪⎧0,пределение, M ( X ) = ; D ( X ) = 2 ; F ( x ) = ⎨−λxλλ⎪⎩1 − e , x ≥ 0.Если времена между последовательными наступлениями некоторого события — независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром λ, то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределениес параметром λt.
Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.5.2. Нормальное распределение(распределение Гаусса)Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена нормально, или по Гауссу), если ее плотность равна−(x −a)2p (x ) =1σ 2πe2σ2, x ∈ R.33Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины:+∞1M (X ) =σ 2π=σ2π∫2σ2−∞+∞∫xe( x − a )2−ye−y22 dy−∞dx = ( x =σy + a ) =1+a2π+∞∫e−y22 dyy2+∞−1(σy + a ) e 2 dy =∫2 π −∞= 0+a−∞12π2π = a .Аналогично можно показать, что D ( X ) = σ 2 , σ — среднеквадратическое отклонение.Обозначим плотность стандартного нормального распределения (при M ( X ) = a = 0, D ( X ) = σ 2 = 1 )1ϕ (x ) =2πe−x22,а функцию распределения стандартного нормального распределения12πΦ (x ) =где Φ0 ( x ) =12πx∫e−x22 dxx∫e−x22 dx=−∞1+ Φ0 ( x ) ,2— интеграл Лапласа. Значения Φ0 ( x )0можно найти в стандартных таблицах.Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок [a,b]:1P {a < X < b} =σ 2πb∫e−( y − m )22σ2dy .aДелая замену x = ( y − m ) / σ , получимP {a < X < b} =34(b − m ) / σ−1e∫2 π (a − m ) / σx22 dx⎛b − m⎞= Φ0 ⎜− Φ0⎝ σ ⎟⎠⎛a − m⎞⎜⎝⎟σ ⎠При вычислении вероятности полезно учитывать нечетностьфункции Φ0 ( x ) :Φ0 ( − x ) =12π−x∫e−x22 dx0y= y =− x = − ∫ e−y22 dy= −Φ 0 ( x ) .05.3.
Локальная и интегральная формулыМуавра—ЛапласаЕсли в схеме Бернулли число испытаний n велико, причемзначения p и q = 1 – p велики, то для всех m справедливы локальная формула Муавра—ЛапласаP ( m, n ) npq ≈ ϕ ( x ) ,x=m − npnpqи интегральная формула Муавра—Лапласа⎛ m − np m − np m2 − np ⎞P ( m1 ≤ m ≤ m2 ) = P ⎜ 1≤≤⎟≈npqnpq ⎠⎝ npq≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) = Φ0 ( x2 ) − Φ0 ( x1 ) ;x1 =m1 − npnpq; x2 =m2 − npnpq.Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным.Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра—Лапласа.Заметим, чтоm − np ⎛ m⎞= ⎜ − p⎟⎝⎠nnpqn.pqЗапишем интегральную формулу Муавра—Лапласа⎛⎞m − np< b⎟ ≈P ⎜a <npq⎝⎠12πb∫e−t22 dta35в виде⎛n⎛m⎞< ⎜ − p⎟P ⎜a⎝⎠pqn⎝nn ⎞<b≈pqpq ⎟⎠b12πnpq∫e−t22 dt.napqПоэтому⎛⎛⎞n ⎞⎛m⎞P ⎜ a < ⎜ − p ⎟ < b ⎟ ≈ Φ0 ⎜ b⎟ − Φ0⎝⎠⎝⎠n⎝ pq ⎠⎛n ⎞⎜ a pq ⎟ .⎝⎠Если интервал симметричен, −ε = a, b = ε , то по нечетностиΦ0 ( x )⎛m⎞P ⎜ − p < ε ⎟ ≈ 2Φ 0⎝ n⎠⎛n ⎞⎜ ε pq ⎟ .⎝⎠Пример [1, задача 3.42].
Телефонная станция обслуживает1000 абонентов. Вероятность поступления каждого вызова заминуту равна 0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов? Здесь n = 1000, p = 0,0005, λ = np == 0,5. P ≈ 1 − P ( 0, 0, 5) − P (1, 0, 5) = 1 − 0, 606 − 0, 303 = 0, 091 (по таб-лице P ( m, λ ) из [1]).Пример [1, задача 3.43]. Известно, что 20 % автомобилейнарушают скоростной режим. Какова вероятность того, что из1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальной формулой Муавра—Лапласа при n = 1000, p = 0,2,m = 300.Получим210 − 200npq = 1000 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,8 = 12,65; x == 0,79;12,65ϕ ( 0, 79) = 0, 292; P ≈0, 292≈ 0, 02 .12, 65Пример [1, задача 3.44]. Монету подбрасывают 10 000 раз.Найти вероятность того, что частота выпадения герба будет отличаться от значения 0,5 не более, чем на 2 %.Здесь надо пользоваться интегральной формулой Муавра—Лапласа при n = 10000,р = 1/2, m1 = 400, m2 = 600.
Тогда npq = 10000 ⋅ 0, 5 ⋅ 0, 5 = 50;x1 = −2, x 2 = 2; P ≈ Φ0 ( 2) − Φ0 ( −2 ) = 2 ⋅ 0, 47725 = 0, 9545.36Приведем другие распределения, часто используемые в инженерных расчетах.Распределение Вейбулла — это распределение с плотностью⎧⎪0, x < 0;p (x ) = ⎨β−1 −α x β, x≥0⎪⎩α β x e(α > 0, β > 0) ;и функцией распределения⎧⎪0,F (x ) = ⎨−α x β,⎪⎩1 − ex < 0,x ≥ 0.Если β = 1 , то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, а при β = 2 — в распределение Рэлея.Достаточно близкую к распределению Вейбулла плотностьимеет гамма-распределение:⎧0, x < 0;⎪p ( x ) = ⎨ λ γ x γ −1 −λx⎪ Γ (γ) e ,⎩Здесь Γ ( γ ) =+∞∫x≥0( λ > 0, γ > 0) .x γ −1e − x dx — гамма-функция.0Если γ = k — целое число, то гамма-распределение превращается в распределение Эрланга порядка k. Если k — нечетk1ное число, γ = , λ = , то гамма-распределение превращается в22распределение ℵ — распределение с k степенями свободы.При γ = 1 , так как Γ ( γ + 1) = γΓ ( γ ) , Γ ( n ) = ( n − 1) ! гамма2распределение переходит в экспоненциальное.Для всех рассмотренных распределений составлены таблицы, по которым можно определять значения функций распределения.376.
ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕВЕЛИЧИНЫСовокупность двух случайных величин (X, Y ), заданных навероятностном пространстве ( Ω, S , Ρ ) или ( Ω, Σ, Ρ ) , называютдвумерной случайной величиной, или двумерным случайным вектором; X, Y называют координатами случайного вектора.Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.Функцией распределения случайного вектора (X,Y ) или совместной функцией распределения случайных величин X, Y, называетсяF ( x , y ) = P {X < x , Y < y } .Свойства функции распределения:1) 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 (это — свойство вероятности, а F ( x , y ) —вероятность);2) F ( x , y ) — неубывающая функция по каждому из своихаргументов (в самом деле, если x1 < x 2 , то событиеY < y)включено в событие(X(XF ( −∞, y ) = F ( x , − ∞ ) = 0< x1,< x2 , Y < y ) , следовательно,F ( x1, y ) ≤ F ( x 2 , y ) );3)(X(события(X< −∞,Y < y ) ,< x, Y < −∞ ) — невозможные, поэтому их вероятность равнанулю);4) F ( +∞, + ∞ ) = 1 (событие ( X < +∞, Y < +∞ ) достоверно);5) P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d ) = F (b, d ) – F (b, c ) – F (a, d ) ++F (a, c ) .
Покажем справедливость этого свойства.Геометрически F (b, d ) — площадь полосы левее и нижеточки (b, d ) на рис. 11. Вычитая из нее F (b, c ) и F (a, d ) , мыдва раза вычтем площадь полосы левее и ниже точки (a, c ) . Длятого чтобы получить площадь прямоугольника — левую частьравенства, — надо вычитать эту площадь один раз, поэтому надо добавить ее, т. е. F (a, c ) в правую часть равенства;38dcabРис. 116) F ( x, y ) — функция, непрерывная слева по каждому изаргументов;7) F ( x + ∞ ) = FX ( x ) ; F (+∞, y ) = FY ( y ) .
Покажем справедливость первого равенства. Так как событие ( X < +∞ ) достоверно,(Xто пересечение событий(Y< +∞ )и(Y< y)есть событие< y ) . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогичнодоказывается справедливость второго равенства.Двумерная случайная величина (X, Y ) дискретна, если X,Y — дискретные случайные величины. Для нее составляетсятаблица распределения (табл. 5) — аналог ряда распределениядля одномерной случайной величины.Таблица 5YXy1y2…ymPXx1p11p12…p1mpX1x2p21p22…p2mpX2………………xnpn1pn2…pnmpXnPYpY1pY2…pYm…39В табл. 5 обозначены:pi , j = P ( X = xi ,Y = y j ) ;pnm = P ( X = xn , Y = ym ) , pYm = P (Y = ym ) == p1m + p2m + … + pnm,pXn = pn1 + pn2 + … + pnm.График функции распределения для двумерной случайнойвеличины напоминает «лестницу», уровень ступеней которойизменяется скачком на pij при переходе через точку (xi, yj) в положительном направлении по оси ОX и по оси OY. Если зафиксировать x = xi, то при увеличении y будут происходить скачкина pi1, pi2, … , pim (от нуля до pXi ).
Если зафиксировать y = yj, топри увеличении x будут происходить скачки на p1j, p2j, …, pnj (отнуля до pYj). Нижние ступени (при x ≤ x1 и y ≤ y1) находятсяна нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x > xn, y > ym) —на уровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y будут происходить скачки на pY1, pY2, …, pYm (от нуля до 1). Еслизафиксировать y > ym, то при увеличении x будут происходитьскачки на pX1, pX2, …, pXn (от нуля до 1).Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
