Галкин С.В., Панов В.Ф., Петрухина О.С. - Краткий курс теории вероятностей (1071993), страница 4
Текст из файла (страница 4)
+ xn pn .Если на числовой оси расположить точки x1,..., xn с массамиp1,..., pn , то m x — абсцисса центра тяжести системы точек.Аналогично для непрерывных случайных величин математическое ожидание m x =+∞∫xp( x )dx имеет смысл абсциссы центра−∞тяжести кривой распределения.Математическое ожидание функции случайной величинывычисляют по формулам:M ( f ( X )) =n∑ f ( xi )pii =1для дискретной случайной величины;M ( f (X ) =+∞∫f ( x ) p( x )dx−∞для непрерывной случайной величины.Свойства математического ожидания:1) M(C) = C.
Для дискретных случайных величин, если X = Cс вероятностью p = 1, то M(C) = xp =С. Для непрерывных случайных величин M (С ) =+∞∫−∞Cp ( x ) dx = C+∞∫ p ( x ) dx = C−∞вию нормировки для плотности вероятностей;24по усло-2) М(СХ ) = СM(X ). В самом деле, константу можно вынестииз суммы в дискретном случае и из-под интеграла в непрерывном случае;3) M(X +Y ) = M(X ) + M(Y ) (без доказательства);4) M(|X |) ≥ |M(X )| (без доказательства).Центрированной случайной= X − mx = X − M ( X ) .величинойназывается0X =Определим центральный момент s-го порядка.Для дискретной случайной величиныµs =n∑ (xi − mx )s pi .i =1Для непрерывной случайной величиныµs =+∞s∫ ( x − mx ) p ( x ) dx ,0µ s = M (( X )s ) .−∞Дисперсией называется второй центральный момент случай0ной величины: Dx = D ( X ) = M (( X )2 ) = M (( X − mx )2 ) .По свойствам математического ожидания получимDx = M ( X 2 ) − 2(mx )2 + (mx )2 = M ( X 2 ) − (mx )2 .Эта формула часто применяется.
Дисперсия характеризуетконцентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия — этомомент инерции системы материальных точек относительноцентра тяжести mx.Для дискретных случайных величинDx =n∑ ( xi − mx )2 pi .i =1Для непрерывных случайных величинDx =+∞∫ ( x − mx )2p( x )dx .−∞25Свойства дисперсии:1) Dx ≥ 0 (под интегралом стоит квадрат функции);2) DC = 0 ( mC = C , mC2= C 2) ;3) DCx = C 2Dx (выведите сами, вынося C 2 из под знакасуммы или из-под интеграла).Средним квадратическим отклонением называется σ( x ) ==Dx .Кроме этих основных числовых характеристик используютµся: коэффициент асимметрии sk = 33 ; эксцесс — мера остроσµ4вершинности распределения Ex = 4 − 3 ; среднее арифметичеσ0ское отклонение M ( X ) ; мода — наиболее вероятное значениедля дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин; медиана Me(X ) — абсциссаточки, в которой площадь, ограниченная кривой плотностираспределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = 1/2).Пример.
Стрелок делает один выстрел и с вероятностью pпопадает в мишень. Пусть X — количество попаданий в мишень. Это — дискретная случайная величина, принимающая двазначения: х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1 – p, p соответственно. Построим ряд распределения Х (табл. 3).Таблица 3xi01piqpФункция распределения равна⎧0, − ∞ < x ≤ 0;⎪F ( x ) = ⎨q, 0 < x ≤ 1;⎪1 1 < x < +∞.⎩Математическое ожидание равноM(X ) = mx = 0q + 1p = p.X2,26Если составить ряд распределения для случайной величиныто мы получим ту же табл. 3 (так как 02 = 0 и 12 = 1). По-этому M(X 2) = p, а дисперсию можно вычислить по формулеD(X ) = M(X 2) — (mx)2 = p — p2 = p(1 – p) = pq.Распределение называется равномерным на отрезке [a,b],если плотность случайной величины X постоянна на отрезке[a, b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.Из условия нормировки для плотности вероятности следуетb1=∫ pdx =p(b − a ) .a1— плотность равномерногоb−aраспределения.
Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равнаОтсюда вытекает, что p =⎧0, x ≤ a;⎪⎪ x − aF ( x ) = ∫ p( x )dx = ⎨, a < x ≤ b;⎪b − a−∞⎩⎪1, x > b.xВычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b]:bmx =x1 x2 bb2 − a2a+b;dx===∫b−a2b − a 2 a 2(b − a )a2bb⎛(a + b)2 ⎞ dx =a + b⎞⎛2Dx = ∫ ⎜ x −pdx=px−a+bx+)(⎟⎟∫⎜⎝2 ⎠4 ⎠aa⎝()22⎛ 3(a + b )2 (b − a ) ⎟⎞b − a3 (a + b ) b − a= p⎜−+=24⎜⎝ 3⎟⎠⎡ a 2 + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 ⎤=⎢−+⎥=324⎣⎦=()14a 2 + 4ab + 4b 2 − 6a 2 − 12ab − 6b 2 + 3a 2 + 6ab + 3b 2 =12(b − a ) .1 2b − 2ab + a 2 =1212То есть при равномерном распределении mx = axb/2, Dx == (b – a)2/12.=()2274. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯПусть проводится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, тотакие испытания называются независимыми.
Например, стрелокделает n выстрелов в мишень, в которой имеется N областейпопадания: десятка, девятка и т. д.Возможны две ситуации: условия проведения испытаний неменяются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).Рассмотрим ситуацию А.Пусть число исходов равно двум (N = 2). Схема независимыхиспытаний с двумя исходами называется схемой Бернулли.Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или непопаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промахаравна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). Вероятность не попасть в мишень равнаP (0, n) = q n , так как в каждом опыте стрелок промахивается.
Вероятность попасть один раз равна P (1, n ) = npq n −1 , так как стрелок может попасть при первом, втором, n-м выстреле. Вероятность попасть в мишень два раза равна P (2, n ) = C n2 p 2q n − 2 , таккак два попадания (порядок не важен) должны быть размещены(выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично вероятность попасть в мишень т раз из n раз равна:P ( m, n ) = Pn ( m ) = C nm p mq n − m ,т.
е. получили формулу Бернулли.Распределение Pn (m ) = C nm p m q n − m называют биномиальным.В самом деле, Pn (m ) — коэффициенты при zmв разложе-нии по степеням z производящей функции ϕ ( z ) = (q + pz ) .nИз формулы Бернулли вытекают два следствия:1) вероятность появления успеха в n испытаниях не менееm1 раз и не более m2 раз равна28P ( m1 ≤ m ≤ m2 ) =m2∑m = m1C nm p mq n − m ,2) вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна(m1 = 1, m2 = n )R(1, n) = P ( m ≥ 1) =n∑ Cnm pmq n − m = 1 − Cn0 p0q n = 1 − q n .m =1Если Х имеет биномиальное распределение, то Мх = np,Dx = npq.Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p1 ,…, pN; Вычислим вероятность того, что после nиспытаний i-й исход наступит mi раз (m1 + ... + mN = n) :P (m1 ,..., mN ; n ) = C nm1C n −2m ...
C n −Nmmm11 − m2 −...− mN −1p1m1 p2m2 ... pN mN .Заметим, чтоC nm1C nm−2m ... C nm−Nm1 − m2 −...− mN − 11==n ! (n − m1 ) ! (n − m1 −...− mN −1 ) !m1 ! (n − m1 ) ! m2 ! (n − m1 − m2 ) ! mN ! (n − m1 −...− mN ) !=n!m1 ! m2 !...mN !=,так как n = m1 + ... + mN . ПоэтомуP ( m1,..., mN , n ) =n!p1m1 p2m2 ,..., pN mN .m1 ! m2 !... mN !Это — полиномиальное распределение.
Здесь P ( m1,..., mN , n ) —это коэффициенты при z1m1... z NmN в разложении по степенямz1,..., zn производящей функции ϕ ( z1, ..., zN ) = ( z1 p1 + ... + zN pN ) .nРассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. Вероятности P (m1,..., mN ; n ) — это коэффи29циенты при z1m1...
z NmN в разложении по степеням z1,..., z n производящей функции ϕ ( z1,..., z N ) =n∏ ( z1 p1i +...+ zN pNi )при N ис-i =1ходах.При двух исходах P ( m, n ) — это коэффициент при z m вразложении производящей функцииϕ (z ) =n∏ (qi + pi z ) ,i =1где qi + pi = 1, i = 1, n .Пример. Найти вероятность с пяти раз вытащить из колодыв 36 карт: а) три туза, б) не менее одного туза.Получим32⎛1⎞ ⎛8⎞а) P (3, 5) = C53 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ;⎝9⎠ ⎝9⎠5⎛8⎞б) R (1, 5) = 1 − P ( 0, 5) = 1 − ⎜ ⎟ .⎝9⎠Пример. Мишень для опытного стрелка содержит три области попадания: «10», «9», «пусто». Вероятность попасть при одном выстреле в «10» — 0,2, в «9» — 0,7, в «пусто» — 0,1. Каковавероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза,в «9» 4 раза, в «10» 4 раза?ПолучимP ( 2, 4, 4, 10 ) =10 !(0,1)2 (0, 7)4 (0, 2)4 .2! 4! 4!Пример.
Производится три выстрела в мишень. При первомвыстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть —0,5, при втором выстреле — соответственно 0,4 и 0,6, при третьем выстреле — 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть вмишень?Получимϕ ( z ) = ( 0, 5 + 0, 5z ) ( 0, 6 + 0, 4 z ) ( 0, 7 + 0, 3z ) == 0, 21 + 0, 44 z + 0, 29z 2 + 0, 06z 3 .30Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз — 0,44,два раза — 0,29, три раза — 0,06.Рассмотрим распределения, связанные с повторными испытаниями.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
