Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 180
Текст из файла (страница 180)
В приведенных рассуждениях неявно предполагалось, что диаметр пучка 2а в месте расположения зеркал значительно меньше их диаметров, только при выполнении этого условия гауссов пучок преобразуется в гауссов же. Однако амплитуда пучка, согласно (229.2). уменьшается очень быстро при х~ + р~ > а~, и практически диаметр зеркала д должен быть больше диаметра 2а пучка в два-три раза. Расчет показывает, например. что при д = 3. 2а мимо зеркала проходит лишь 0,01% от общего потока. Эта величина и соответствует в данном случае вк;таду в общие потери от дифракционных явлений. Как правило, потери иного происхождения (например, из-за прозрачности зеркал) существенно больше.
Итак, для заданного гауссова пучка всегда можно так подобрать зеркала и их расположение, чтобы он преобразовался «сам в себя». При рассмотрении квантовых генераторов практический интерес представляет обратная постановка вопроса: каковы параметры гауссова пучка, удовлетворяющего принципу цикличности, при заданных расположении и фокусных расстояниях зеркал'? Вычисления (см. упражнение 250), основанные на формуле (229.1), приводят к следующему результату для зеркал с одинаковыми фокусными расстояниями 1 ): ГЛ. Х1,.
О11ТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ 731 Сечение пучка с минимальным радиусом ао равноудалено от зеркал, что естественно для симметричного резонатора. Поскольку подкоренное выражение должно быть положительным (229.5) то интересующий нас циклический гауссов пучок может существовать лишь при достаточно длиннофокусных зеркалах. Физически это вполне понятно:предельное значение 4Х = Х отвечает случа1о,когда центры кривизн зеркал совпадают; более короткофокусные зеркала слишком сильно фокусируют пучок, и при последовательных отражениях он диафрагмируется зеркалами. Из соотношения (229.4) видно, что минимальная площадь поперечного сечения пучка лао пропорциональна площади первой зоны Френеля ЛХ (см.
~ ЗЗ), соответствующей расстоянию Х. Это явно указывает на дифракционный характер рассматриваемой задачи. С помощью соотношений (229.2) — (229.4) можно вычислить радиусы а1 и а2 гауссова пучка в плоскостях зеркал. что позволит судить об осуществимости различных схем резонатора. В самом деле, 4 Ь ~~~~ — 1 Отсюда следует, что и в концентрическом резонип1оре (4Х -+ Х), и в резонаторе с плоскими зеркалами (Х/Х, -+ оо) пучок на зеркалах имеет очень большое сечение и значительная часть потока проходит мимо зеркал при их разумных размерах, а это означает фактически невозможность формирования в таких случаях гауссовых пучков.
Радиусы пучков в плоскости зеркал и, следовательно, размеры самих зеркал минимальны. как легко показать, при 2Х" = Х, и тогда (229.7) 2к Фокусы зеркал в этом случае совпадают, а центр кривизны каждого зеркала находится на противоположном зеркале. Такие резонаторы называются еофокуеными, или конфокальными. или п1елескопичесними (два одинаковых зеркала с совпадающими фокусами образуют телескопическую систему с увеличением — 1).
Если Л = 0,63 10 з мм (гелий-неоновый лазер) и Х = 1 м, то а1,„„„— — 0,32 мм и необходимые размеры зеркал варьируют от 1.5 до 2 мм. Благодаря малой величине длины волны практически приемлемыми оказываются зеркала. очень длиннофокусные с точки зрения обычных представлений. Например, а1 — — 1 мм реализуется при Х" = = 100 м (если по-прежнему Л = 0,63 .
10 з мм. Х = 1 м). Невозможность формирования гауссовых пучков в резонаторе с плоскими зеркалами отнюдь не означает, что не могут образовываться вообще никакое стационарные пучки. В этом случае стационарные пучки также существуют„но распределение амплитуды по волновому фронту будет описываться для них не гауссовой, а иной функцией. И опыт, и расчеты показывают, что в резонаторах с плоскими зеркалами поле представляет собой стоячую волну с почти плоским волновым ЛАЗЕРЫ, ИЕЛИНЕЙ11АЯ О11'1'ИКА 732 фронтом, а зависимость амплитуды от поперечных координат хорошо описывается произведением гармонических функций, которые обращаются в нуль на краях зеркал: э1п ы1 в1п ( — дг ~ э1п ~ — гик ~ вш ( — иу (229.8~ Здесь т, п, д -- целые положительные числа, а и 6 длины сторон прямоугольных зеркал, а начало координат совмещено с одной из вершин зеркала (рис.
40.15). На рис. 40.16 а приведены фогографли Рис. 40.15. Резонатор с плоскими прямоугольными зеркалами поперечного сечения пучка на зеркале. Число полос нулевой амплитуды, параллельных осям Ох и Оу, равно, очевидно, ш — 1 и и — 1. Как известно, стоячая волна эквивалентна набору бегущих волн. В данном случае мы имеем дело с восемью бегущими волнами; четыре падают на левое зеркало. а четыре — на правое.
Составляющие волновых векторов по осям Ох, Оу и Оя равны соответственно ~ — т, а ~ — п и ~ — 17. Соотношения 6 Л (229.9) определяют углы, смысл которых ясен из рис. 40.15. Угол В,„„, например, образуется волновым вектором и осью О-. Чем больше числа ш, и, тем больше этот угол. Поэтому волны с т ) 2, п ) 2 называются боковыми волнами, в противоположность волне с минимальными зна 1ениями т = и = 1, называемой осевой или аксиальной. Напомним, что между модулем волнового вектора и частотой существует общая связь ы = Ис(п,,р, где н,,„— показатель преломления.
ГЛ. Х1, О1ГГИ~1БСКИЕ КВА1!ТОВЫЫ ГЫ!1В!'АТО1'Ы Поэтому волне (229.8) отвечает частота с шт~,пд асср (229.10) Соотношение (229.10), которое можно получить и из принципа цикличности, означает дискретность набора частот в спектре излучения лазера с плоским резонатором. Однако, как легко показать, интервал частот, соответствующий изменению т и и на единицу, гораздо меньше, чем при переходе от д к д + 1, если на зеркалах укладывается много зон Френеля, отвечающих расстоянию Ь (см. упражнение 251). 2;1 3;! 3;3 3;2 Рис. 40.16.
Распределение освещенности па волновом фронте в оптическом квантовом генераторе: а — плоские квадратные зеркала (числа указывают значения ти и и): о — круглые сферические зеркала А теперь кратко обсудим вопрос об относительной величине энергии, покидающей объем резонатора, образованного плоскими зеркалами, вследствие дифракции за время одного цикла.. Для того чтобы дифракционные потери были малыми, дифракционное уширение пучка должно составлять пеболыпую часть от поперечных размеров зеркал. В атом случае, как известно, мы имеем дело с дифракцией Френеля, и пучок расширяется на ве,личину, примерно равную радиусу первой зоны Френеля ъ~ЛХ,. Если бы вблизи одного из зеркал ЛАЗЕРЫ, НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА амплитуда сохраняла постоянное значение вдоль волнового фронта, то относительные потери за счет дифракции при достижении второго зеркала были бы, очевидно, пропорциональны ~/Л.Г/а+ ~/ЛЬ/Ь.
Однако амплитуда поля на краю зеркал обращается в нуль, в результате чего потери оказываются пропорциональными кубам отношений у~ЛЛ/а, ~/ЛЕ/6 (см. упражнение 252). Кроме того, потери увеличиваются с ростом т и и, т.е. потери минимальны для аксиальных воли и увеличиваются по мере возрастания угла между осью резонатора и волновым вектором. Если Л = 0,63 мкм, Х = 1 м, а = 6 = 1 см, то дифракционные потери составляют около 0,1%. Отметим, что боковые волны, характеризующиеся линиями нулевых значений амплитуды на волновом фронте, существуют и в резонаторах со сферическими зеркалами. В частности, фотографии на рис. 40.16б получены с резонатором, составленным из сферических зеркал круглой формы.
До сих пор мы интересовались конфигурацией поля внутри резонатора. Характеристики пучка, вышедшего из лазера,, можно найти, решая дифракционную задачу и принимая в качестве исходного распределение поля на внеп1ней стороне зеркала., отличаютцееся на коэффициент пропускания зеркала от поля на внутренней его поверхности. В случае резонатора со сферическими зеркалами амплитуда поля описывается гауссовой функцией (229.2), и, согласно общим выводам ~ 43, выходящий пучок будет гауссовым, а его параметры а0 и я0 могут отличаться от параметров, определяемых (229.3) и (229.4), только за счет фокусирующего действия толщи подложки зеркала. Последнее легко установить по законам преобразования гауссовых пучков линзами (см.
~ 43). В случае резонатора., образованного плоскими зеркалами, амплитуда поля на волновом фронте описывается функцией В|П вЂ” тХ Э1П вЂ” ПУ что соответствует„как было пояснено выше, падению на зеркало четырех плоских волн. Поэтому поле вне резонатора соответствует дифракпии этих волн на прямоугольном отверстии со сторонами а и Ь вдоль осей Ох и Ор.
Амплитуда в дифракционной картине на больших расстояниях (случай Фраунгофера) определяется выражением, которое можно написать по аналогии с результатами ~ 42. Графики интенсивности в функции угла дифракции у (соответствующего отклонению в направлении оси Ох) представлены на рис. 40.17 а для гп = 4. Наиболыпие значения интенсивности достигаются вблизи углов ~р = ~р„, = ~гпЛ(2о,, отвечающих направлению распространения упомянутьгх епадающих» волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
