1_4_Формирование пространственного изображения (1063184), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Рис. 7.4. Свертка функции с откликом системы:

а — прямоугольная функция; б — входная функция в виде совокупности прямоугольных функций; в — отклик системы (функция рассеяния); г — формирование свертки в точке с координатой x

Заменим теперь конечное приращение  бесконечно малым d. При этом сумма переходит в интеграл:

(7.10)

Выражение (7.10) представляет собой интеграл свертки входной функции и отклика на узкую импульсную функцию.

Важным свойством интеграла свертки является коммутативность, которая в исследуемом случае проявляется следующим образом. Отметим, что импульсная функция, отстоящая от точки x на величину , т. е. в точке (x – ), имеет ординату I(x – ). Очевидно, что соответствующая функция рассеяния этого импульса на расстоянии , т. е. в точке x, имеет ординату A_l(), умноженную на значение функции в точке (x – ): I(x – )A_l().

Объединив функции рассеяния (отклики на входные импульсные функции), получим

(7.11)

Уравнение (7.11) эквивалентно уравнению (7.10), т.е. мы показали, что интеграл свертки действительно обладает свойством коммутативности.

Расчет распределения интенсивности в изображении может быть существенно упрощен при использовании преобразований Фурье.

7.5. Фурье-преобразования в оптике

Понятие пространственной частоты

В параграфе 7.2 мы рассматривали объект как совокупность элементов простой формы: точек или линий. Но можно представить произвольный объект как совокупность элементарных пространственных составляющих (гармоник), интенсивность которых изменяется по синусоидальному или косинусоидальному закону и которые отличаются друг от друга по частоте, амплитуде и фазе.

Применительно к решетке пространственная частота в соответствии с формулой (7.1) равна количеству ее периодов, размещающихся на единице длины. Так, n-я пространственная гармоника периода P имеет период P/n, что соответствует пространственной частоте n/P, которая представляет собой число повторений на единице длины изображения.

Ряды Фурье

Периодическую функцию f(x) аргумента x, имеющую период P, т. е. пространственную частоту  = 1/P, можно представить в виде суммы синусоид или косинусоид, имеющих частоты , 2, 3, ... , n и периоды P , P/2, P/3, ..., P/n:

где P измеряется в миллиметрах, а  — в единицах на миллиметр.

Коэффициенты такого ряда определяются по формулам

(7.13)

Легко убедиться, что для четной функции все b_n = 0; для нечетной функции все a_n = 0.

Тестовые решетки с одинаковыми прозрачными и непрозрачными полосами (см. рис. 7.1, а), имеющие прямоугольное
(П-образное) пропускание, могут быть описаны рядами Фурье:

(7.14)

(7.15)

Уравнение (7.14) соответствует расположению начала координат в центре окна (рис. 7.5, а), а уравнение (7.15) — случаю, когда начало координат совпадает с границей окна (рис. 7.5, б).

На рис. 7.5, в в пределах одного периода показаны частные суммы двух и трех членов ряда Фурье. Увеличение числа членов ряда Фурье делает суммарную функцию все более похожей на исходное прямоугольное распределение.

Ряд Фурье в комплексной форме

Разложение Фурье может быть записано в более простой форме с помощью комплексных экспоненциальных функций. Используем для этого экспоненциальные выражения для косинуса и синуса, являющиеся следствием формулы Эйлера:

(7.16)

Рис. 7.5. Представление функции рядом Фурье:

1 — первый член ряда; 2 — сумма двух членов ряда Фурье; 3 — сумма трех членов ряда Фурье

Представим общий член выражения (7.13) в виде

(7.17)

Если мы обозначим

(7.18)

то формула (7.13) примет вид

(7.19)

Отметим, что суммирование ведется по целым (как положительным, так и отрицательным) значениям n, включая также и нуль. При этом комплексные коэффициенты и поэтому , где звездочка означает комплексное сопряжение.

Формула (7.19) имеет очень простой вид. Покажем, что существует также очень простая формула для определения коэффициентов C по заданной функции f(x). Подставим для этого значения a₀, a_n, b_n из формул (7.14) в формулы (7.18) и получим:

_(7.20)

_(7.21)

(7.22)

Формулы (7.20) – (7.22) можно объединить в одну формулу

(7.23)

где n принимает все положительные и отрицательные целые значения, включая нуль. Таким образом, в комплексной форме разложение Фурье имеет вид

(7.24)

(7.25)

Интеграл Фурье

При увеличении периода P пространственные частоты становятся ближе друг к другу. Это означает, что в предельном случае непериодическая функция может содержать все частоты. Разложение таких функций осуществляется с помощью интеграла Фурье. Для разложения такой функции в выражение (7.19) подставим значение C_n из (7.23):

(7.26)

Непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при стремлении периода к бесконечности, т. е. когда . В рассматриваемой формуле множители n/P можно принять за дискретные значения

...;

переменной , непрерывно меняющейся от до .

Приращение переменной . При можно ввести замену . С учетом этой замены сумма (7.26) переходит в интеграл и мы получаем выражение интеграла Фурье в комплексной форме:

(7.27)

причем функция определяется через f(x) формулой

(7.28)

Фурье-преобразование

Формулы (7.27) и (7.28) выражают так называемое фурье-преобразование функции f(x). Отметим, что комплексная экспонента в формулах имеет разные знаки.

Для одномерного объекта с распределением интенсивности f(x) прямое фурье-преобразование позволяет найти частотную или спектральную характеристику. Это значит, что интенсивность объекта представляется в виде бесконечно большого набора гармонических составляющих всех пространственных частот , а модуль выражает ту долю, которая приходится на каждое выбранное значение частоты, т. е. выражает спектральную плотность.

Обратное фурье-преобразование позволяет восстановить распределение интенсивности по спектральной характеристике объекта.

Фурье-преобразования позволяют упростить расчеты распределения интенсивности в изображении, если известны распределение интенсивности в объекте и функция рассеяния системы.

Воспользуемся известной теоремой, которая формулируется так: фурье-преобразование некоторой функции, являющейся сверткой других функций, равно произведению фурье-преобра-
зований функций, подвергаемых свертке.

Докажем эту теорему применительно к рассмотренному ранее примеру свертки, а именно к выражению интенсивности I_i(x) в точке изображения. Для формулы (7.11) напишем фурье-преобразование обеих частей равенства:

(7.29)

Обозначим I_i() фурье-преобразование фунукции I_i(x), а в правой части равенства (7.29) выберем следующий порядок интегрирования:

(7.30)

Во внутреннем интеграле правой части (7.30) введем новую переменную x = x – . Тогда

и равенство (7.30) приобретет вид

(7.31)

т. е. действительно І_i() равно произведению фурье-преобра-
зований функций, связанных операцией свертки (в данном случае функции распределения интенсивности в объекте и функции рассеяния).

Фурье-преобразование изображения

Результат, полученный выше, позволяет существенно упростить нашу основную задачу — вычисление интенсивности I_i(x) в плоскости изображения проекционной системы.

Действительно, теперь для решения этой задачи нет необходимости вычислять свертку распределения интенсивности в объекте I_o(x) с функцией рассеяния линии A_l(x). Значительно проще сделать это через фурье-преобразование, так как фурье-преобразование изображения равно произведению фурье-преобразований объекта I_o(x) и изображения изолированной линии A_l(x). Таким образом, если от распределения интенсивности в объекте I_o(x) перейти к фурье-преобразованию, т. е. к спектру пространственных частот объекта,

(7.32)

а от функции рассеяния линии A_l() — к фурье-преобразованию

(7.33)

то спектр пространственных частот изображения I_i(), т. е. фурье-преобразование от распределения интенсивности в изображении I_i(x), будет иметь вид

(7.34)

7.6. Оптическая передаточная функция

Из предыдущего параграфа следует очень важный вывод.

Если представить объект в виде суммы гармоник различных пространственных частот, можно оценить, какими они станут после прохождения оптической системы, т. е. в изображении. Для этого входные параметры каждой гармоники следует преобразовать с помощью соответствующего коэффициента A(). Просуммировав преобразованные гармоники, получим представление объекта после прохождения оптической системы, т. е. изображение.

Функция A(), определяющая, каким образом каждая частотная составляющая передается оптической системой с учетом дифракции, аберраций, ошибок изготовления оптической системы, называется оптической передаточной функцией (ОПФ) системы.

ОПФ, являющаяся, согласно выражению (7.33), преобразованием Фурье от функции рассеяния импульсной функции, представляет собой в общем случае комплексную функцию, которую можно записать в показательной форме через модуль комплексной функции T() и аргумент φ():

(7.35)

Характеристики

Список файлов лекций