Налимов В.В. - Теория эксперимента (1062946), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Используются уже хо о<но знакомые нам линейные симплекс-планы. ассмотрим правильный симплекс Я„с вершинами „1>„, ..., оьы и центром С,. На кая<дой грани ов лго>кно носгроить новый симплекс Я> с центром С, и й вершинами и„... у' о Р, <ь ...,; „;„„..., оюы принадлежащими мно><юст- < и Н Ивввчвв 1ГЛ. 1Ч !тч пллпиРОВАпик эггсг1кгимГнтл вУ Яе, и оДной новой вгРиплиой и;, Явлиюшейса воРкальным отображением точки и, отпоситольпо грани, общей обоим симилексзм. Иа рис.
4Лл выполнено построение СПМПЛЕКСа 111 ИЗ СяияЛЕКСа Ье дЛя СЛуЧая Й .= 2..'тОбЫ Ч 11 найти ту или иную координату то или или нужно взять удвоенное среднее из соответствующих координат гы и.„... и1-11 Р111 ' ' ' е 11 м, ..., ие 11 вычесть из него соответствУюЩУло координату точки и;. Б векторном обозначении эти запишется так: = — (ел+ 1' -' .
-'. Р1-1.' лжл 1 ° и 11+1) -- т>, Допустим теперь что у (выход процесса в точке ир) есть наименьшее значение среди й + 1 значений, полученных для симплекса Яе. Тогда интуитивно ясно, что надо двигаться в направлении точки ир. (Монгно строго доказать, что движение ив .1д У1 центра симплекса Се за грань, находящуюся прону' '.-. тив точки ор, будет совпа.ил ',~ .у -~лг" дать с направлением кру"п и ' того восхождения, рассчи- 1 таиным по результатам наблюдений в вершинах 7/,' правильного спмплекса).
Рис. лл.з. г!еетрееаве снмиленса ь', Стратегило симплокоиз свмплекса хл 11 эалвче с лвхлш планиРованил молкао сфоР- незввиснмымв веремепн11лил, мулировать в трех простых правилах: П р а в и л о 1. Отобрать наименьшее значоние ун из значений ул, у, ..., у1л+„вамеренных в гочках, образующих симплекс Я„. Дополнить этот симплекс новым симплексом ор заменив точкУ гю соответствУлоЩУю точке У„, точкой и„.
П р а в и л о 11. Если результаты применения правила 1 приводят к тому, что система симплексов начинает вращаться вокруг точки, соответствующей некоторому наибольшему значешпо (воэмолвпо, обусловленному огпибкой). то после !е + 1 опытов прекратить применение правила 1 и повторить опыт, дающий завышенные результаты. лцлптлцпонпля иитил1излиии П р а в и л о 1!1.
Если значение ув было наименьшим и спмилексе бе, а значение у' оказалось наименьшим Р в симплексе ЯР, то прекратить применение правила 1 и вернуться к симплексу Яе. Двигаться иэ симплекса 81, отбросив второо наименьшее значение, котороо одповремонно явлнотся и вторым наименьшим значением для симплекса ЯР. П методе симплекс-планирования четко указываотся, когда и куда двигаться; это позволяет иоляостьго автоматизировать процесс управления, используя управляющие Э!!М или малоквалифицированный персонал. Если почему-либо переменные варьировать нельзя, то к1штро:и, за производствеппым процессом, разумоет ся, можно вести и по результатам пассивных набшодений, используя для этого контрольные карты различного типа и, прежде всего, конечно, коммулятивио-суммирующие карты, о которых реп, шла выше (см.
стр. бл). Дальнейшим развитием метода контрольных карт явля1тся метод прогнозирования нестациопарпых процессов, предложенный Боксом и Дженкинсом (см. стр. 1ДО). Метод прогноза можот сочетаться и с методом активного ;лксперимепта. Допустим, например, что в многомерной техпологичоской задаче проводится эволюционное планирование и получается последовательносль значений для составнин1щих градиента линейного пряближенпя.
Далее моз;но г грошь прогноз в отдельности ио кал дой иэ составллиощих градиента, используя метод Бокса — Дженкинса. !'ешевие о том, что делать, будет привпматься теперь у ио г использованием результатов, полученных не только ка последней фазе, но таклке и ка предыдущих фазах. Мы получим систему управления с памятью, причем эволюционное планирование превратится уже в управление и технологическои обратной связью. Заканчивая настоящий раздел, хочется подчеркнутги ыо задачу оптимального управления производственным ~р1 цессом можно рассматривать в системо тех предстали ияй, которые возникли при анализе и планировании ~16ычного вксперимента, столь хоролпо знакомого всем исследователям.
пллпигояхпив эк11пвгимкптА '1ГЛ. 1Ч О 5. Планирование эксперимента при изучении механизма явлений /(о сих пор мы рассматрпвалп планирование эксперимента только в применении к экстромальпым задачам. Ретпая эти задачи, исследователь стремится найти оптимальные условия протекания процесса в условиях, когда механизм явления слишком слоткен, т. е. изучаемая система плохо организована. Планирование эксперимента моткно применять также и цри изучении хорошо организованных систем, когда целью исследования служит изучение механизма явления Здесь возможпь1 три различные постановки задачи.
П Задача уточнепия парметров мод е л и. Предполагается, что априори известен аналитический вид функции отклика ц = 1р (т., хы..., мх, 0„0„..., О,) = тр (х; 0). Известите также предварительные оценки параметров 0„0,..., О;, и эти оценки надо уточнить. При такой постановке задачи функция отклика, как правило, оказывается уже нелинейной по параметрам.
В задачах химической кинетики ими могут слуяснтчэ скажем, суммы экспонент. Обратим внимание на то, 1то задача оценки парамттров существенно отличается от экстрохшльпой. Прп решении экстремальной задачи пас вполне устроит модоль, адекватно описывшощал наблтодаемые явления. Однако эта адекватность может быть в некотором смысле иллтозорной.
План может оказаться таким, что оценки параметров будут штльно закоррелированы и болшпио ошибки в оценках будут взаимно компенсироваться, создавая хорошее соответствие между наблтоденнымн и вычисленными значениями функции отклика. П. Выбор одной из двух (или нескольких) конкурируютцих гипотез. При такой постановке задачи предполагается, что исследователь выбрал априори несколько возмоятных гипотез, а имонпо, т)1 =- 1р, (х; О,), т~т = 1р, (х; О,), ть« ='%я(х»О!л) где вектор парамотров О, мотает иметь различную размерность. Задача заключается в том, чтобы поставить эксперимент, позволяющий отобрать ту модель, которая луч1ие, всего соогветствует набтподаемому явлению, Ш.Одновременное решение обоих поставленных выше задач.
Исследователь может стремиться к тому, чтобы одновременно решать обо поставленные вытпе задачи. Такая стратегия, как будет показано нитке, окязь1ваотся наиболее логичной. Но мы все же рассмотрим сна шла два первых подхода, так как это облегчит понимание всей проблемы в целом. Пачном с расслготрепця поряо~л задачи. Поскольку здесь приходится иметь дело с функцией, нелинейной по яараметрам, первое, что нам надо сделать,— это произв'сти линеаризацито функции, разлагая ее в ряд Тейлора я окрестности некоторой точки О, (далее для простоты мы оттустим ни;кний нвдокс при 0', указывающий помор гипотезы, поскольку в рассматриваемой здесь постановке .шдачи выбирается какая-либо одна модель). В результате мы приходим к рассмотрению информационной матрицы (Р Р)/Х, полученной из матрицы яе зависимых 1юременпых Р порядка Ж Х (, где элемент матрицы гор(.,гв) ~ Г,1 —...
Э" 1ггь частная производная по параметру О,. в точке 0 = 0' яря ЗиаЧЕНИяХ Хтл, Х„„..., Ит„, СООтВЕтСтнуЮщИХ уСЛОВИ- ям некоторого и-го опыта, Отсюда зпдяо, что прн такой о~ становке задачи матрица планирования определяется ор доарительными оценками параметров 0'. Притерий оптимальности планирования экспериментзчх1ожно сформулировать здось следующим образом: расположение точек в пространстве независимых иерем япь1х должно быть выбрано так, чтобы определитель ~(ГГ)! ' был минимален.
1Рункциональный определитель 1 5[ ИЗУЧКЯИВ МГХАКИЗМХ 11ВЛГМПтй [83 1!Лнн!уровниупу зушпкгил1внтА [ГЛ. 1У (якобиан) ) (Г'Г) 1! характеризует преобразование проСтРаНСтВа ОПЫТОВ (С КООРДИНатаМИ т[н .—.:- 19 (Х„й О)) В пространстве параметров. Кслп якобиан минимален, то приближенно минимагп,ным будет и объем (-мерного зллипсоида рассеяния в пространстве параметров, определяющего доверительные грапкцы параметров функции отклика. Таким образом, мы получаем 77-оптимальнгвй план. Пуукно обратить внимание, что, в отличие от задач, линейных по параметру (поляномиальная регрессия), здесь оптимальный план зависугг от значений оцениваемых параметров. Требование минимизировать якобиан )(Г'Г)"'( равносильно требованию максимизировать определитель ~ ГГ ~.
Рассмотрим планирование, в котором число уровней равно числу параметров (, и на каждом уровне будем делать такое количество параллельпых опредолоний, которое необходимо для получения заданной точности. Тогда матрица будет квадратной матрицей порядка 1 Х й Для этой матрнц1в ! Г*Г ! = ( Г (т.
Следовательно, задача построения оптимального плана сводится к выбору таких значений независимых переменных в неком заданном интервале значений, прн которых модуль определителя )Г( окажется максимальным. Это слоятная вычислительная задача, поддающаяся решению только с помощью ЭВМ. Обычно используют методы последовательного планирования, ври которых после каткдого неболыпого уточнения параметров проязводвтся вычислоняе нового, оптимального на данном шаге плана. Задача несколько усложняется, если ввести стоимость наблюдений, которая может быть различной при разных значениях независимых переменных. С такой ситуациой особенно часто приходится встречаться в вадачах физики, где, скажем, с ростом энергии элементарных частиц растет стоимость опыта.
Нетрудно строго показать, что процесс уточнения сходится, данте если исходные оценки сделаны совсем грубо. Проиллюстрируем сказанное примером, заимствованным ив статьи Вокса и Лукаса (10[). Требовалось уточнить параметры уравнений химической кинетики в качестве предварительных оценок были взяты оначения йо 07, йе 0о Применяя описанпую выше процедуру, авторы установили, что измерения надо производить в моменты времени [1 и [в. На рис. 4.9 зтя значения отмечены на шкале времени жирными точкамп. Там вш графически представлена функция 19 (ц 0,7; 0,2) в ее частнь1о производные йа [,9й Цй[ йт[б 1 (лаар~ уггтаугввал агалли) Рве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
