Крутов В.И. - Техническая термодинамика (1062533), страница 54
Текст из файла (страница 54)
/л Р д„. (точка Ь на рис. 77). Зависимость Р = ) (Р) в даРис, 77. Грзфзя изменения давления виу- т тря сосуде (Р,) и в устье отверстия (Р,) звуковой области совпадает, с в зависимости от яоэффициеитз р ' зависимостью Рз = /(р), так как в этом случае Рт = Р,. В сверхзвуковой области давление в устье становится критическим Р, ° Р, Р, Рир соцве Р~ Рт/ряр Рт Рт так как для даннога вещества ряр = сапа( и по условию задачи рв = = сапз1. Таким образом,'уравнеяйие зависимости рг = /(Р) получает' вид равнобокой гиперболы ртР = сопз1, исходящей .нз точки а (рис.
77) На рсем протяжении сверхзвуковой области 0( р ( р'„р отно. шение давлений р,/р; = р;р„р/р;= ()„р =- сапа(. Скорость истечения газа в дозвуковой области определяется выражением я== тра Р; Р3 (1 — (Ря/Р;)сз м(е) 2й/(й — 1), показывающим, что скорость при истечении непрерывно уменьшается. В сверхзвуковой области выражение, стоящее под знаком радикала в квадратных скобках формулы (607), имеет постоянное значение, а произведение рта, при показателе политропы тк ) 1 с падением давления уменьшается, поэтому скорость ен равная скорости звука, также будет- уменьшаться. Коэффипиент ф;, определяемый выражением (60ч), для истечения нз сосуда ограниченной вместимости в дозвуковой области примет вид ту, =)/2((Ре/Р,)в/з — (Рв/Р,)~е+ Оl") й/(й — 1).
(608) и по мере уменьшения р,/рт также уменьшается, ' В сверхзвуковой области выражение (608) имеет постоянное значе- („.ние(р = сопз(, как это показано на рис. 77, Для сверхзвуковой области действительная скорость истечения в) соответствии с формулой (590) определяется выражением жд „р = " = (Р(вдр. Основное уравнение истечения в конечном виде )ложет быть полу- , чено интегрированием выражения (606).
Если ввести 'обозначения 'р;/р, =. х и р)/рго2 = А = сопз(, то уравнение (606) примет вид ()/л)„) х-'()х = — '()~р, А/)),.) х' ""' ' (!» — бу,/У( . После деления полученного выражения на х(тт "/тр и некото- , рых преобразований . — — 1)/(2 „) И А ( -1)/(2 тд — ! У,. — (тд — 1)/Гхт„) АУ» У; ДаЛЕЕ ВВОдятСя ОбОЗНаЧЕНИя — (Л)д !)//=П И Х-(тд-1)/(2т„) др )ф А ау( тогда — = — — ' ()т — у — ', х Умножениа этого уравнения на лУ" дает У" ()у+ пуе — ' убУ(= — /)р. Алр"-1 бт или б (У" у) = — ~(р( Ал У,".
Интегрирование уравнения следует произвести от начального момента времени т„до некоторого т). За этот интервал времени обьем . сосуда изменится от (/)до )/„а Таким образом ~~ у — )/,Р ) = Ап 1 )Р( Л~~ ()т, 22 или после деления на У", = Ут,-)У( ~ У,)л Г /( У)1д-1 Ат д1 . Подстановка значений у, х, и и А дает ~ — ! ' "Н '''-'= )-(т 1)/(2т ) ~ )/1 1-(тд 1)/2 (т„— !) р, $/р1р1 1 ! !/1 т — (т 1)/2 ! — бт, (,) '=- нлн окончательно для дозвуковой области (ф, является переменной ' величиной) ( —,)'""'""= -,. "; „., ЕЮ" "'""'' ><('з)1"а "" 1~. (609) Для сверхзвуковой области ф, = ф=сопз1, поэтому И-::)'"'""=:.
-.-».'г,—... ~(-,) ' . Полученные формулы дают'возможность рассмотреть частные случаи истечения газа из сосуда ограниченной емкостн. 5 102. Истечение газа.из сосуда ограниченной постоянной вместимости через отверстие постоянного сечения Сверхзвуковая область. Для области' истечения, показанной на рнс. 78, а, следует использовать уравнение (6!0). В этом случае прн 1'; = Р, = сопз1 н 7' = г = сопз1 интегрирование указанного уравненйя приводит к выражению - — =-„,;;... ~(-::)' '"'"'-1 Полученное соотношение дает возможность определять время нстечення т, .если задано конечное давленне ро нлн, наоборот, отыскать р, к концу заданного отрезка времени т. Если истечение заканчивается на границе сверх-н дозууковой об-. ластей (рнс.
78, б), то полученную формулу (61!) можно преобразовать, если произвести подстановку р, = р„= р.,/р„р. Обозначив время истечения для этого случая через т„ю пвлучнм тнр— нР ) — 11 (612) М( — !)куя 1( 7 В частном случае, если гп„= 1, формула (6! !) приводят к неопределенностн типа т = О!О, которую можно раскрыть по правилу Лопнталя. Это дает ( л /( а) -~2~ ( — ') ~ [ " " )1'(гфР х Хф ргог) = .
' (п 1 .- . гуно'я... 'нлй для т р ткр- ' !ив гг Рт Ркр (6)3) Рйбс)г р 1 Дозвуковая область. Если истечение целиком протекает в дозвуковой области (рис. 78, в), то при')гт = )гз = сопз! и Г = Р = сопи! формула (609) приводится к виду )'.,'= „.,",;,,—,. ((й)с к ""'"'- 1 В этой формуле р; = ! (2), поэтому и ф, = ! (т). Так как вид этих функций яеизвестен, то аналитическое интегрировзние формулы (6)4) а) 7!) . 7)рл три амтнйю" .Ф Ят 03ласти истечения кр Рис. 78. Области истечения: о — истечение начиааетсн и заканчнааетск в сверхзвуковой области; б истечение начинается в сверхзвуковой и закаичивастск ое границе межцу сверх- и назвуконай абласткми; е, а — истечение ннчннаетсн а сверхзвуковой н заканчнвастси в нозвуковой области р тгиг — 1)Я2лт ! — 1 / р ~1ги — 11/(йггг ! — 1 )(') " (') Р, Р1 '( — ")'( — ') чрз с(т = =( .'— сизо и !'Ра.т„ Отсюда бт= !l, Чтт Рнтл И TР, о, ( — ') ' '"'( — 'Г " Рз У ~ Рс l Рт 257 9 Звк.
222 невозможно. В связи с этим можяо применить графическое интегрирование, Для этого надо продифференцировать выражение (6)4) по радару', илн после умножения числителя и знамена~ела дроби рз)рз на рй Г ° Интегрирование дает и*/а, 'тра / а~~а ф (р./ )' " (615) Для выполнения графического интегрирования строится график (рнс. 79). Вычисленная по формуле (608) зависимость ф, = /т (5) наносится на график (кривая /), далее строится прямая 2 (р,/Р,)'" ~ = /е (Р). Полученные зависимо- / /Р) сти дают возможность построить чр, (ра/р,)' «+""' »'= = /а (6) (кривая 3) и (Р/Р) « («'« ~ В/(~~«) =/е(6) (кривая 4). я= Рг Площадь под кривой 4 в пре- 0 делах от Ра/Рт до Р,/Р; опРеделяет интеграл в выражении (615). Во избежание подсчета площадей под кривой 4 можно заранее построить интегральную кривую 5, ординаты которой также будут определять интеграл в формуле (615).
Если зти ординаты обозначить 2, то формулу (615) можно представить в виде Рар Ра Ра / Рг Ра Рис. 79. Графическое определение инте грала а аыраженин (б!5) Р1 1(~» )Л «)(5 . У) ( — 1 (; — т), 6 ) ра / г = )/,/(ггп„)а вба где У, — ордината интегральной кривой для значения р = Р,/р, (в момент вРемени т,); Е, — то же, длЯ Р = Ра/Рт (длЯ момента вРемени 71). Для удобства подсчетов в табл.
11 приведены значения Я в зависимости от Р,/Р; для двухатомных газов. Для случая истечения, начинающегося в сверхзвуковой и заканчивающегося в дозвуковой области (см. рис. 78, г), общее время истечения должно определяться суммированием т„р и т, найденных по формулам (612) и (616), причем в последней формуле надо положить к.т =О, а вместо Р,о, подставить произведение р1 о1, относящееся к точке, лежащей на граниие между сверх- и дозвуковой областями. Очевидно, Р(=ра/6„,. Удельный объем и( можно определить из урана пения политропного изменения состояния газа внутри сосуда рча, « = р( и'ж» (где р, и о, †начальн параметры в начале истечения, т.
е. в сверхзвуковой области). Табаева !1 двуввтввввв тввв дч Првмечаввя: !. Звачеввв Х в таблвде дамы е вевоторым овруглевием. Я. Прв всоольвоваввв даввыл втой таблвцы давлеаве в аеответствутомва формулав должво вырвжатьсв в Па, Из указанного уравнения (р ~р')тт"'в О (р яг„оур) т~веа, тогда р', о;-(р~р.в)(р р.,(р)"=". Формула (6!6) посла подстановки р!, о! и ра и некоторых преобрв. вованнй получит анд ~р,ур,)( ротор Урт от Эта формула суммируется е (612) н тогда окончательно (6! 7) Лля случая, когда тп 1, суммироваться должны формулы (6!3) н (616) при и„= ! и Л, = О.
Это дает а=~!',~(рр)/р о,)][ ! (п(р !)ввур )+2!1 (618) $103. Истечение газа мз сосуда ограниченной постоянной вместимости через отверстие переменного сечения Сверхзвуковая область. Для определения времени истечения в об. ласти, показанной на рис. 78, о, используется уравнение (610), в котором принимается у', = )ут = сопл!. В этом случае после деления выражения (610) на площадь полного открытия отверстия р имеем т фр) бе= (2Ю~(уп„— 1) т)тьРУрт о~]) !((рт!рт)! и ' !I! в! — 1] тв Отношение !!Р называктт относительным открытке м, а интеграл в левой части уравнения — о т н о с и т е л ь н ы м время-сечением.
25Э Для решения поставленной вадачи надо знать закон относительного открытия отверстия по времени. Часто он дается в виде графика. Один из таких графиков показан иа рис. 80. Горизонтальный участок 1-2, для которого //Р = 1, означает время полного открытия отверстия золотником. Заштрихованная площадь представляет собой относительное время-сечение для отрезка времени т = т, — т,. Если построить интегральную кривую пло-. щади пад линией //г",то заштрихованная площадь, а значит и левая часть последнего уравнения, определяется по разности ординат х;, — х, и 'уравнение примет вид 2к', хз — х,= х л'з ! рф(тз — () И ~lрзс, ((рз/рз)( к-')/( з) 1~ (б!9) з выше случаях, искомыми в этом Ркс, вО.
График относительного от- уравнении могут быть или время т, крыткк стзсрсткк по времени необходимое, чтобы давление внут- Ри сосУДа Упало до заДанного Рз, или, наоборот, давление р, через заданный отрезок времени т, отсчитываемый от известного начального момента т,. Обе эти величины находятся с помощью формулы (б19) и графика на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
