Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 76
Текст из файла (страница 76)
радиусы кривизны меридионального сечения поверхности тока Я на рис. 9-9 достаточно велики). Считаем, что внешний и внутренний теплообмен отсутствуег, а решетки ступени обтекаются безотрывно. Рассмотрим поток за направляющей решеткой. Воспользуемся упрощенным уравнением радиального равновесия (9-43), записав его в следующей форме: для сечения 0 — 0 где р„р„ро р„с„с.„с„а, — давления, плотности, скорости и углы потока перед и за направляющей решеткой. Предполагаем, что функция а1=п1(») известна. Вид этой функции определяется принятым законом закрутки направляющих лопаток. Очевидно, что поток газа должен удовлетворять уравнениям энергии и неразрывности, Для каждой элементарной кольцевой струйки, протекающей через направляющую решетку, уравнение энергии можно записать в такой форме: где с — энтальпия торможения в зазоре; см, с„ /и, с, — скорости и энтальпин газа в конце изоэнтропического и действительного процессов расширения в направляющей решетке; 2Р,— к.
п. д. направляющей решетки (приближенно определяемый как в,=у'). Продифференцируем уравнение (9-46) по радиусу г: «20 «см ! (2»ас,«с,— с,«Ч, '( 2 9-46) «» «» + 2'2 2« /' (9- 6 Производная — характеризует изменение эитальпии «»1» «» потока в зазоре за направляющей решеткой по радиусу и, как известно, может быть записана таким образом: Здесь р„ — плотность газа в конце изоэнтропического расширения в направляющей решетке; р, — плотность газа в конце действительного расширения (при наличии потеРь). Отношение плотностей можно выразить формулой (9-48) где Х!! = с!г1а „ — теоретическая безразмерная скорость за направляющей решеткой.
Следовательно, производная и!!! ! в!рв — =у — — ', с!г вр, в!г ' или с учетом (9-43б) !1 ! г! Сов яв +=х, (9-49) Подставляя (9-49) в уравнение энергии (9-46), получаем дифференциальное уравнение распределения абсолютных скоростей по радиусу в зазоре: !го, (' сов'ав ! г!Чв ! а!в') г г(г ! в ' г злв в!г 2авв — +(у в1, — — — — — — — ) с =О, (9- >О) Т св =Кв ехр [ 2 ( 9 с ' — и!, с —,,') в!г ~, (9-51) гк где К, — постоянная, отвечающая исходному (среднему илн корневому) сечению. Уравнение (9-51) в рамках рассматриваемой струйной задачи является наиболее общим. где й„=с', /2в!в — располагаемый теплоперепад в направляющей решетке в данном сечении по радиусу.
Интегрируя уравнение (9-50), находим: )чз (9-48) следует, что при дозвуковых скоростях и умеренных потерях в направляющей решетке отношение плотностей рв/р„близко к единице. Расчеты позволяют установить ту область значений Рп и в1„в которой можно принять у,=1. Без большой погрешности такое упрощение допускается при Х„ ( 1. При сверхзвуковых скоростях функция у, должна быть сохранена в уравнении (9-50). Однако в некоторых случаях можно использовать упрощенные зависимости у,(х!в, ти), а при слабом изменении в,! и в1, по радиусу у принимается для каждого участка постоянной.
Имея в виду, что у, зависит от Х!! и в1„следует заключить, что при точном расчете ступени на сверхзвуковых скоростях метод последовательных приближений становится неизбежным, Следует подчеркнуть также, что влияние сжимаемости косвенно учитывается в уравнении (9-51) функциями а, и в1,. В зависимости от числа М, меняются потери и угол выхода из направляющей решетки. Следовательно, вид функций ти(г) и а,(г) зависит от М„' согласно (9-51) при изменении этих функций меняется и характер распределения абсолютных скоростей с,(г) в зазоре. Необходимо также отметить, что уравнения (9-50) и (9-5!) справедливы для любого закона закрутки. Перейдем теперь к расчету потока за рабочей решеткой. При сделанных выше допущениях условие радиального равновесия в сечении 2 — 2 выражается первым уравнением (9-44): ! иг!в, в~о — ими!+ и (гав сов р, и)в гз сов'ов 2 рв в!г г (9-52) где 1г, и р, — давление и плотность, а с, и а, — скорость и угол потока за рабочими лопатками в абсолютном движении; и — окружная скорость на текущем радиусе г; р, = рв (г) — угол выхода в относительном движении, являющийся заданной функцией радиуса; гс, — относительная скорость за рабочей решеткой.
Предполагаем далее, что радиальное смещение струек при переходе из контрольного сечения 1 — 1 в контрольное озо 38" сечение 2 в 2 будет малым (и, и,). Тогда уравнение энергии для относительного потока можно представить в известной форме: о5 оРа + — =' +— гч, (9-53) где в, — относительная скорость на входе в рабочую решетку; 1, — энтальпия газа перед рабочей решеткой; а), — к. и. д. рабочей решетки (а)а=(а'); 1, — энтальпия газа за рабочей решеткой в изоэнтропическом процессе.
Теоретическая и действительная скорости за решеткой связаны соотношением гса — У т)а ~аг са 1 'о '+2' После подстановки 1, в (9-53) находим: а з а аа с,— и, Е =1+ — + —. О за 2Ча 2 Продиффереицировав уравнение энергии, получим (полагаем с(1 )а(г= О): о'аа аоа а(аоа о'а оэа о' г / а .а — + — * — '-- — '+ — ( ' = О. (9-54) аГг Ча Ыг 2Ча Ыг а(г ~, 2 Заменим в уравнении (9-54) Очевидно, что 1„=1„(г) и ша.=гс,(г) являются искомыми функциями, а х,=ч,(г) и га,= — ш,(г) могут рассматриваться как заданные функции радиуса г. Энтальпия потока за направляющей решеткой определяется по уравнению энергии: Используем уравнение радиального равновесна опм += —,' —, „~;=-Х.
( ""1' ', (9-55) где а~ х.= — „, Уравнения (9-54), (9-55) и (9-56) решаем совместно. После некоторых упрощений получаем искомое дифференциальное уравнение: 1 т засоаага ) ~1~,~ а а йг ( г 2Чаааг 1 и (о,ч и) — 27 а) оа совр,ю +а) —" — =О, - (9-57) Уравнение (9-57) является нелинейным. Оно линеаризуется только в частном случае, когда г((с„ г)~Я=О. Интегрируя (9-57) в этом случае, т. е.
с учетом Ы(саа г) = О, находим: а(г г / т а) соаа га ) ааа ,=а. *р~(( — — — ' — ах ъ ~)а~ ча 'а (9-58) где К, — постоянная, определяемая для исходного (среднего или корневого) сечения. Условие г((с„,г)/с(г=О выполняется строго при закрутке ступени по методу постоянной циркуляции '. Однако, как показывает опыт, это условие приближенао осуществляется и в ряде других практически важных случаев. Постоянные Ка и Ка в уравнениях (9-51) и (9-58) определены, если известны скорости с~ и аа в каком- либо сечении по высоте лопаток. Эта задача решается применением уравнения неразрывности для сечений 1-1 и 2-2." озб 2 2 с, — и~, = 2ис, соз а, — и'. (9-55) 'Си й9ль г г 0=2идаы!Р „) О,зш а,с(г) г» г 0=2иаа,,р ) д,з1п~,с(г. (9-60) г» Входящая в уравнение (9-58) функция тм при упрощенных решениях может быть принята равной )( =сопя( для,всей ступени или отдельных кольцевых струек '.
Следует также отметить, что дифференциальное урав пение (9-57) для неподвижного рабочего колеса (ю=0) переходит в уравнение (9-50). 9-4 РАСЧЕТ ПОТОКА И СТУПЕНИ С ДЛИННЪ|МИ ЛОПАТКАМИ ПОСТОЯННОГО ПРОФИЛЯ Рассмотрим ступень с осевым потоком газа, полагая, что поток на входе в направляющую решетку имеет равномерное поле скоростей. Поставим следующую задачу: установить распределение параметров в зазоре и за рабочей решеткой по радиусу, если лопатки имеют постоянный профиль по высоте. Решение этой задачи позволяет дополнительно получить исходные данные для расчета ступени с лопатками постоянного профиля по аэродинамическим характеристикам решеток и может быть использовано для определения той предельной веерности решеток, при которой можно применять лопатки постоянного профиля.
Расчет ступеней с лопатками, постоянного профиля можно выполнить, полагая постоянными углы по радиусу а! и рь Более точный прием расчета, излагаемый ниже, состоит в том, что углы а! и рз задаются в виде функций радиуса г. Этот способ целесообразно применять в тех случаях, когда веерность ступени оказывается значительной. Многочисленные опыты показывают, что угол а, можно выразить в зависимости от относительного шага или радиуса формулой П1аа, 1а аг — — 1а а!„+ 2 ( — 1) (г — 1), (9-6! ) ' Поток газа в ступени за направляющей и рабочей решетками является закрученным, т.
е, имеет неравномерное поле сиоростей как при абсолютном, так и в относительном движении. Как показано в й 5-16, в таком потоке поле полной энергии буде~ неравномерным. 598 где й 1а а, = та а„— 1а а„; а!,, а,„— углы выхода потока у вершины и соответственно в корне воч сечении, г = г)г«! 㫠— радиус корневого сечения, г — радиус те. кущего сечения; с, г" (г) с!« г" (9-62) Здесь — Г 2п,Ь, — Ь, ( — 1)'— р(„)=Г1+,( !)(Р 1)+, (-, 1). 1+ и', (9-63) " = 1+ (и, — Ь, ( — 0Р п,=таз„; 1 Ь~ =-; (1аа!» — 1а««) Для определения сиорости с, необходимо знзть величину с!« в корневом сечении, С этой целью преобрззуем уравнение неразрывности (9-59), ззписав'его для сечений Π— О и 1 — !: гз сз (г — 1) = ~ ргса!»1йгп ! где с, с — осевые составляющие скорости в сечениях Π— О ао' а! р, = р,(р, — относительная плотность в зазоре. Функция с, в уравнении (9.64) может быть определена по фор муле с,1аа, с ! — — Сг з!п »~в У!+!а а, или приближенно и" (г) с =с «с з!па,=г « — „з!п аг, (9-65) а! г где а, принимается г!о формуле (9-6!г Приведенные выше ззвисимости справедливы, еслигпоток в за.
зоре дозвуковой. При смешанных течениях а зазоре, когда в нижней ,! г« В= — =2 — +1. Подстзвив (9-61) в уравнение (9-50) и проинтегрировав последнее, получим: о !9-69) — ва в = — =гч. !в вял (9-66) »и ~ Н 1+ я а ! или приближенно (Ь, = О) г8 — ! 3" чи» Вм =~ 8 Ь,! с„, + си, 1. =. — =г ~гак соа!а+ "аза — Ьо! з !г (г)] Ь ! 2» зак Г (967) "з!к — "з!к Нок ! — — Ь =1 — Ь Н ю — оаН Н о зк о "оа р=1 — — = Н "оьх — =1 — р Нок 1968) — Н, где Н = —. Н зк 600 части ступени (у корневых сечений) с,) а,1, формула (9-62) неприменима.
В этом случае необходимо учитывать отклонение потока в косом срезе направляющей решетки. Перейдем теперь к расчету потока за ступенью. Воспользуемся основным уравнением (957) и проинтегрируем его при о)!=сопя! и с((си,и) = О для принятого закона изменения углов по радиусу Ь з!и за в(п за= з)п гяь+ 2 (8 — 1)(г — 1). В результате интегрирования находим приближенное выражение Здесь взь — значение ва в корневом сечении; рза — угол вектора взл, д =(1 — ]л,— Ь,(8 — !)]о)! о,=жп) а', 1 1 Ь, = 2 Ь з)п !а= 2 (з1п ряо — з!п Ряь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
