Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 30
Текст из файла (страница 30)
343. Схема образования пограничного слоя на поверхности крылоного профиля. а-нвыененне толпаяеты н структуры слоя вдоль поверхности: 1 — лачннарный участок слоя; у — переходная область; у — турбулентный участок слоя: 4 — лаынаараый поделай; б — переходный слой; б — распредсленне скоростей в раалнчнык сечениях с.тоя. штабов продольных скоростей и координат выберем некоторую характерную скорость и, и характерный линейный размер 1, Масштабы поперечных скоростей и координат обозначим соответственно о, и 6. Обозначим масштабы для давления.и плотности 1у, и р,.
Тогда после преобразований, аналогичйых преобразованиям 2 5-2, получим следующую систему уравнений: + + а+ т а дга Ею~а ди Рад др ч деи ч1а д'и дх ли, ду рий дх 1.аиа дха д'и, ду' до Ееоа до рара1а ду 1 д'о чга д'о дх Ьи, ду рби,о, ду Л,и, дх' йи ду' ' ди+1,о, до 0 дх ди, ду ~ (5-29) Масштабы величин, входящих в систему уравнений (5-29), можно выбрать на основании следующих соображений. Если масштабы и, и Е, выражают характерную скорость и линейный размер обтекаемого тела, то величины д„д, р, и р, пока остались неопределенными. Пользуясь этим произволом, уравнения (5-29) нетрудно привести к каноническому виду.
о Действительно, полагаЯ Ри=йи У,=1 получим З'Р'= 1, а Рйо поперечные масштабы о, и 6 выберем таким образом, чтобы ~еде ~~о коэффициенты — и, были постоянными и не зависели Зи, Зеи, от числа Ке. Положим (5-30) При этом уравнения (5-29) примут вид: ди ди др 1 д'и д'и, и — +о — = — — + — — + —; дх ду дх йе дх' ду' ' 1 до до~ др 1 д'о 1 д'о йе дх ду! ду Ке' дх' Це ду' ' +о — )= — + — — + -( ди до дх ду — + — =О.
(5-31) Если допустить, что неизвестные величины и, о, р и их производные с увеличением числа Рейнольдса стремятся к определенным пределам в фиксированных точках, то при больших Ке в уравнениях (5-3!) можно отбросить все чле- 1 1 ны, имеющие множители — и —, как малые величины Йе Ке' ' по сравнению с другими членами. Принципиально эти комплексы можно приравнять любой постоянной, но в данном случае выражения для поперечных масштабов получаются наиболее простыми. Решая написанную систему относительно о, и 6 для масштабов поперечных скоростей и линейных размеров, получаем следующие значения г) результате перехода вновь к размерным величинам получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя в форме Л.
Прандтля; ди ! 1ди ! др дои — + о' — = — — + дх ' ду о дх ду'' (5-32) ди до — + — =О. дх ду Система (5-32) долж!а быть решена при следующих граничных условиях: у=О; и=О; и=О; д — со; и-~ и(х). Последнее условие означает, что скорость в пограничном слое переходит асимптотически к скорости внешнего потока. В действительности этот переход, как уже отмечалось, происходит при значении у, соизмеримом с поперечным масштабом о. Полученное условие — = 0 означает, что р а с п р е д едр ду ление давлений на внешней границе слоя и на поверхности обтекаемого тела совпадает. Отсюда следует, что во всех точках поперечного сечения слоя давления одинаковы, т.
е, давление внешнего потока передается через пограничный слой к поверхности тела без изменения. Условие — = 0 позволило объяснить весьма важное др ду= явление отрыва пограничного слоя. Рассмотрим обтекание некоторой криволинейной поверхности АВ (рис. 5-14), предполагая, что давление внешнего потока вдоль этой поверхности вначале уменьшается, достигает минимального значения в точке М и затем увеличивается.
Участок внешнего потока, в котором градиенты давления отрицательны ( др — (О, называется конфузорным участком. дх Область течения за точкой М; характеризуемая положительными градиентами давления ( — ~ О), называют диф- гдр фузорным участком. На конфузорном участке внешний поток ускоряется, а на диффузорном — тормозится. Учитывая, что в пограничном слое — =О, заключаем, что др др совершенно аналогичное распределение давлений имеет место и вдоль поверхности АВ на любом расстоянии у(й в пограничном слое. дай со />о фу Рис 5-14, Схелга образования отрыва пограничного слоя. В пределах пограничного слоя скорости перед точкой М увеличиваются, а за нею — уменьшаются (см. эпюры скоростей на рис.
5-14). Частицы жидкости вблизи стенки обладают малой кинетической энергией, причем в диффузорной области вдоль поверхности АВ запас кинетической энергии частиц уменьшается. В результате в некотором сечении 5 частицы у стенки не могут преодолеть тормозящего влияния внешнего потока и останавливаются.
Зпюра скоростей принимает характерную остроконечную форму. На стенке кривая скоростей удовлетворает условию (5-32 а) Дальше за точкой 5 под воздействием перепада давлений, направленного против течения, начинается возвратное движение частиц у стенки. Встречаясь с основным потоком, возвратно движущиеся частицы оттесняются от стенки, 234 что и приводит к отрыву пограничного слоя и к резкому увеличению его толщины. За точкой отрыва 5 эпюра скоростей имеет также весьма характерную петлеобразную форму, причем непосредственно у стенки Изложенное показывает, что отрыв пограничного слоя при обтекании плавной стенки может происходить только в дифф узорной области.
Используя уравнения (5-32), легко показать, что положение точки отрыва ламинарного гюграничного слоя не зависит от числа Ке. Действительно, решение системы (5-32), дает: и = 1"(х, у), (5-32б) где х и у — безразмерные координаты. Тогда, продифференцировав по у и используя в точке отрыва условие (5-32а), получим; ~' (х, 0) = О.
Поскольку масштаб по оси х от числа Ке не зависит, приходим к выводу, что координата точки отрыва ламинарного слоя также не зависит от числа Рейнольдса. 5-1. УСЛОВНЫЕ ТОЛЩИНЫ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Выше указывалось, что понятие толщины пограничного слоя не имеет точного количественного смысла. Действительно, скорость в пограничном слое и с ростом у асимптотически приближается к значению скорости внешнего потока и,. Величина 5 зависит от того, где выбрана точка, условно показывающая границу слоя. Поэтому в расчетах пограничного слоя вводятся другие интегральные толщины, зависящие от 5: толщина вытеснения 5', толщина потери импульса 5" и толщина потери энергии 5"".
Для выяснения физического смысла указанных толщин сравним течение идеальной и вязкой жидкостей около твердой стенки (рис. 5-15). При отсутствии трения за единицу времени через поперечное сечение потока высотой с(у и шириной, равной еди- 235 (5-34) ь ~рий, (1 — —,) йу. (1 я) о (5-35) (5-33) 236 нице, протечет масса ранее(у. В пограничном слое за тоже время через сечение г(у протечет масса рис(у. Разность этих количеств составит: Раич~ (1 — — )г(У— о ь 00 =Р и ) (1 = — „) гьу+д,и, у(1 — % Ф, о ь Рис, о-)о. К определению условных толщин пограничного слоя (а). К выводу уравнении ннпульсов для пограничного слоя (б). Второй интеграл правой части мал по сравнению с первым.
Поэтому интегрирование достаточно проводить только в пределах физической толщины слоя б. Разделив найденный излишек массы на р,и„получим: Величина о показывает смещение линии тока в направлении внешней нормали к контуру обтекаемого тела. Вместе с тем о' характеризует уменьшение расхода жидкости через сечение слоя, „нормальное к стенке, обусловленное .вытеснением" жидкости пограничным слоем, и поэтому носит название толщины вытеснения. Толщина потери импульса о'" равна такой толщине слоя жидкости, движущейся со скоростью и, вне пограничного слоя, количество движения которой равно импульсу сил трения в пограничном слое. Это количество движения, „потерянное" в пограничном слое, будет равно; ь ь ~ ри (и, — и) г(у = ~ рии, (1 — -"-) г(у. о о 2 Разделим полученное выражение иа р,и .
Тогда получим: Масса жидкости риггу теряет в пограничном слое кинетическую энергию, равную ри(и — и')г(у. Для всего слоя эта потеря составит: Тогда толщина потери энергии представляет собой толщину движущейся вне слоя жидкости, обладающей кинетической энергией, потерянной в погррничном слое.
Для решения задач о течении сжимаемой жидкости в риде случаев целесообразно иметь одинаковую структуру Формул, определяющих интегральные толщины. Поэтому 2З7 ь в =)" г (1 ") а„ 1 = Р,йй -". (5-36) Заменим далее — = — — ~= — —, Р,иаи лРа лйа . од ох но ох оа (5-38) Здесь зь ла П= — „„- и Н = е,с(х+ дрй», (5-37) 233 наряду с формулой (5-33) толщину вытеснения Ь часто подсчитывают по формуле При этом, естественно, нарушается приведенный ранее физический смысл толщины вытеснения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
