Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для несжимаемой жидкости уравнения (5-33) и (5-36) оказываются тождественными. Решение задачи о сопротивлении тела в потоке вязкой жидкости при безотрывном обтекании сводится к установлению распределения сил трения вдоль обтекаемых поверхностей тела, а следовательно, к расчету пограничного слоя. Широко распространенный приближенный метод расчета основывается на оценке изменения количества движения в пограничном слое.
Произведем такую оценку. Из определения толщины вытеснення следует, что всю массу жидкости, протекающей в пограничном слое, можно условно заменить массой, расположенной между линией аЬ и стенкой сЫ (рнс. 5-15), скорость которой равна нулю („ вытесняемая" масса), и массой, протекающей выше аЬ со скоростью в, Со стороны стенки на вытесняемую массу действуют силы трения, а в направлении течения будут приложены силы давления. Скорости выше линии вытеснения аЬ равны и,=-и,(х) и в пределах рассматриваемого объема на основании дифференциальных уравнений пограничного слоя (5-32) — = О. Применяя уравнение импульсов, можно найти Ьо ад величину потери количества движения на участке с(х: где е,дх и с(рй — секундные импульсы сил трения и сил давления, действующих на „вытесняемую" массу жидкости.
* Изложенный виже вывод интегрального соотношении дан А. П. Мельниковым. Количество движения 7 на основании уравнения (5-34) можно выразить через толщину потери импульса: Поскольку на внешней границе пограничного слоя течение считается потенциальным, продольный градиент давления — ~ легко выражается на основании уравнения Бернулли о'х через скорости и„ и плотность р,; Ыи, ох ' "а'х а' — = — Р иьл —.'=- — Раи,и'.
Подставляя эту величину в (5-37), находим; » г и'3"' — '+ рьй"'2иаи + р„и„— — =- еа — рьц,и'3', (о-37а) и разделим (5-37а) на р,и,. В результате получим для сжи- маемой жидкости следующее уравнение; + (2+0 Мь) = лх и, Рано Уравнение (5-38) носит название и н те г р альп о го соотношения, так как величины Ь» и 3 выражаются интегралами (5-33) и (5-34). Интегральное соотношение (5-38) для пограничного слоя можно получить, не прибегая к понятию толщины вытеснения. С этой целью уравнение импульсов применяется к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями пограничного слоя 239 (рис.
5-15,б). Подставляя в (5-38) выражения для условных толщин 5, 6" и заменяя и через ~, после преобразоваор а о'х ' ний находим: — ри'ььу — и, „— ь риду = — х, — 5 „— — . (5-39) о о Для несжимаемой жидкости получим: ь ь — иЧу — и, „— ~ иЫу= — — ' — —.„~' . (5-39а) — — — = —; — —,Е Интегральное соотношение для пограничного слоя пригодно для расчета как ламинарного, так и турбулентного пограничных слоев, так как при его выводе не делалось никаких предположений относительно касательного напряжения х,.
Эта величина определяется различно в зависимости от режима течения жидкости в пограничном слое, что и является отражением различной природы трения при ламинарном и турбулентном движениях. При возникновении отрыва уравнение импульсов может служить для определения положения точки отрыва, в кото- рой о,=р( — 1 =О. гди х Му =о 5-8. ОБЩЕЕ ВЫРАЬКЕНИЕ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ НАЛИЧИИ ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ В уравнении импульсов содержатся две искомые переменные величины; толщина слоя 5 (нли взаимосвязанные условные толщины 5 и 6' ) и напряжение трения на стенке т,.
В общем случае то определяется скоростью на внешней границе пограничного слоя, ее производными и, и , й и о т. д., характерным размером, например толщиной потери импульса 8 , плотностью р, температурой Т и коэффициентом кинематической вязкости х. 240 Следовательно, х.=р(и,: и; и,...; т; р; 5-; .).
(5-40) Используя основные положения теории размерности, нз функциональной зависимости (5-40) нетрудно получить структурную формулу для коэффициента сопротивления. Примем в качестве основных размерности скорости и„ плотности р, длины 6"* и температуры Т. Простой проверкой легко убедиться, что, комбинируя указанные величины, можно получить размерности всех остальных параметров.
Действительно, х, имеет размерность иг/м*. Ту же размерность будет иметь и комплекс ри„: [иг сек'/и'.хь'/семь). Следовательно, отношение х„/р,и„ представляющее собой местный коэффициент трения с, окажется безразмерным. Переходя в выражении (5-40) от размерных величин к безразмерным, получим с = 'о — — р, Кеоо; й1; "; — о — . (5-41) ь рио 1 иц иц и,д"* Здесь Ке""= ' — число Рейнольдса, подсчитанное по толщине потери импульса. Число безразмерных параметров в выражении (5-41) можно сократить, если принять, что напряжение трения определяется так же, как и в случае ламинарного течения Р только первой производной скорости и . а Это предположение подтверждается для конфузорных течений и течений при небольших положителыьых градиентах давления.
Вблизи точки отрыва роль старших производных возрастает, и здесь сохранение только первой производной уже недостаточно. Далее, можно показать, что прн отнесении физических постоянных ~ и р к температурным условиям на стенке число М исключается из зависимости (5-41). Таким образом, с учетом принятых допущений "оз с = ' =Р~Ке„; — „(5-42) г риз [ ~' и э* и,о" где Ке = †' , о — кинематическая вязкость, подсчитанная по температуре стенки. 24! и се* Разложим (5-42) в ряд по параметру ио и о*о с, = — '; = у, ()хе ) + 1, ()се ) „+ +ф,(Ке„) — — +...
Здесь с — местный коэффициент трения, подсчитанный по плотности у стенки р . Выражение (5-43) является общим как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения в пограничном слое. В зависимости от режима течения коэффициенты ф„ ф„ ф, и т. д. будут принимать различные значения. Найдем конкретный вид выражения (5-43) для ламинарного течения. С этой целью запишем (5-43) в таком виде: ооеее 1 и 4~~2 ое о !. ' ' ' "о При и =0 формула (5-44) должна совпадать с соответствующей формулой для коэффициента сопротивления плоской пластинки при безградиентном ее обтекании.
В этом случае задача решается достаточно точно путем численного интегрирования системы (5-32) и независимо от метода решения для безградиентного течения коэффициент сопротивления с, выражается формулой а, с,о=Фо — — де.. где а, — постоянная величина. Следовательно, о Ио В точке отрыва е,=0; в этом случае выражение в квадратных скобках должно обращаться в нуль. Учитывая, что положение точки отрыва не зависит от числа (хе "', получим: ф,=сонэ!; [о=сонэ!; у,=сова( и т. д. Отсюда 'Зэео 'еооое с, = — „~а,+а, +а,—,+....
(5-45) е 242 Коэффициенты а„а,, а, н т. д. в общем случае определяются экспериментально. Однако для ламинарного пограничного слоя их можно определить и теоретически. Так, например, А. М. Басин получил а, =-0,22; а, = 1,85; а, = — 7,35. Обозначим (5-46) (5-47) ь ([) = [а, + а,[+ а,['+... [, тогда с = —.—,ь(!). ! 'и (5-48) с,=ф,=1Ке (5-49) и для коэффициента сопротивления получается нз (5-44) следующая формула: (5-50) с =14е. (ь+аГ+...[, Здесь "оз Г= )хе *'". и (5-51) Параметр Г (параметр Бури), так же как и формпараметр [, отражает влияние продольного градиента давления и числа Рейнольдса на профиль скоростей в турбулентном слое. Зная зависимость для с и закон изменения величины фа О= †,„ в зависимости от продольного градиента давле- 243 Параметр ( часто называют формпараметром; как будет показано ниже, он определяет форму профиля скорости в ламинарном пограничном слое.
Следует отметить, что структура формпараметра, содержащего производную о' во — отражает влияние продольного градиента давления внешнего потока. Для турбулентного слоя многочисленные экспериментальные данные дают при и = 0: о к 1 а Г-ь ! 1 ио тЕк' Ке — „ь )3 о о — аее йее= — = Е (5-55) ее — с!Рис а— — 0,332 $/ (5-57) к ч 5 =~ — еЕс и и= ~ — с(у. о о 246 247 Постоянные а и Ь могут быть приняты соответственно равными 0,45 и 5,35. Для толщины потери импульса получнм: Далее, по формуле (5-48) нетрудно определить местный коэффициент сопротивления с и по выражению 3 = -ППП-ПП4-ППг П ° ппг Лпп Ппп ппп пйт Рнс 5.16 Зависимость величин 4, Г и Н от параметра ).
=Н(1)3"н — толщину вытеснения. Значения функций ч()) и Н(7) приведены на рис. 5-16. Рассмотренный метод расчета может быть распространен и на случай течения сжимаемой жидкости, если перейтн к новым переменным, предложенным А. А. Дородницыным Тогда для сжимаемой жидкости получим; )о ~! — — Л У,) а+1 о) о Расчет по формулам (5-48), (5-54), (5-55) и (5-56) оказывается относительно простым и обеспечивает вполне удовлетворительную точность. Для примера рассчитаем ламннарный пограничный слой на плоской пластинке. Здесь и,= сопа1; ио= О; ) = 0 и не =-!. Тогда иа (5-55), (5-47) и (5-48) получим; — ч lО 45е а*"=ь е=е ~7 — „'; с(!)=0,22! р~ и,Е 1 0,22е / с =0,22 „, — -- — =О 332 ~к ией 0,45еЕ иеЕ ч и, $/ 5-10. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ При определенных условиях ламинарный пограничный слой теряет устойчивость и переходит в турбулентный.
Ориентировочно границу потери устойчивости ламинарного течения можно установить по критическому числу Рейнольдса Йе, . Пользуясь аналогией между явлениями перехода ламинарного режима в турбулентный в цилиндрической трубе и в пограничяом слое, можно, как это уже указывалось, ввести характерные для слоя числа Рейнольдса, отнесенные к толщинам' 5, 6' и 5 ': иее .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
