Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для выяснения справедливости принципа при данных допущениях надо определить искомую величину от сосредоточенной силы Р произвольного псременного направления, приложенной в любом месте системы, определяемом переменной координатой Если при этом искомая скалярная величина линейно зависит от силы Р, а векторная или имеет постоянное направление, нли не зависимое от значения силы Р, то принцип справедлив.
Так, например, направления опорных реакций 1 и В простой балки от силы Р произвольного направления. приложенной и произвольной точке балки (рис. 1.3), не зависят от значения силы Р, следовательно, применим принцип независимости действия сил. Для реакции А принцип применим в алгебраическом виде, а для реакции  — в геометрическом. Аналитические признаки принципа: 1) исследуемая величина должна быть однородной линейной функцией внешних сил; 2) дифференциальное уравнение определяемой величины должно быть обязательно линейным, с коэффициентами, не за- 0 с и р н. 1 Рчпо' ~-- — — т, —.. -! Ргпн4! Рис.
г.4 Рис. пз висящими от сил, по отношению к которым исследуется принцип наложения, а правая часть его, если она не равна нулю, должна быть линейно зависящей от этих сил. Пример 1.1. Выяснить, при каких предпосылках применим принцип независимости действия сил для определения изгибающего момента в месте защемления балки (рис. 1.4, а). Прикладываем в произвольной точке силу Р произвольного направления, определяемого углом а (рис. 1.4,б), н рассматриваем деформированное состояние балки.
Изгибаюший момент в защемлении балки М = — Рсоа а г, — Рз!па у(г). Так как г~ и у (г) зависят от силы Р, то выражение (1.2) нелинейно относительно силы Р. Принцип независимости для вычисления момента неприменим. Если пренебрегать Лг=г — гь то М = — Рсоза г — Рз(па у(г). (1.3) Это выражение также не линейно относительно силы Р Если же дополнительно пренебрегать вертикальным перемещением у(г), то М = — Рсоа а г. (1.4) Это выражение стало уже линейным относительно силы Р при любом значении угла а. Значит, принцип независимости для вычисления момента справедлив, если пренебрегать перемешпиями балки, т.
е. определять момент по недеформпрованном) состоянию балки. Пример 1.2. При каких условиях применим принцип независимости для балки на упругом основании, сжатой силой Р (рис. 1.5). Дифференциальное уравнение с учетом изгибавших моментов от продольной силы в деформированном состоянии балки имеет вид: Р „ьь д(г) у + — у'+ — у= еу е./ еу (1.5) Для применимости принципа 1) сила Р долл на быть 2/м постоянной; 2) ЕУ может иметь любгн ° ~ ~ е г значение, не зависимое от нагрузок; Рчс.
Сз 3) АЬ: ЕУ должно быть всличиной, пс зависяшсй от за. данных нагрузок, Применимость принципа можно еше установить гледуюши образом. Предположим, что д=д~+д,. Тогда Р . Аь д1 у + — у'+ — у ==- —.; е/ е./ ех 1т Р ° ЬЬ Ча + е.г ~'+ ~ Б.г Складываем эти уравнения: (у~+у~)-ь — (у +у)+ — (у +у)— и, сопоставляя (1.6) н (1.5), получаем: у= — ГО+дг (! .61 Глава 2 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ й 2.1. ОБРАЗОВАНИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СИСТЕМ Соединяемые элементы плоской системы называкм дисками Каждый обособленный диск Д геометрически неизменяем и обладает тремя степенями свободы на плоскости. Отдельный узел У можно рассматривать как вырожденный диск (диск с йулевой площадью), обладающий двумя степенями свободы. Диски соединяют при помощи связей.
Основные типы связей плоских систем: а) стержень с шарнирными концами С вЂ” элементарная связь, ликвидирующая одну степень свободы; б) шарнир Ш вЂ” связь, эквивалентная двум элементарным связям; в) прнпайка П вЂ” связь, эквивалентная трем элементарным связям (рис. 2.!,а — в), Стержнем можно одновременно соединять тольно два диска илн узла. Шарниром или припайкой можно одновременно со- ~~,Ь [ ! ЯлЯ.
(»З~~ Ц"фм Я~ ау 8~~ Рнс. 2.! единять несколько дисков. В этом случае связь называется крат- ной. Ее кратность на единицу меньше числа соединяемых дисков. Под действием нагрузки на систему в каждой связи могут возникать соответствующие реакциц (рис.
2.1, г — е). Прежде чем определять реакции связей необходимо исследовать систему, провести ее кпнсматическпй анализ. В зависимости от числа н расположения дисков и связей си- стемы подразделяются на неизменяемые, изменяемые и мгновен- но изменяемые.
Степень изменяемости И плоской системы, со- ставленной пз дисков, узлов и связей, можно определить по формулам: для систем, прикрепленных к земле, И = (ЗД + 2У) — (С+ 2Ш+ЗП) — С,; (2.1) для свободных систем И = (ЗД+ 2У) — (С+ 2Ш+ ЗП) — 3. (2.2) Здесь Д, У, С, Ш, П, С, — соответственно число дисков, узлов, стержней, шарниров, припаек и опорных стержней. Если в приведенных формулах И>0, то система определенно изменяема. Если И=О, то система имеет необходимое число связей, для того чтобы быть неизменяемой. Если И<0, то система имеет «лишнне» связи и также может быть неизменяемой.
Отметим, что условие И ~ 0 не является достаточным условием геометрической неизменяемости системы. Судить о неизменяемости системы можно только после кинематического ана- лиза, основанного или на правилах образования неизменяемых систем, илп па особых признаках, вытекающих из общих методов определения реакций связей. На рнс. 2.2, а — в, е — з показаны основные виды образования неизменяемых спсте«я из двух и трех дисков. Системы, изображенные на рис. 2.2,г, д, и, к, являются мгновенно пзмснясмымп, так как расположение связей позволяет дискач пясть бсскопсч- а) б) В) к) !) Рас. 2.2 но малые относительные перемсщсппя.
Здесь либо два диска имеют единый мгновенный центр вращения (рпс. 2.2, г, д), либо три диска имеют три мгновенных центра вращения, лежащие на одной прямой (рис. 2.2, и, к). Соединяемые элементы (диски пли узлы) и соединяющие элементы (связи) обладают свойством двойственности. Связи могут рассматриваться как диски илн узлы, а диски, наоборот, как связи. Поэтому прежде чем исследовать систему, необходимо установить, что в ней принимается за соединяемые, а что— за соединяющие элементы. Например, свободную систему, изображенную на рис. 2.2,ж, можно рассматривать: а) как три диска, соединенные шарнирами (И=3.З вЂ” 2 3 — 3=0); б) как три узла, соединенные связями АВ, ВС и АС (И=2 3 — 3 — 3=0); в) как два диска 1 и П, соединенные шарниром В и связью АС (И=З 2 — 1 — 2 ! — 3=0); г) как прикрепление к диску )П («земле») узла В посредством !О двух связей АВ п ВС, соединенных шарниром и имеющих шарниры по концам (И=2 1 — 2=0).
Обратим внимание на последний внд присоединения, широко используемый при кинематичсском анализе систем. Совокупность двух стержней нли дисков, шарнирно прикрепляющих узел, называется диадой. Прн этом все трп шарнира не должны лежать па одной прямой. Присоединение к системе любого ко- ау ф д) е/ Рнс. 2.3 личества диад (или, наоборот, отбрасывание их) не нарушает степени изменяемости системы.
Отметим также, что при использовании формул (2.1) — (2.2) следует предварительно создавать из отдельных элементов укрупненные диски на основе указанных видов образования неизменяемых систем. Рассмотрим примеры на образование и кинематический анализ систем. Пример 2.!. Образовать нз элементов, изображенных на рис. 2.3, а, геометрически неизменяемую н не имеющую лишних связей систему. Число требуемых элех!ентарных связей определим в соответствии с (2.2) по формуле С, = ЗД + 2У вЂ” 2Ш вЂ” ЗП вЂ” 3, (2.3) 2* Здесь Д=5 (кроме трех дисков, обозначенных на рисунке, принимаем за диски шарнирно-стержневой треугольник АВС п стержень ВД), У=О, Ш=1 (шарпир В), П=О.
Следовательно, С;", =3 ° 5 — 2 ° 1 — 3=10. Что касается выбора и расположения связей, то зта задача имеет множество решений. На рис. 2.3, б представлено одно из решений, в котором С=5 (стержни РЕ, АЕ, Аб, ПЛ и СР), Ш= =1, П=1. Таким образом, С" =5+2 1+3 1=10. В системе, изображенной на рис. 2.3, в, также введено десять элементарных связей, но при ее образовании допущены следующие ошибки. Во-первых, диск ВР присоединен к диску АВС шарниром и двумя стержнями (т. е. избыточным числом связей); во-вторых, полученная стержневая система прикреплена к дискам П и (П тремя стержнями, пересекающимися в одной точке 0; и, наконец, вся система является изменяемой, так как диски ( и П не имеют достаточного числа связей для образования с диском (П геометрически неизменяемой системы. Пример 2.2.
Исследовать систему, изображенную па рис. 2.3, г. Примем в данной системе за диски заштрихованные элементы и «землю». Тогда, Д=4, С=2, Ш=2 (так как шарнир Д вЂ” двукратный), П=1, и согласно (2 2) И=З. 4 — (2+2 2+3. 1) — З=-О. Таким образом, система может быть геометрически неизменяемой. Для утверждения этого рассмотрим один пз позмо кных путей ее образования.
Диск ! припаян к «земле» вЂ” оп неподвижен; диск П соединен с диском 1 при помощи стержня АВ и шарнира Д вЂ” система остается неизменяемой. Аналогично присоединен к диску П диск (П. Следовательно, вся система геометрически пеизмсняезш. Пример 2.3.
Исследовать систему, изображенную на рис. 2.3, д. Так как зта система образована из шарнирно-стержневых треугольников и имеет три правильно расположенные опорные связи, можно заранее утверждать, что она неизменяема. В данном случае У=12, С=23, Сг=З; следовательно, по формуле (2.1) И=2 12 — (23+3) = — 2, т. е. система имеет два лишних стержня. Такой вывод следует и из непосредственно~о рассмотрения возможного образования геометрически неизменяемой н статически определимой системы (рис.
2.3,е). Например, к диску 1-4-5, принимаемому за основной, последовательно прикреплены: днадой 1-2 и 5-2 узел 2; далее днадой 5-6 и 2-6 узел 6; затем диадой 2-3 и 6-3 узел 3; диадой 4-7 и 5-7 узел 7; пиалой 7-8 и 5-8 узел 8; диадой 8-9 и 6-9 узел 9 (стержень 6-8 оказался лишним); днадой 8-11 и 7-11 узел (1; диадой П-10 и 7-(0 узел 10 и, наконец, диадой 8-12 и 9-12 последний узел 12 (стержень 11-12 оказался вторым лишним стержнем). Естественно, что при ином наращивании диад .чишними могут оказаться другие два стержня.
Однако не всякие два стер>к- !2 ня заданной системы можно считать лишними. Так, например, удаление связей 4-5 или 8-9 превращает систему в мгновенно изменяемую. Нельзя также одновременно удалить связи 5-7 и 6-8, которые порознь могут считаться лишними. Удаление этих связей превращает заданную систему в изменяемую, представляющую собой два диска, соединенные тремя параллельными стержнями одинаковой длины (рис. 2.3,ж). Пример 2.4. Исследовать систему, изображенную на рнс. 2.4, а. Исследование путем последовательного наращивания диад показывает (предлагаем это рассмотреть самостоятельно), что данная система.
освобожденная от земли, может гз 24 25 22 быть представлена в виде двух дисков, соедниеннык всего двумя связями: л стержнем 5-6 и связью- диском !6-!7-29 (рис. гу ав л 2.4,6). Таким образом, вся ц система изменяема, хотя каждый нз дисков имссг по одной лишней связи (например, 5-!5 и 6-!8)., "," м ~;,. ы 2а Достаточно один из этих стержней «переставить» Рвс 2.4 в поле 5-6-(6-!7, чтобы вся система превратилась в геометрически неизменяемую. Определение геометрической неизменяемости и числа лишних связей можно производить и обратным путем — отбрасыванием узлов с диадами. Такой путь можно назвать способом последовательного разрушения системы. Пример 2.5. Исследовать систему, изображенную па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
