Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2.5, а. Здесь Д=13, С„,=7, И=16 (кратность каждого шарнира указана в кружочке). Таким образом, по (2.1) л гв И = 3 13 — 2. 16 — 7 = О, 13 т. е. система может быть неизменяемой. Проведем кинематический анализ, используя способ после. довательного разрушения. Сначала мысленно отбросим узлы Н и М, прикрепленные к системе диадами НГ и НК (узел Н) и М6 и МВ (узел М).
Обратим внимание на то, что шарнир 6 в системе остается, так как оп кроме стержня М6 соединяет еше два стержня А6 и 6В. Далее можно отбросить узел В, прикрепленный стержнем 6В к системе и опорным стержнем к земле. Аналогичным образом отбросим узел С (соединенный опорным стержнем с землей и связью СЯ с системой) и узел 0 (соединенный опорным стержнем с землей и стержнем ЙТ с системой). После этого частичного разрушения система будет иметь внд, изображенный на рис. 2.5, б.
Отбрасывая узел Ф, соединенный с остающейся частью системы стержнем УР и связью-диском а> Е Рис. 2.5 Ф)г, а затем узел )с, соединенный стержнем КР и связью-диском Я5, получим систему, изображенную на рис. 2.5,в. Она представляет собой три диска, соединенные тремя шарнирами, лежащими на одной прямой. Следовательно, заданная система является мгновенно изменяемой. Рис. 2.6 Задачи 2.6 — 2.17. Исследовать системы, изображенные па рис. 2.6 — 2.17. Ответы: лй 2.6.
Система неизменяема и имеет один лишний горизонтальный опорный стержень. Образование системы удоб- но начинать с прикрепления к земле узла С при помощи двух диад АС и ВС. № 2.7. Система мгновенно изменяема. Она может быть представлена в виде трех дисков (АВС, РЕ и ГСсН), имеющих три мгновенных центра вращения, которые лежат на вертикальной прямой. № 2.8. Система неизменяема н не имеет лишних связей, Она может быть представлена в виде трех дисков (включая землю), имеющих три мгновенных центра вращения, не лежащих на одной прямой. № 2.9. Система неизменяема и не имеет лишних связей. Она может быть рассмотрена так же, как и предыдущая система. Рис.
2.8 Рис. 2.9 Рис. 2.7 № 2.10. Система неизменяема и имеет три лишние связи (например, шарнир К и горизонтальный опорный стержень В). № 2.11. Система неизменяема и не имеет лишних связей. На рис. 2.11, б показан путь образования одной из частей данной фермы в геометрически неизменяемую систему. Обратим внимание на то, что здесь диском !!! является стержень 1-а, а связями 1-8 и 9-2 являются диски А и Б. № 2.12.
Система неизменяема и не имеет лишних связей. Доказательство удобно начинать с рассмотрения системы, состоящей из трех дисков; А-1, А-2 и 3-4. № 2.!3. Система неизменяема и не имеет лишних связей. Лежащие на одной прямой три шарнира 17, Е н Е (равно как и три шарнира А, В и С) не делают систему мгновенно изменяемой, потому что онк являются центрами вращения не трех, а четырех дисков.
№ 2.14. Система изменяема. Не хватает одной связи Отметим, что при врезании шарниров в места пересечения стержней степень изменяемости останется той же. № 2.15. Система дважды мгновенно изменяема. Во-первых, мгновенные центры вращения дисков 1, 11 и 07 лежат на одной (горизонтальной) прямой; во-вторых, треугольник АВС присоединен к системе тремя стержнями, пересекающимися в одной точке. № 2.16. Система мгновенно изменяема. № 2.17. Система неизменяема и не имеет лишних связей. 15 а) си и б и и !Ши Ь г Рпс. 2.11 Рис. 2.10 Рп . 2.12 и В с Рис. 2.!3 Рис 2.14 7 В В 4511Рбб й И С Рис. 2.17 Рпс.
2.16 Рис. 2.15 й 2.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЯЕМОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ Основными методами определения реакций связей являются статический метод, метод замены связей и кпнематический метод. Статический метод Если система геометрически неизменяема и не имеет лишних связей, то она статически определима. Реакции связей в такой системе можно найти, используя уравнения равновесия.
Аналитическое определение реакций связей основывается на общем способе сечений, применяемом в различных модификациях. Пример 2.18. Определить реакции связей !-б, 3-8 и 2-3 плоской системы, изображенной на рпс. 2,18,а. Реакцию Рьа найдем из рассмотрения равновесия вырезанного сечением 1 — 1 узла 1 (способ вырезания узлов).
Так как диск 1-2 (равно как и другис диски) является ненагружспным и, следовательно, может быть представлен в виде прямолинейной связи 1-2, то искомую реакцию найдем из уравнения статики '2У=О5Р— мь, з(п а~=О (рис. 2.!8,6). Решая это уравнение. получим: )~ь 6 Р 2 Мпа1 Реакцию а определим из рассмотрения равновесия части системы, отделенной сечением П вЂ” П (способ простых сечений или способ моментной точки). Момептцой точкой для связи 3-8 является точка й, лежащая на пересечении линий 7-8 и 3-4.
Составляя уравнение равновесия 'Ма=О, получим: Р д Р 2 а Реакцию связи 2-3 нельзя определить при помощи одного се. чения, так как любое сечение (например, П! — П1), проведенное через данную связь, должно пересечь еще минимум три связи, не пересекающиеся в одной точке. Позтому в данном случае необходимо предварительно найти реакцию одной из связей, попавших в сечение Ш вЂ” Ш, прп помощи вспомогательного сечения, например сечения Ю вЂ” !)7, вырезающего узел 5. Согласно рис. 2.18,в: ХУ=- — Р— 2й, соз аз=О, и, следова. тельно, Р Р 2соза, Теперь в отсеченной сечением П1 — 1П части системы имеются лишь три неизвестные реакции: искомая !1,, а также Л, и !т 18 $' а! !и* !4аа Рис. 2.!8 6 м=!ща' Рис. 2.!9 я сса с 3 ~а 5 Р ...
Моментной точкой для связи 2-3 является точка 7. Исходя из уравнения статики ХМ7=Рь,.гз+)1 г,=О и учитывая полученное значение 11 , найдем: Ргз 2 сов азгя Пример 2.19. Определить вертикальную и горизонтальнучо составляющие реакции Яс в шарнире С (рис. 2.19, а, б).
В данном случае для определения реакций Хс и Ус проведем одновременно два сечения; одно через шарниры С и А, другое — через шарниры С и В (способ совместных сечсний). Затем составим систему двух уравнений статики для двух отсеченных частей; для диска 7 ХМл —— — Х 2а — У а+ 14уа' = О, для диска П ХМл —— - Х а+ У ..2а+ 2да' = О. Решая совместно эти уравнения при помощи определителей, получим: 0=ба, 11,= — ЗОда' н О,=+!Оаа'. Откуда Х, = — 6 на и Ус=2да. Отметим, что выражение определителя О не зависит от внешней нагрузки, а является функцией геометрических параметров самой системы.
При Р+0 искомые реакции имеют определенные конечные значения, что свидетельствует о геометрической неизменяемости системы. Если же определитель О, составленный из коэффициентов уравнений равновесия (при достаточном их числе), будет равен нулю, то усилия в связях будут равны бесконечности. Это является одним из статических признаков изменяемости системы, имеющей достаточное число связей.
Другим статическим признаком изменяемости системы с достаточным числом связей является признак нулевой нагрузки, основанный на неоднозначности получаемого решения. Если реакции некоторых связей системы буд)т отличны от нуля при отсутствии внешней нагрузки (нулевои нагрузке), то система либо мгновенно изменяема, либо изменяема и имеет лишние связи. Пример 2.20.
Доказать, что система, изображенная иа рис. 2.20, а, является мгновенно изменяемой. Проведем сечение ! — 1. Предположим, что в связи 2-С возможно возникновение силы (г. Тогда из рассмотрения равновсь ь сия отсеченной части (тМл=О) найдем, что 5, „=- — 5, .= — )х'. о 'с а Вырезая узел 1, определим реакции 5, и и 5, „. Аналогично из вырезания узла 2 определим реакции 5,, и 5з, (рис. 2.20,6). Из рассмотрения треугольников 1-и-"1 и 1-!-е, а также 1-гг-2 и 2-д-1, легко установить, что 5, „= 5,, и 5,, =- 5, з. Вырезая далее узлы 4 н 3, определим, что 5з „= 5„, и 5„л=5ь м Таким образом, в данном случае, когда нет внегиней нагрузки, реакции всех связей будут функциями силы 1с', которая может иметь произвольное значение. Следовательно, система мгновенно изменяема '.
й)етод замены связей Расчет заданной системы проводится при помощи другой, «заменяющей» системы, которая является более простой, статически определимой и получена из заданной путем замены одной или нескольких связей. При этом удаленные из заданной системы связи заменяются неизвестными реакциями Х„, а на введенные в заменяющую систему связи накладываются условия равенства нулю суммарных реакций в них от действия всех сил на замениющую систему.
Эти условия имеют следующий канонический вид (для й-й введенной связи): хмХ, + г»„Хз+ .. + гг«Х„+ Рлр — — О, (2.4) где ㄄— реакция й-й связи от силы Х„=1; )сел — реакция й-й связи от заданной нагрузки. Опреде,тив из решения системы уравнений типа (2.4) значения неизвестных Хн, находят реакцию любой связи на основе принципа независимости действия сил: 5, =5п Х, +5гзХ„+' +5,.„Хи+5,, (20) Пример 2.21. Определить реакции связей в системе, изображенной на рис. 2.21, а.
' В книге В. А. Киселева «Строительнвя х~схзника» (!960, стр. 59), рзссмотренв сходная ненвгруженивя система, ио являюшзяся неизмеияемоа. В ней вследствие неравенства углов у продольнзя сила Вд, определяемяя из вырезания узлов, имеет различные значения (5м «ь 5м). 20 Заменяющая система показана на рис. 2.21,б. Здесь связи 1-1', 2-2' и 8-3' заменены неизвестпымп силами Хь Хз и Хэ, а заменяющие связи представляют собой защемлеция в узлах 1', 2' и 3'. Таким образом, заменяющая система представляет собой балку ломаного очертания, опирающуюся на две опоры и нагруженную помимо силы Р силами Х„Хз и Х,. с3 »» 2а -1- Ра » — ?а Рис.
2.2! Определим значения реакций (моментов во введенных защемлениях) от действия силы Р и единичных спл Х,=!: «„= М„= 0,75 2а = 1,5 а; «„= М„= 0,25.2а = 0,5а; «,з = М„= 0,5 2а = 1 а; «зз = Мзз =- 0,5 2а = 1 а; «эз=Мэз=025 2а=05 а; «зз=Мзз=075 2а=1,5а; «„= М„= 0,25 4а = 1 а; Д,р — — 8Р 2а — 2,5 2а = 11Ра; «, = М = О 5 4а = 2 а; Рзр -— - 8Р За — 2 5 4а = 14Ра; «зз=М =0,25 4а=1 а; сэр=2,5Р 2а=5Ра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
