Лекц_упр_1 (1055130), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В соответствии с законом Гука FK должна бытьпрямо пропорциональна растяжению у:Фиг.2 Механическаясистема нулевогопорядка.где параметр К определяет жесткость пружины ихарактеризует свойства рассматриваемой системы.Таким образом, уравнение движения, представляющеесобой закон поведения системы, имеет следующий вид:СИСТЕМА НУЛЕВОГО ПОРЯДКАили, если разрешить его относительно у,Уравнение (II.З) может служить хорошей отправнойточкой для дальнейшего исследования системы, таккак это простое алгебраическое уравнение, прирешении которого не встает никаких особыхпроблем.Фиг.2 Механическаясистеманулевого порядка.В нем простоутверждается,что любомузаданномузначению входа, скажем F1 будетсоответствовать единственное значение выходнойвеличины, у1 равное произведению [1/K]F1 .СИСТЕМА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА Назовем сомножитель [1/K] передаточнойфункцией системы, которую мы определимкак величину, на которую умножаетсявходная величина при прохождении черезсистему, или, что то же самое, какотношение выходной величины к входной(фиг.
3).Фиг.3. Блок схемасистемы нулевогопорядка Исследуем теперь поведение у приопределенномхарактеревходноговоздействия F.Пусть это входноевоздействие F будет скачкообразным, т. е.F=0 при t<0 и F = Fi при t>0.СИСТЕМА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА На фиг. 4 показана зависимость отвремени как входной, так ивыходной величины. Отметим, чтоу повторяет (или, как говорятспециалистыпоавтоматике,отрабатывает) F мгновенно, безкакого-либо запаздывания. Поэтому значение у зависиттолько от значения F и совершенноне зависит от времени. Подобныесистемы,описываемыеалгебраическимиуравнениями,называются системами нулевогоФиг.4. Скачкообразное воздействиепорядка.и реакция на него (системанулевого порядка)СИСТЕМА НУЛЕВОГО ПОРЯДКА Показанный на фиг. 5 график уравнения(II.З) справедлив для любого моментавремени независимо от характера F (t). Еслипренебречьразницеймеждуфизическими единицами измерения F и у ирассматривать эти величины просто как«сигналы» на входе и выходе системы, томожно сказать, что система изменяет лишьмасштаб входного сигнала (т.
е. умножаетвходной сигнал на некоторую постояннуювеличину), но не меняет его поведения вовремени, т. е. его формы. Таким образом, в данном случаепреобразованиевходногосигналаФиг.5. Статическая, илизаключается лишь в изменении масштаба;амплитудная характеристика(характеристика усиления). чтобы подчеркнуть это, мы назваликривуюнафиг.5характеристикойусиления, имея в виду, что коэффициентусиления может быть как больше, так именьше единицы.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг.2 Механическаясистемапервого порядка. Теперь несколько усложним рассматриваемуюсистему. Неизменяяфункциональнойсхемы,изображенной на фиг. 2, мы простопредположим, что используемые в ней кулисыиспытывают вязкое трение, т.
е. образуют вязкийамортизатор. Это значит, что в процессе движения к силепротиводействия, создаваемой пружиной, нужнодобавить еще одну силу FR, пропорциональнуюскорости движения (т. е. первой производнойсмещения по времени dy/dt):где R — вязкое сопротивление амортизатора. В связи с этим уравнение движенияприобретает следующий вид:СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАа свойства исследуемой системы характеризуются уже двумя параметрами: Rи К. Теперь мы попадаем в совершенно новый для нас мирдифференциальных уравнений. Уравнение (П.5) называется дифференциальным, так как оно содержитпроизводную dy/dt.
Это дифференциальное уравнение первого порядка,так как старшая производная в этом уравнении — первая. В соответствиис этим мы будем называть систему, которую оно описывает, системойпервого порядка. Решение уравнения (11.5) будет представлять собойфункциональное соотношение, не содержащее производных исвязывающее между собой зависимую переменную у с независимойпеременной t. Таким образом, входной и выходной сигналы системыокажутся неявным образом связанными между собой через посредствообщей для них независимой переменной t.
Вопрос о том, как получитьтакие решения, мы оставим до гл. III. Сейчас же мы будем предполагать,что такие решения у нас есть и что мы можем исследовать некоторые ихсвойства. Однако, прежде чем переходить к такому исследованию,зададим себе вопрос: нельзя ли преобразовать уравнение (П.5) к такомуже виду, что и уравнение (II.3), в том смысле, что выходной сигнал убудет в нем представлен в виде произведения входного сигнала нанекоторую передаточную функцию? На этот вопрос можно датьутвердительный ответ, предварительно введя в уравнение (П.5)некоторые новые символические обозначения. Воспользуемся символом sдля обозначения операции дифференцирования, т.е. пусть s(у)=dy/dt.Тогда уравнение (II.5) можно переписать в следующем виде:(Rs + K)y = F.(II.6)СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАДалее имеет смысл перейти от уравнения, содержащего два параметра R и К,к уравнению с единственным параметром—постоянной времени τ, равнойотношению R/K.
В результате этого уравнение (П.6) преобразуется к видуили, если его разрешить относительно yВыражение в скобках мы вновь можем назвать передаточной функциейсистемы, так как оно имеет тот же смысл, что и в уравнении (II.З) (фиг. 6).Конечно, пока еще мы практически не продвинулись в решении уравнения(II.5), так как до настоящего времени использование символа s — это неболее чем условное обозначение и мы не имеем ни малейшего понятия, чтозначит умножить входной сигнал на функцию s.Однако в гл. III мы узнаем, что если эту символику строго формализовать,используя метод преобразований Лапласа, то мы получим точно такуюже передаточную функцию, что и для системы нулевого порядка, и знание еепозволит нам решать исходное дифференциальное уравнение. Поэтомуполезно привыкнуть к понятию передаточной функции с самых первыхшагов.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг.
6. Блок-схема системы первого порядка.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА Исследуем теперь реакцию у на некоторыйопределенный входной сигнал; другимисловами, найдем решение уравнения (11.5)для какого-то определенного F(t).Фиг. 7. Скачкообразноевоздействие и реакция нанего (система первогопорядка).Как и раньше, в качестве входного сигналавоспользуемся скачкообразной функцией, т.е. будем считать, что F = 0 при t< 0 и F=Fiпри t>0.Кроме того, предположим, что в начальныймомент времени, как и раньше, системанаходится в покое (т. е.
у=0).На фиг. 7 изображен график входногоскачкообразноговоздействияисоответствующие ему реакции системы придвух различных значениях постояннойвремени τ.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг. 7. Скачкообразноевоздействие и реакция нанего (система первогопорядка).Теперь наша система не толькоизменяет величину входного сигнала, номеняет также и его поведение вовремени, или его форму.Если воспользоваться скачкообразнымивходными воздействиями различнойвеличины, дождаться установившихсязначений в каждом из этих случаев ипостроить график зависимости таких уот соответствующих F, то мы получим туже амплитудную характеристику, что ина фиг. 5.Однако теперь эту характеристикунужноназыватьстатическойамплитудной характеристикой, так какописываемаяеюзависимостьсправедлива лишь для статического,установившегося режима.Таким образом, постоянный множительпередаточной функции 1/K определяетлишьстатическийкоэффициентусиления системы и ничего не говорит озапаздываниях.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКАФиг.
7. Скачкообразноевоздействие и реакция нанего (система первогопорядка).Рассмотрев этот график, мы сразу заметимопределенную разницу в поведении этойсистемы по сравнению с поведением системынулевого порядка. Выходной сигнал у уже неотрабатывает входной сигнал F мгновенно.Наоборот, у достигает своего конечного,установившегося значения F1/К с некоторымзапаздыванием.Таким образом, значение, у после подачискачкообразного входного сигнала зависит нетолько от значения F, но и от моментавремени, в который мы его измеряем.Второй сомножитель передаточной функции[1/(τs+1)] определяет динамические свойствасистемы и в данной конкретной форменазываетсяпередаточнойфункциейинерционного звена первого порядка.Выходной сигнал такого звена стремится ксвоему окончательному установившемусязначениюпоэкспонентебезперерегулирования и без колебаний..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
