Норенков И.П. - Автоматизированное производство (1054022), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Нарис. 3.6,2 показан граф эквивалентной схемы рис. 3.6,), толстыми ли%+,.3.6. Эквивалентная схема (:) и ее граф (B)ниями выделено одно из возможных покрывающих деревьев.Выбор дерева однозначно определяет вектора напряжений Uх и токов Ix хорд, напряжений Uвд итоков Iвд ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в видеUх + MUвд = 0,(3.13)Iвд - MTIx = 0,(3.14)где E — матрица контуров и сечений, MT — транспонированная Eматрица.В E-матрице число строк соответствует числу хорд, числостолбцов равно числу ветвей дерева.
E-матрица формируется следующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Еслипри подключении к дереву "-й хорды q-я ветвь входит в образовавшийся контур, то элемент Lpq матрицы равен +1 при совпадении&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*M:BD+=: 3.).ХордыВетви дереваC1C2C3R1-100R20-10R300-1R4-1+1+1J+100575@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mнаправлений ветви и подключенной хорды, Lpq = -1 при несовпадении направлений. В противномслучае Lpq = 0.Для схемы на рис. 3.6 E-матрица представлена в виде табл. 3.1$,4B.004,-+ T79+9:D.0-016 ,6./ /.6:0+A.,7+6 4BU.7-49. Для каждой степени свободыстроят свою эквивалентную схему. Каждому телу с учитываемой массой соответствует узел схемы(вершина графа).
Один узел, называемый базовым, отводится телу, отождествляемому с инерциальнойсистемой отсчета.Каждый элемент массы изображают ветвью, соединяющей узел соответствующего массе тела сбазовым узлом; каждый элемент упругости — ветвью, соединяющей узлы тел, связанных упругойсвязью; каждый элемент трения — ветвью, соединяющей узлы трущихся тел. Внешние воздействиямоделируются источниками сил и скоростей.В качестве примера на рис.
3.7,)изображена некоторая механическаясистема — тележка, движущаяся по дороге и состоящая из платформы K, колес I1, I2 и рессор :1, :2. На рис.3.7,2 приведена эквивалентная схемадля вертикальных составляющих сил искоростей, на которой телам системысоответствуют одноименные узлы,учитываются массы платформы и колес, упругость рессор, трение междуколесами и дорогой; неровности дороги вызывают воздействие на систему,изображенное на рис. 3.7,2 источниками силы.%+,. 3.7. Простая механическая система:: - эскизное изображение; B - эквивалентная схемаN:8:7-.8+,-+7: /.-4549 H48/+849:0+> EE*. Исходную систему компонентных и топологических уравнений (3.1) и (3.2) можно рассматривать как окончательную ММС, которая и подлежитчисленному решению. Численное решение этой системы уравнений предполагает )48$2")'6)='<дифференциальных уравнений, например, с помощью преобразования Лапласа или формул численного интегрирования. В программах анализа нелинейных объектов на макроуровне, как правило, применяются формулы численного интегрирования, примером которых может служить неявная формулаЭйлераdV/dt | n= (Vn — Vn-1) / hn,где Vi — значение переменной V на i-м шаге интегрирования; hn = tn — tn-1 — шаг интегрирования.Алгебраизация подразумевает предварительную дискретизацию независимой переменной t (вместонепрерывной переменной t получаем конечное множество значений tn), она заключается в представлении ММС в виде системы уравненийFк(Zn, Vn, tn) = 0,(3.15)Fт(Vn) = 0,Zn= (Vn - Vn-1) / hnc неизвестными Vn и Zn, где использовано обозначение Z = dV/dt.
Эту систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, необходимо решать на каждом шаге численного интегрированияисходных дифференциальных уравнений.Однако порядок этой системы довольно высок и примерно равен 2α+γ, где α — число ветвей эквивалентной схемы (каждая ветвь дает две неизвестные величины — фазовые переменные типа потока и типа потенциала, за исключением ветвей внешних источников, у каждой из которых неизвестналишь одна фазовая переменная), γ — число элементов в векторе производных.
Чтобы снизить порядок системы уравнений и тем самым повысить вычислительную эффективность ММС, желательновыполнить предварительное преобразование модели (в символическом виде) перед ее многошаговымчисленным решением. Предварительное преобразование сводится к исключению из системы части&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*585@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mнеизвестных и соответствующего числа уравнений. Оставшиеся неизвестные называют 2)6'+*./'. Взависимости от набора базисных неизвестных различают несколько методов формирования ММС.Согласно /$&#-7 0$"$/$**., +#+ *'9 (более полное название метода — метод переменных,характеризующих состояние), вектор базисных переменных W состоит из 0$"$/$**., +#+ *'9.Этот вектор включает неизбыточное множество переменных, характеризующих накопленную в системе энергию.
Например, такими переменными могут быть скорости тел (кинетическая энергия определяется скоростью, так как равна Mu2/2), емкостные напряжения, индуктивные токи и т.п. Очевидно,что число уравнений не превышает γ. Кроме того, итоговая форма ММС оказывается приближеннойк явной форме представления системы дифференциальных уравнений, т.е.
к форме, в которой векторdW/dt явно выражен через вектор W, что упрощает дальнейшее применение явных методов численного интегрирования. Метод реализуется путем особого выбора системы хорд и ветвей дерева приформировании топологических уравнений. Поскольку явные методы численного интегрированиядифференциальных уравнений не нашли широкого применения в программах анализа, то метод переменных состояния также теряет актуальность и его применение оказывается довольно редким.В классическом варианте 764#(#8# /$&#-) в качестве базисных переменных используются 764#(.$ 0#&$*=')4. (т.е. скорости тел относительно инерциальной системы отсчета, абсолютные температуры, перепады давления между моделируемой и внешней средой, электрические потенциалы относительно базового узла).
Число узловых потенциалов и соответственно уравнений в ММС оказывается равным β-1, где β — число узлов в эквивалентной схеме. Обычно β заметно меньше α и, следовательно, порядок системы уравнений в ММС снижен более чем в два раза по сравнению с порядком исходной системы.Однако классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение и потому в современных программах анализа наибольшее распространение получил /#-'E'='"#()**.; 764#(#;/$&#-.P?D4942 /.-45. Матрицу контуров и сечений E в узловом методе формируют следующим образом. Выбирают базовый узел эквивалентной схемы и каждый из остальных узлов соединяют с базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви принимают в качестве ветвей дерева, а все реальные ветви оказываются в числе хорд. Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю, а вектор напряжений фиктивных ветвей есть вектор узловых потенциалов ϕ, то уравнения (3.13) и (3.14) принимают видU + Mϕ = 0,(3.16)T(3.17)M I = 0,где U и I- векторы напряжений и токов реальных ветвей.Компонентные уравнения алгебраизуются с помощью одной из формул численного интегрирования, линеаризуются с помощью разложения в ряд Тейлора с сохранением только линейных членов,и их представляют в виде(3.18)In = GnUn + Cn,где Gn — диагональная матрица проводимостей, рассчитанная в точке tn; Cn — вектор, зависящий отзначений фазовых переменных на предшествующих шагах интегрирования и потому уже известныйк моменту времени tn.
Каждая ветвь (за исключением идеальных источников напряжения) имеет проводимость, которая занимает одну из диагональных клеток матрицы проводимостей.Окончательно ММС получаем, подставляя (3.18) и затем (3.16) в (3.17):MTIn = MT(GnUn + Cn) = - MTGnMϕn + MTCn = 0илиVnϕn = Bn,(3.19)где Vn = MT GnM — матрица Якоби, Bn = MTCn — вектор правых частей. Отметим, что матрица M имеет размер равен α × (β-1), матрица Gn — α × α, а матрица Якоби — (β-1) × (β-1).Система (3.19) является +'+&$/#; 4'*$;*., )48$2")'1$+%', 7")(*$*';, полученной в результа&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*595@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mте дискретизации независимой переменной, алгебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических уравнений.
Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительного процесса интегрирования, линеаризация — к выполнению итерационного вычислительногопроцесса на каждом шаге интегрирования.Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.Для резистивных ветвей проводимость — величина, обратная сопротивлению R.При использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной ветви получается из еекомпонентного уравнения следующим образом.На n-м шаге интегрированияin = Cdu/dt |n = C(un -un-1) / hn,проводимость g =∂in/∂un и при : = const получаемg = C / hn.При этом в вектор правых частей входит элемент an = gun-1.Проводимость индуктивной ветви можно найти аналогично:un = L(in -in-1) / hnи при L = constg= hn /L, an = in-1.Аналогично определяют проводимости и при использовании других разностных формул численного интегрирования, общий вид которыхdU/dt |n = µn Un — ηn,где µn зависит от шага интегрирования, ηn — от значений вектора U на предыдущих шагах.Классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение.
Так, недопустимыидеальные (с бесконечной проводимостью) источники напряжения, зависимые источники, аргументами которых являются токи, а также индуктивности, поскольку в классическом варианте токи не входят в число базисных переменных. Устранить эти ограничения довольно просто — нужно расширитьсовокупность базисных координат, включив в нее токи-аргументы зависимых источников, а также токи ветвей индуктивных и источников напряжения. Полученный вариант метода называют /#-'E'='"#()**./ 764#(./ /$&#-#/.Согласно модифицированному узловому методу, в дерево при построении матрицы E включают ветви источников напряжения и затем фиктивные ветви.
В результате матрица E принимает вид(табл. 3.2), где введены обозначения: Uист(I) — источники напряжения, зависящие от тока; E(t) — независимые источники напряжения; Iист(I) — исM:BD+=: 3.2точники тока, зависящие от тока; L — индуктивТип ветвиФиктивные Uист(I)E(t)ные ветви; Mij — подматрица контуров хордветвигруппы i и сечений фиктивных ветвей группы j.Те же обозначения Uист, I, E, Iист будем ис- неособые ветвиM11M12M13пользовать и для соответствующих векторов наM21M22M23пряжений и токов. Назовем ветви, токи которых Lявляются аргументами в выражениях для зави- Iист(I)M31M32M33симых источников, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
