Норенков И.П. - Автоматизированное производство (1054022), страница 24
Текст из файла (страница 24)
входят в вектор I, #+#2./' ветвями. Остальные ветви (за исключением индуктивных) — *$#+#2.$. Введем также обозначения: IL — вектор индуктивных токов; I, и U, — векторы токов и напряжений неособых ветвей; G,, GL,GI — диагональные матрицы проводимостей ветвей неособых, индуктивных, особых.Уравнение закона токов Кирхгофа (3.17) для фиктивных ветвей имеет вид(M11)T I, + (M21)TIL + (M31)TIист = 0.Исключим вектор I, с помощью компонентного уравнения (3.18), а вектор Iист с помощью оче&.+.)$(*),$" .
!"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*605@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mвидного выраженияIист = KI,где K = (∂Iист/∂I) — матрица передаточных коэффициентов источников тока. Используем также выражение (3.16), принимающее видU, = - M11ϕ - M12Uист - M31E = - M11ϕ - M12 (∂Uист/∂I) I - M31EПолучаем систему из трех матричных уравнений с неизвестными векторами ϕ, I и IL:-(M11)TG,(M11ϕ + M12RI) + (M21)TIL + (M31)TKI = G,M31E + (M11)TA,;(3.20)IL = - GL(M21ϕ+ M22RI+ M23E) + AL;(3.21)I = - GI(M31ϕ+ M32RI + M33E) + AI,(3.22)где обозначено R = (∂Uист/∂I). Эта система и является итоговой ММ в узловом модифицированном методе.' 6 B .F 6 9 0 N :1. Вектор индуктивных токов нельзя исключить из итоговой системы уравнений, так как его значения входят в вектор AL на последующих шагах численного интегрирования.2.
Источники тока, зависящие от напряжений, относятся к неособым ветвям, их проводимости(∂Iист/∂U) входят в матрицу G6, которая при этом может иметь недиагональный вид.3. Источники напряжения, зависящие от напряжений, в приведенных выше выражениях не учитываются, при их наличии нужно в матрице E выделить столбец для этих ветвей, что приводит к появлению дополнительных слагаемых в правых частях уравнений (3.19) — (3.21).3.3. E.-451 + :D@48+-/1 :0:D+?: 0: /:784<8490.(1B48 /.-4549 :0:D+?: 94 98./.0042 4BD:,-+. Анализ процессов в проектируемых объектахможно производить во временной и частотной областях. K*)4'6 (# ("$/$**#; #24)+&' (динамическийанализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта,он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем.
K*)4'6 (1)+&#&*#; #24)+&' более специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемымиММ при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой спектральными составляющими сигналов, и т.п.Методы анализа во временной области, используемые в универсальных программах анализа вСАПР, — это численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):F(dV/dt, V, t) = 0.Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений.
Формулы интегрирования СОДУ могут входить в ММ независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в(3.15), или быть интегрированными в ММ компонентов, как это выполнено в узловом методе.От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность. Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.Применяют два типа методов интегрирования — явные (иначе экстраполяционные или методы,основанные на формулах интегрирования вперед), и неявные (интерполяционные, основанные наформулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка — методов Эйлера.Формула 9(*#8# /$&#-) F;4$") представляет собой следующую формулу замены производныхв точке tn:dV/dt | n = (Vn+1 — Vn ) / hn,где индекс равен номеру шага интегрирования; hn = tn+1 - tn — размер шага интегрирования (обычноhn называют просто шагом интегрирования).
В формуле *$9(*#8# /$&#-) F;4$") использовано диф&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*615@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mференцирование назад:dV/dt | n = (Vn — Vn-1 ) / hn,где hn = tn - tn-1.Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:dV/dt = AV(3.23)при ненулевых начальных условиях V0 ≠ 0 и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h.Здесь C — постоянная матрица; V — вектор фазовых переменных.При алгебраизации явным методом имеем(Vn+1 - Vn ) / h = A VnилиVn+1 = (E + hA) Vn,где & — единичная матрица. Вектор Vn+1 можно выразить через вектор начальных условий V0:Vn+1 = (E + hA)n V0.(3.24)ОбозначимB = E + hAи применим преобразование подобия для матрицы ((3.25)( = T-1diag{λBj}T,где M — преобразующая матрица, diag{λBj} -диагональная матрица с собственными значениями λBjматрицы ( на диагонали. Нетрудно видеть, что(n = T-1diag{λBjn}T.Из линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанных арифметическими операциями, оказываются связанными такими же преобразованиями.
Поэтому из (3.25) следуетλBj = 1 + hλCj.Точное решение модельной задачи (3.23) V(t) → 0 при t → ∞, следовательно, условием устойчивости процесса численного решения можно считатьVn+1 → 0 при n → ∞,откуда последовательно получаем(E + hA)n V0 → 0,так как V0 ≠ 0, то (E + hA)n → 0, поскольку M ≠ 0, то λBjn → 0 и условие устойчивости-1 < |1 + hλCj| < 1.(3.26)Известно, что для физически устойчивых систем собственные значения матрицы коэффициентов в ММС оказываются отрицательными. Если к тому же все λCj вещественные величины (характерпроцессов в ММС с моделью (3.23) апериодический), то естественно определить 0#+ **.$ ("$/$*' E'6'1$+%#; +'+&$/.
какτj = - 1 / λCj,и условие (3.26) конкретизируется следующим образом-1 < |1 - h/τj | < 1или0 < h < 2τmin,(3.27)где τmin — минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы более высокого порядка, то может увеличиться коэффициент перед τmin в (3.27), но это принципиально не меняет оценки явных методов.&.+.)$(*),$" .
!"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*625@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&MЕсли нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает,что в решении задачи возникают ложные колебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудойи быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о какой адекватности решения говорить не приходится.Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматического выбора шага. Отметим, что в сложной модели расчет τmin для непосредственного выбора шага по (3.27) слишком трудоемок, кроме того, однократный расчет τmin мало чем помогает, так как в нелинейных моделях τmin может изменяться от шага к шагу.Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования. В результате вычислительная эффективность явных методов резко падает с ухудшением #27+4#(4$**#+&' ММС.
В самомделе, длительность ?инт моделируемого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоениясистемы после возбуждающего воздействия, т.е. соизмерима с максимальной постоянной времениτmax. Требуемое число шагов интегрирования равноШ = ?инт / h ∼ τmax / τmin.Отношение Ч = τmax/τmin называют ")62"#+#/ 0#+ **., ("$/$*' или 1'+4#/ #27+4#(4$**#+&'.Чем больше это число, тем хуже обусловленность. Попытки применения явных методов к любымММС чаще всего приводят к недопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в реальных моделях Ч > 105 — обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универсальных программах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следующие результаты.Вместо (3.24) имеемVn = (E - hA)-n V0и условие числовой устойчивости принимает вид-1 < |1/(1 + h/τj)| < 1,которое выполняется при любых h > 0.
Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называемой K-7+&#;1'(#+&5<.+ - 0 B .F 6 9 0 . . Метод интегрирования СОДУ называют K-устойчивым, если погрешность интегрирования остается ограниченной при любом шаге h > 0.Применение K-устойчивых методов позволяет существенно уменьшить требуемые числа шаговШ. В этих методах шаг выбирается автоматически не из условий устойчивости, а только из соображений точности решения.Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост: во-первых, более высокий порядок обеспечивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов, кроме метода Эйлера, K-устойчивы также методы второго порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобладающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификацииметода трапеций.CD@48+-/ A+,D.004@4 +0-.@8+849:0+> *$OP.
Одна из удачных реализаций неявного методавторого порядка, которую можно считать модификацией /$&#-) &")0$=';, основана на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядка метода.Предварительно отметим, что в методах "-го порядка локальная погрешность, т.е. погрешность,допущенная на одном n-м шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членовδ = c||V(p+1)(τ)|| hp+1,в разложении решения V(t) в ряд Тейлора, где с — постоянный коэффициент, зависящий от метода,||V(p+1)(τ)|| — норма вектора ("+1)-х производных V(t), которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации, τ — значение времени t внутри шага.Если n-й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т.е. выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением h должен быть явным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
