Норенков И.П. - Автоматизированное производство (1054022), страница 27
Текст из файла (страница 27)
4B.,3.A.0+. :0:D+?: 0: /+784<8490.E:-./:-+A.,7+. /45.D+ 0: /+784<8490.. Математическими моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин. Другими словами, на микроуровне используются модели с распре&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*695@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mделенными параметрами.
В качестве независимых переменных в моделях могут фигурировать пространственные переменные x1, x2, x3 и время t.Характерными примерами моделей могут служить уравнения математической физики вместе сзаданными краевыми условиями.Например:1) уравнение теплопроводностиC ρ ∂T / ∂t = div (λ grad T) + g,где : — удельная теплоемкость, ρ — плотность, ? — температура, t — время, λ — коэффициент теплопроводности, g —количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема;2) уравнение диффузии∂N / ∂t = div (D grad N) ,где N — концентрация частиц, D — коэффициент диффузии;3) уравнения непрерывности, используемые в физике полупроводниковых приборов:для дырок∂" / ∂t = - (1/q) div Jp + gp ,для электронов∂n / ∂t = (1/q) div Jn + gn ,и уравнение Пуассонаdiv E = ρ / (ε ε0),Здесь p и n — концентрации дырок и электронов; q — заряд электрона; Jp и Jn — плотности дырочного и электронного токов; gp и gn — скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов; & — напряженность электрическогополя;, ρ — плотность электрического заряда; ε и ε0 — диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая постоянная.Краевые условия включают начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этихпеременных на границах рассматриваемой области в функции времени.E.-451 :0:D+?: 0: /+784<8490..
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методыоснованы на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множествомзначений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются какузлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы — это +$*.$ методы.Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечныхразностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).
Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи нестационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.Пусть необходимо решить уравнениеLV(z) = f(z)с заданными краевыми условиямиMV(z) = ψ(z),где L и M — дифференциальные операторы, V(z) — фазовая переменная, z = (x1, x2, x3, t) — вектор независимых переменных, f(z) и ψ(z) — заданные функции независимых переменных.В /$&#-$ %#*$1*., ")6*#+&$; алгебраизация производных по пространственным координатамбазируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями.
При использованииметода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимаютмножество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 3.11. На этом рисунке кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная.
Черными точками обозначены узлы, значенияфазовой переменной в которых входят в аппроксимирующее выражение. Число, записанное около узла, равно коэффициенту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующее выражение. Так, для одномерных шаблонов в&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*705@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&Mверхней части рисунка показана аппроксимация производной ∂V/∂x в точке k, и указанным шаблонам при их просмотреслева направо соответствуют аппроксимацииh(∂V/∂x) = Vk+1 - Vk; 2h(∂V/∂x) = Vk+1 - Vk-1; h2(∂2V/∂x2) = Vk+1 - 2Vk + Vk-1,где h — шаг дискретизации по оси ,.Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 3.11 соответствуют следующим конечно-разностным операторам:левый рисунок -h2∇2V = :2(∂2V/∂x12 + ∂2V/∂x22) = Vk+1,j + Vk-1,j + Vk,j+1 + Vk,j-1 - 4Vk,j,средний рисунок -2h2∇2V = Vk+1,j+1 + Vk-1,j+1 + Vk+1,j-1 + Vk-1,j-1 - 4Vk,j,правый рисунок -4h2∂2V/∂x1∂x2 = Vk+1,j+1 - Vk-1,j+1 - Vk+1,j-1 + Vk-1,j-1.Здесь Vk,j — значение V в точке (x1k,x2j); приняты одинаковые значения шагов h по обеим координатам.L$&#- %#*$1*., B4$/$*&#( основанна аппроксимации не производных, а самогорешения V(z).
Но поскольку оно неизвестно,то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами qi(3.34)U(z) = QТϕ(z),где QТ = (q1, q2,...qn)Т- вектор-строка неопре- %+,. 3.)). Примеры шаблонов для метода конечных разностейделенных коэффициентов, ϕ(z) — вектор-столбец %##"-'*)&*., (иначе опорных) функций, заданныхтак, что удовлетворяются граничные условия.При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом ихмалых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений U(z) (например, ϕ(z) — полиномы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходноедифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязок(3.35)∆(z, Q) = LU(z) - f(z) = L(QТϕ(z)) - f(z),из которой требуется найти вектор Q.Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов:1) /$&#- %#44#%)=';, в котором, используя (3.35), формируют n уравнений с неизвестным вектором Q:L(QТϕ(zi)) - f(zi) = 0, i = 1, 2,...n,где n — число неопределенных коэффициентов;2) /$&#- *)'/$*5>', %()-")&#(, основанный на минимизации квадратов невязок (3.35) в n точках или в среднем по рассматриваемой области;3) /$&#- V)4$"%'*), с помощью которого минимизируются в среднем по области невязки соспециально задаваемыми весовыми коэффициентами.Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочностиобъектов.
Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т.е. выполнить алгебраизациюисходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики.E'Q 9 384@8://:6 :0:D+?: /.6:0+A.,742 384A04,-+. В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии.Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформации тела и работы Амассовых и приложенных поверхностных сил.В свою очередь&.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*+($*,#&($"!)&*715@!"! 3%!#*%!#&F*:,$*Э = 0,5$I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M∫ ε σ dR,(3.36)TRгде εT = (ε11, ε22, ε33, ε12, ε13, ε23)T — вектор-строка деформаций, σ = (σ11, σ22, σ33, σ12, σ13, σ23) — вектор-столбец напряжений, R — рассматриваемая область.
Деформации εij можно выразить через перемещения(3.37)εij = 0,5(∂Wi /∂xj +∂Wj /∂xi),где Wi — перемещение вдоль оси ,i, или в матричной формеε = 0,5 SW,(3.38)где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования.Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D, характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл. 3.5:σ = Dε.(3.39)Коэффициенты λ и µ, фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе, они выражают упругие свойства материала детали.M:BD+=: 3.5Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем0000λ+2µ λTTЭ = 0,5 W S DSW dR,000λ+2µ λλR∫Решением задачи должно быть поле перемеще0λний W(X), где X = (x1, x2, x3).
В соответствии с МКЭ00это решение аппроксимируется с помощью функций(3.34), которые применительно к совокупности конеч00ных элементов представим в матричной форме:00U(X) = NQ,где N — матрица координатных функций, Q — векторнеопределенных коэффициентов. Заменяя W(X) на U(X), получаемЭ = 0,5где K =∫ (SN)R∫QRM DSNT NТ ST DSNλ+2µ00002µ00002µ00002µ∫Q dR = 0,5 QT( (SN)Т DSN dR) Q = 0,5 QT K Q,R(3.40)dR — матрица жесткости.В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем∂П/∂Q = ∂Э/∂Q - ∂А/∂Q = 0или, дифференцируя (3.40), находимKQ = B,(3.41)где B = ∂А/∂Q — вектор нагрузок.
Таким образом, задача анализа прочности, согласно МКЭ, сведенак решению системы линейных алгебраических уравнений (3.41).Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (3.41) применяют методы разреженных матриц.+ - 0 B .F 6 9 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
