К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 15
Текст из файла (страница 15)
раздел 3.7):−1⎛ ⎡1 0⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎞ ⎡0⎤1⎟ ⋅⎢ ⎥ =.W ( s ) = [0 1]⋅ ⎜⎜ s ⎢−⎢⎥⎥⎟⎝ ⎣0 1⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎠ ⎣1⎦ s + 1Ее знаменатель (характеристический полином) ∆ ( s ) = s + 1 устойчив, так как имеет единственный устойчивый корень − 1 , хотя система внутренне неустойчива! Обратите внимание, что система имеет порядок 2, а знаменатель передаточной функции – порядок 1. В данном случае этоозначает, что некоторые внутренние движения системы не наблюдаемы на выходе, не влияютна него.Вспомним, что передаточная функция описывает свойства системы только при нулевыхначальных условиях.
Поэтому выводы об устойчивости внутренних процессов в системе, сделанные по передаточной функции, могут оказаться неверными, если степень ее знаменателяменьше порядка исходного дифференциального уравнения.6.4.8. Устойчивость линеаризованных системУстойчивость нелинейной системы можно во многих случаях оценивать с помощью линеаризованной системы. Для этого применяют теоремы Ляпунова, которые связывают корнихарактеристического полинома ∆( s) линейной модели и устойчивость нелинейной системы вокрестности точки линеаризации:1) если все корни имеют отрицательные вещественные части, то нелинейная систематакже устойчива;2) если есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то нелинейнаясистема неустойчива;3) если нет корней с положительной вещественной частью, но есть хотя бы один корень снулевой вещественной частью, то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзясказать без дополнительного исследования.Таким образом, для исследования устойчивости положения равновесия нелинейной системынужно линеаризовать модель в окрестности этой точки и найти корни характеристического полинома.11Если есть несколько нулевых корней (или несколько одинаковых пар мнимых корней) система может быть какнейтрально устойчива, так и неустойчива.56© К.Ю.
Поляков, 20086.5. Критерии устойчивостиИтак, для исследования устойчивости линейной системы достаточно найти корни ее характеристического полинома. Если все корни имеют отрицательные вещественные части (находятся в левой полуплоскости, слева от мнимой оси), такой полином называется устойчивым,потому что соответствующая линейная система устойчива. Полиномы, имеющие хотя бы одинкорень с положительной вещественной частью (в правой полуплоскости) называются неустойчивыми.На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней. Конечно, сейчас легко найти корни характеристического полинома с помощью компьютерных программ, однако такой подход дает намтолько количественные (а не качественные) результаты и не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости.6.5.1.
Критерий ГурвицаСуществует несколько алгоритмов, позволяющих проверить устойчивость полинома∆( s ) = a0 s n + a1s n−1 + ... + an−1s + an ,не вычисляя его корни. Прежде всего, для устойчивости все коэффициенты ai (i = 0,..., n) должны быть одного знака, обычно считают, что они положительные.
Это необходимое условие устойчивости полинома. Однако при n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет комплексно-сопряженные корни. Поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия(критерии) устойчивости полиномов.Один из самых известных критериев – критерий Гурвица – использует матрицу H n размером n × n , составленную из коэффициентов полинома ∆(s ) следующим образом:• первая строка содержит коэффициенты a1 , a3 , a5 ,...
(все с нечетными номерами), оставшиеся элементы заполняются нулями;• вторая строка содержит коэффициенты a0 , a2 , a4 ,... (все с четными номерами);• третья и четвертая строка получаются сдвигом первой и второй строк на 1 позицию вправо, и т.д.Например, для полинома пятого порядка ( n = 5 ) эта матрица имеет вид⎡ a1 a3 a5 0 0 ⎤⎢a a a0 0 ⎥⎥24⎢ 0H 5 = ⎢ 0 a1 a3 a5 0 ⎥ ( a0 > 0 )⎢⎥⎢ 0 a0 a2 a4 0 ⎥⎢⎣ 0 0 a1 a3 a5 ⎥⎦Критерий Гурвица. Все корни полинома ∆( s) имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда все n главных миноров матрицы H n (определителей Гурвица) положительны.Вспомним, что для устойчивости полинома необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительными.
Поэтому достаточно проверить только n − 1 первых определителей Гурвица. Например, для n = 5 речь идет об определителяхa1 a3 a5 0a1 a3 a5a a2 a4 0a a3D1 = a1 > 0 , D2 = 1> 0 , D3 = a0 a2 a4 > 0 , D4 = 0> 0.a0 a20 a1 a3 a50 a1 a30 a0 a2 a457© К.Ю. Поляков, 2008Раскрывая определитель матрицы H 5 по последнему столбцу, получаем D5 = det H 5 = a5 D4 .
Таккак a5 > 0 , из условия D4 > 0 сразу следует D5 > 0 .Таким образом, условия устойчивости сводятся к нескольким неравенствам. Это оченьудобно для систем низкого порядка. Например, для n = 2 необходимое и достаточное условиеустойчивости – положительность всех коэффициентов полинома. Для n = 3 характеристический полином имеет вид ∆( s ) = a0 s 3 + a1s 2 + a2 s + a3 , поэтому условия Гурвица определяютсяматрицей⎡ a1 a3 0 ⎤H 3 = ⎢⎢a0 a2 0 ⎥⎥ ( a0 > 0 ).⎢⎣ 0 a1 a3 ⎥⎦Полином устойчив, если все коэффициенты положительны иa a3(49)D2 = 1= a1a2 − a0 a3 > 0 .a0 a2Рассмотрим систему, в которой объект и регулятор задаются передаточными функциями:1KP( s) =, C ( s) = .(T1s + 1)(T2 s + 1)sрегуляторx +–eC(s)объектuP(s)yС помощью критерия Гурвица можно определить, при каких значениях K замкнутая система (сотрицательной обратной связью) устойчива.
Передаточная функция замкнутой системы равнаC ( s) P( s)KW (s) ==,1 + C ( s) P( s) ∆( s)где характеристический полином имеет вид∆( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1) s + K = T1T2 s 3 + (T1 + T2 ) s 2 + s + K .Необходимое условие устойчивости дает K > 0 . Применяя критерий Гурвица для системытретьего порядка (49), получаем1 1T1 + T2 > KT1T2 ⇒ K < + .T1 T21 1Таким образом, система устойчива при 0 < K < + .T1 T2Теперь предположим, что модель системы задана в пространстве состояний:x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u (t )y (t ) = C ⋅ x(t ) + D ⋅ u (t )Как проверить ее устойчивость? Используя результаты раздела 3.7, построим передаточнуюфункциюW ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D .Характеристический полином этой системы (знаменатель W (s ) ), определяется формулой∆( s ) = det( sI − A) ,где det обозначает определитель квадратной матрицы.
Чтобы определить, устойчива ли система, нужно применить к этому полиному критерий Гурвица.58© К.Ю. Поляков, 20086.5.2. Критерий НайквистаКритерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы, построивчастотную характеристику разомкнутой системы. Пусть L(s ) – передаточная функция разомкнутой системы, а L( jω ) – ее частотная характеристика.x +e–L(s)yДля простоты сначала будем считать, что разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев, то есть L(0) = K ≠ ∞ , где K – некоторое число.Для каждой частоты ω значение L( jω ) – это комплексное число, которое можно изобразить точкой на комплексной плоскости. При изменении частоты от 0 до ∞ из этих точек складывается годограф Найквиста – некоторая кривая, которая начинается в точке (K ; 0) на вещественной оси и заканчивается в начале координат (если L(s ) – строго правильная функция, тоесть степень ее числителя меньше степени знаменателя).
Можно доказать, что система устойчива тогда и только тогда, когда годограф L( jω ) не охватывает точку (−1; 0) . На рисунке слевагодограф не охватывает эту точку (и замкнутая система устойчива), а на рисунке справа – охватывает (система неустойчива).ImIm−1KRe−1KReВыражение «система находится на границе устойчивости» означает, что частотная характеристика проходит через точку (−1; 0) . В этом случае для некоторой частоты ω мы имеемA(ω ) = 1 и φ (ω ) = −180° .
Это говорит о том, что после прохождения контура величина сигналаменяет знак, сохраняя абсолютную величину (энергию), то есть устанавливаются незатухающиеколебания.ImA(ω ) = 1φ (ω ) = −180°KRe−1Частота ωc , для которой A(ωc ) = 1 , называется частотой среза. Для устойчивой системызначение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180° ; в этом случае годограф неохватит точку (−1; 0) .59© К.Ю. Поляков, 2008Im−1ReKωcЕсли передаточная функция L(s ) имеет полюса в точке s = 0 (то есть обращается в бесконечность в этой точке), ситуация усложняется. Теперь годограф начинается не на вещественной оси, а приходит из бесконечности.
Тогда в контур необходимо включить не только полученную кривую, но и часть окружности бесконечного радиуса от вещественной оси до годографа в порядке обхода по часовой стрелке. Если функция L(s ) имеет k полюсов в точке s = 0 ,нужно добавить k секторов по 90° . На рисунках показаны годографы Найквиста устойчивыхсистем, в которых функция L( s) имеет соответственно 1 и 2 полюса в точке s = 0 . Эти годографы не охватывают точку (−1; 0) .ImIm−1−1ReReЕсли в системе есть запаздывание на время τ , на любой частоте появляется дополнительный сдвиг фазы на − τω (без изменения амплитуды). Это значит, что каждая точка годографаповорачивается на некоторый угол против часовой стрелки.Im−1K ReНа рисунке синяя линия – частотная характеристика системы без запаздывания, а красная – аналогичная характеристика для системы с запаздыванием.
Видно, что запаздывание привело к неустойчивости системы (годограф охватил критическую точку (−1; 0) ). Таким образом,система может потерять устойчивость из-за «медленного» датчика. Можно говорить о том, чтозапаздывание всегда ухудшает устойчивость системы, и этот факт важно учитывать при проектировании.Если L(s ) имеет полюса с положительной вещественной частью (разомкнутая системанеустойчива), нужно считать, сколько раз годограф пересекает ось абсцисс левее точки (−1; 0) .Причем переходы «сверху вниз» считаются положительными, а переходы «снизу вверх» - отрицательными.60© К.Ю. Поляков, 2008Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных и отрицательных переходов была равна l / 2 , где l – числонеустойчивых полюсов функции L(s ) .
Начальная точка на оси абсцисс левее точки (−1; 0) считается за половину перехода. На рисунке показаны годографы устойчивых систем для случаяl = 1.ImIm11−+2+12ReRe−1−1KKЧастотная характеристика начинается на вещественной оси левее точки (−1; 0) . На рисунке слева годограф сначала идет вниз (половина положительного перехода) и больше нигде непересекает ось абсцисс левее точки (−1; 0) , поэтому разница переходов равна 1 / 2 = l / 2 и замкнутая система устойчива.На правом рисунке частотная характеристика сначала идет вверх (считаем это за половинуотрицательного перехода), а затем переходит в нижнюю полуплоскость (положительный переход). Разница снова равна 1 / 2 = l / 2 и система устойчива.6.5.3.
Критерий Найквиста для ЛАФЧХКритерий Найквиста часто используется для логарифмических частотных характеристик.Сначала предположим, что передаточная функция разомкнутой системы не имеет неустойчивых полюсов. Как мы уже знаем, для анализа устойчивости наиболее важно поведение частотной характеристики в районе частоты среза ωc , где A(ωc ) = 1 и Lm (ωc ) = 20 lg A(ωc ) = 0 . Дляустойчивой системы значение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180° . На графике представлены три фазовых характеристики устойчивых систем.
Кривая 1 соответствуетслучаю, когда в разомкнутой системе нет интеграторов (и фазовая характеристика начинается снуля), кривая 2 – системе с одним интегратором, а кривая 3 – c двумя.Lmωc0ω1φ0− 90°ω2−180°3Если разомкнутая система имеет неустойчивые звенья, нужно считать переходы фазовойхарактеристики через линию φ (ω ) = −180° левее частоты среза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
