К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Робастность6.9.1. Что такое робастность?Обычно регулятор строится на основе некоторых приближенных (номинальных) моделейобъекта управления (а также приводов и датчиков) и внешних возмущений. При этом поведение реального объекта и характеристики возмущений могут быть несколько иными. Поэтомутребуется, чтобы разработанный регулятор обеспечивал устойчивость и приемлемое качествосистемы при малых отклонениях свойств объекта и внешних возмущений от номинальных моделей. В современной теории управления это свойство называют робастностью (грубостью).Иначе его можно назвать нечувствительностью к малым ошибкам моделирования объекта ивозмущений.Различают несколько задач, связанных с робастностью:• робастная устойчивость – обеспечить устойчивость системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;• робастное качество – обеспечить устойчивость и заданные показатели качества системы при всех допустимых отклонениях модели объекта от номинальной;• гарантирующее управление – обеспечить заданные показатели качества системы привсех допустимых отклонениях модели возмущения от номинальной (считая, что модельобъекта известна точно).Для того, чтобы исследовать робастность системы, нужно как-то определить возможнуюошибку моделирования (неопределенность).
Ее можно задать различными способами.6.9.2. Параметрическая неопределенностьПараметрическая неопределенность означает, что структура модели известна, а параметрымогут отличаться от номинальных, например:k0 + ε1P( s) =,(T0 + ε 2 ) s + 1где k0 и T0 – номинальные значения коэффициента усиления и постоянной времени, а ε 1 и ε 2 –малые ошибки моделирования.Предположим, что такой объект управляется регулятором-усилителем с передаточнойфункцией C ( s) = K . Тогда характеристический полином замкнутой системы принимает вид∆( s ) = (T0 + ε 2 ) s + 1 + K (k0 + ε1 ) .Робастный регулятор должен обеспечивать устойчивость этого полинома при всех допустимыхε 1 и ε 2 .
В данном случае условия устойчивости сводятся к тому, что коэффициенты полинома,T0 + ε 2 и 1 + K (k0 + ε1 ) , имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).Будем считать, что k0 > 0 и T0 > 0 , а отклонения ε 1 и ε 2 малы в сравнении с k0 и T0 соответст-66© К.Ю. Поляков, 2008венно. Таким образом, T0 + ε 2 > 0 при всех возможных ε 2 . Следовательно, замкнутая системаустойчива при−11 + K (k0 + ε 1 ) > 0 ⇒ K >.k0 + ε 1Наибольшее значение в правой части последнего неравенства будет при максимальном значении ε 1 , поэтому условие робастной устойчивости принимает вид−1.K > K min =k0 + ε1 maxТаким образом, любой регулятор-усилитель, имеющий коэффициент усиления K > K min , обеспечивает робастную устойчивость системы в том смысле, что устойчивость сохраняется привсех допустимых ошибках ε 1 и ε 2 .В более сложных случаях часто используют теорему Харитонова, которая позволяет проверить робастную устойчивость характеристического полинома∆( s ) = a0 + a1s + K + an s n−1 + an s n ,где коэффициенты a0 , a1 ,K, an точно неизвестны, но принадлежат интерваламl i < ai < ui (i = 1,K, n) .Оказывается, полином ∆(s ) устойчив при всех возможных значениях коэффициентов тогда итолько тогда, когда устойчивы четыре полинома Харитонова:∆1 ( s ) = l 0 + l 1s + u2 s 2 + u3 s 3 + l 4 s 4 + l 5 s 5 + K∆ 2 ( s ) = u0 + u1s + l 2 s 2 + l 3 s 3 + u4 s 4 + u5 s 5 + K∆ 3 ( s ) = l 0 + u1s + u2 s 2 + l 3 s 3 + l 4 s 4 + u5 s 5 + K∆ 4 ( s ) = u0 + l 1s + l 2 s 2 + u3 s 3 + u4 s 4 + l 5 s 5 + KТаким образом, для проверки устойчивости бесконечного числа возможных характеристическихполиномов достаточно проверить устойчивость четырех полиномов Харитонова.6.9.3.
Непараметрическая неопределенностьНепараметрическая неопределенность задает допустимую ошибку в частотной области, тоесть ошибку в частотных характеристиках. Для номинальной модели P0 ( jω ) различают аддитивную неопределенность (абсолютную ошибку) ∆ a ( jω ) :P ( jω ) = P0 ( jω ) + ∆ a ( jω )и мультипликативную неопределенность (относительную ошибку) ∆ m ( jω ) :P ( jω ) = [1 + ∆ m ( jω )] P0 ( jω ) .Для мультипликативной неопределенности известен очень простой критерий робастнойустойчивости: система с регулятором C (s ) и номинальный объектом P0 ( s ) робастно устойчива, если для любой частоты ω выполняется неравенствоW0 ( jω ) ∆ m ( jω ) < 1 ,(50)где W0 ( s ) – передаточная функция номинальной замкнутой системы:C ( s ) P0 ( s )W0 ( s ) =.1 + C ( s ) P0 ( s )Этот результат называется теоремой о малом коэффициенте усиления.
При этом также требуется, чтобы реальная и номинальная модели объекта, P( s) и P0 ( s ) , имели одинаковые неустойчивые полюса, то есть неопределенность не должна вносить новые источники неустойчивости.67© К.Ю. Поляков, 2008Условие (50) – это достаточное условие робастной устойчивости, то есть, его выполнение гарантирует устойчивость, но для некоторых робастно устойчивых систем оно может невыполняться.Обычно модель строится так, чтобы хорошо описывать свойства реального объекта нанизких частотах, а для высоких частот ошибка моделирования ∆ m ( jω ) может быть значительной.
Тогда, учитывая (50), можно сделать вывод, что с точки зрения робастной устойчивостизначение W0 ( jω ) должно быть мало на высоких частотах, где велика неопределенность модели.68© К.Ю. Поляков, 20087. Синтез регуляторов7.1. Классическая схемаЧаще всего регулятор включается перед объектом, как показано на схеме:x +–eC(s)gприводрегуляторuR (s)δобъектP(s)yЗадача системы управления состоит в том, чтобы подавить действие внешнего возмущения g и обеспечить быстрые и качественные переходные процессы. К сожалению, эти задачичасто противоречивы.
Фактически нам нужно скорректировать систему так, чтобы она имеланужные передаточные функции по возмущению ( Wg (s ) , от входа g к выходу y ) и по задающему воздействию ( W (s ) , от входа x к выходу y )P( s)C ( s) R( s) P( s)Wg ( s ) =, W ( s) =.1 + C ( s) R( s) P( s)1 + C ( s) R( s) P( s)Для этого мы можем использовать только один регулятор C (s ) , поэтому такую систему называют системой с одной степенью свободы.Легко проверить, что эти две передаточные функции связаны равенствомWg ( s ) = [1 − W ( s )] P( s ) .Поэтому, изменяя одну из передаточных функций, мы автоматически меняем и вторую.
Такимобразом, их невозможно сформировать независимо и решение всегда будет некоторым компромиссом.Посмотрим, можно ли в такой системе обеспечить нулевую ошибку, то есть, абсолютноточное отслеживание входного сигнала. Передаточная функция по ошибке (от входа x(t ) кошибке e(t ) ) равна1We ( s ) =.1 + C ( s) R( s) P( s)Для того, чтобы ошибка всегда была нулевой, требуется, чтобы эта передаточная функция быларавна нулю. Поскольку ее числитель – не нуль, сразу получаем, что знаменатель должен обращаться в бесконечность.
Мы может влиять только на регулятор C (s ) (остальные элементы заданы заранее), поэтому получаем C (s ) → ∞ . Таким образом, для уменьшения ошибки нужноувеличивать коэффициент усиления регулятора. Это так называемый принцип глубокой обратной связи.Однако нельзя увеличивать усиление до бесконечности. Во-первых, все реальные устройства имеют предельно допустимые значения входных и выходных сигналов.
Во-вторых, прибольшом усилении контура ухудшается качество переходных процессов, усиливается влияниевозмущений и шумов, система может потерять устойчивость. Поэтому в схеме с одной степенью свободы обеспечить нулевую ошибку слежения невозможно.Посмотрим на задачу с точки зрения частотных характеристик. С одной стороны, для качественного отслеживания задающего сигнала x(t ) желательно, чтобы частотная характеристика W ( jω ) была примерно равна 1 (в этом случае y (t ) ≈ x(t ) ). С другой стороны, с точки зренияробастной устойчивости нужно обеспечить W ( jω ) ≈ 0 на высоких частотах, где ошибка моделирования велика. Кроме того, передаточная функция по возмущению должна быть такой, чтобы эти возмущения подавлять, в идеале мы должны обеспечить Wg ( jω ) ≈ 0 .69© К.Ю.
Поляков, 2008Выбирая компромиссное решение, обычно поступают следующим образом:1) на низких частотах добиваются выполнения условия W ( jω ) ≈ 1 , что обеспечивает хорошееслежение за низкочастотными сигналами; при этом Wg ( jω ) ≈ 0 , то есть, низкочастотныевозмущения подавляются;2) на высоких частотах стремятся сделать W ( jω ) ≈ 0 , чтобы обеспечить робастную устойчивость и подавление шума измерений; при этом Wg ( jω ) ≈ P( jω ) , то есть система фактически работает как разомкнутая, регулятор не реагирует на высокочастотные помехи.7.2.
ПИД-регуляторыНесмотря на развитые современные методы проектирования сложных регуляторов, подавляющее большинство промышленных систем управления основаны на регуляторах первогои второго порядка. Эти регуляторы во многих случаях могут обеспечить приемлемое управление, легко настраиваются и дешевы при массовом изготовлении.Простейший регулятор – пропорциональный или П-регулятор – это простой усилитель спередаточной функцией C ( s ) = K . Его выход – это ошибка управления e(t ) , умноженная на коэффициент K .
С помощью П-регулятора можно управлять любым устойчивым объектом, однако он дает относительно медленные переходные процессы и ненулевую статическую ошибку.Чтобы убрать статическую ошибку в установившемся режиме, в регулятор вводят интегральный канал с коэффициентом усиления K I , так чтоtKI,u (t ) = Ke(t ) + K I ∫ e(t ) dt .s0Такой регулятор называется пропорционально-интегральным или ПИ-регулятором. Интегратор выдает сигнал, пропорциональный накопленной ошибке, поэтому переходный процесс несколько замедляется. Однако за счет интегрального канала обеспечивается нулевая ошибка вустановившемся состоянии при ступенчатом возмущении и ступенчатом изменении задающегосигнала-уставки.Для ускорения переходных процессов добавляют дифференциальный канал с коэффициентом усиления K D :C ( s) = K +tKde(t )C ( s) = K + I + K D s ,.u (t ) = Ke(t ) + K I ∫ e(t ) dt + K Dsdt0ПИД-регулятором(пропорционально-интегральноТакойрегуляторназываетсядифференциальный).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
