К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Здесь положительным считается переход снизу вверх, а отрицательным – сверху вниз. Если фазовая характеристика начинается на линии φ (ω ) = −180° (на нулевой частоте), это считается за половину перехода. Для устойчивой системы разность между числом положительных и отрицательных переходов должнабыть равна l / 2 , где l – число неустойчивых полюсов передаточной функции L(s ) .61© К.Ю. Поляков, 20086.6. Переходный процессХорошо спроектированная система должна не только быть устойчивой и поддерживатьзаданную точность в установившемся режиме, но и плавно переходить на новый режим приизменении заданного значения выхода (уставки). Качество переходных процессов обычно оценивается по переходной характеристике (реакции системы на единичный ступенчатый входнойсигнал).yyymax2∆2∆y∞y∞00tпtпttВ первую очередь нас интересует, насколько быстро заканчивается переход на другой режим (время переходного процесса tп ).
Оно определяется как время, через которое регулируемая величина «входит в коридор» шириной 2∆ вокруг установившегося значения y∞ . Это значит, что при t > tп значение выхода отличается от установившегося не более, чем на ∆ . Обычновеличина ∆ задается в процентах от установившегося значения, чаще всего 2% или 5%. Заметим, что для апериодического звена с постоянной времени T время переходного процесса равно tп = 3T (с точностью 5%).Другая важная характеристика – перерегулирование σ – показывает, на сколько процентов максимальное значение выхода ymax превышает установившееся значение12 y∞ :y −yσ = max ∞ ⋅100% .y∞Иногда удается обеспечить нулевое перерегулирование (апериодический переходный процесс,как у апериодического звена). Нужно помнить, что увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирования.Вы уже знаете, что устойчивость линейной системы определяется полюсами ее передаточной функции W ( s) , однако на переходные процесс влияют и нули, причем в некоторых случаях очень существенно.
Для примера рассмотрим передаточную функциюas + 1 a( s + 1 / a)W ( s) ==,( s + 1) 2( s + 1) 2где a может принимать как положительные, так и ya=5отрицательные значения. Такая передаточнаяфункция имеет нуль в точке s = −1 / a . Нули, наa=2ходящиеся в левой полуплоскости (при a > 0 )часто называют устойчивыми (по аналогии с полюсами), а нули в правой полуплоскости (приa < 0 ) – неустойчивыми. Очевидно, что при a = 0a=0мы получаем апериодическое звено второго по- 0tрядка.
Теперь построим переходные характеристики этого звена при разных значениях a . Замеa = −2тим, что при любом a установившееся значениеa = −5выхода равно W (0) = 1 .12Понятие «перерегулирование» обычно вводится для случая, когда установившееся значение выхода больше нуля, хотя, в принципе, оно может быть и отрицательным – тогда перерегулирование показывает, насколько «ниже»установившегося значения ушла переходная функция в точке минимума.62© К.Ю.
Поляков, 2008По графикам видно, что при нулевом значении a переходный процесс – апериодический.При a > 0 (устойчивый нуль) наблюдается перерегулирование, причем оно тем больше, чембольше модуль a. При отрицательных значениях a в переходном процессе есть недорегулирование. Это значит, что в первый момент времени регулируемая переменная начинает изменяться всторону, противоположную заданному значению.6.7.
Частотные оценки качестваКачество системы можно оценивать не только во временнóй области (переходный процесс во времени), но и в частотной (по частотной характеристике). Из частотных оценок наиболее важны запасы устойчивости. Дело в том, что поведение реального объекта всегда несколько отличается от принятой модели, более того, динамика может меняться во времени, например, когда корабль расходует топливо в ходе рейса.
Поэтому недостаточно спроектироватьпросто устойчивую систему, нужно, чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными, то есть, обладала запасами устойчивости.Обычно арссматривают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде g m – это дополнительное усиление контура, которое необходимо, чтобы вывести систему на границу области устойчивости. Эта величина измеряется в децибелах.ImAg−1K ReφmωcЗапас по амплитуде вычисляется по формуле g m = 20 lg1, где Ag < 1 – значение амплитуднойAgхарактеристики на частоте ω g , где фазовая характеристика равна −180° . В практических задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.Запас устойчивости по фазе φm – это дополнительный сдвиг фазы («поворот» частотнойхарактеристики против часовой стрелки), который необходим для того, чтобы вывести системуна границу устойчивости. Он определяется на частоте среза ωc , где A(ωc ) = 1 .
Запас по фазедолжен быть не менее 30° .ImЕсли в системе есть запаздывание на время τ , каждаяReточка годографа частотной характеристики дополнительно−1Kповорачивается против часовой стрелки на угол, равный τωдля частоты ω . Поэтому запасы устойчивости (как по амплитуде, так и по фазе) уменьшаются. На рисунке синяя линия соответствует системе без запаздывания, а красная – тойже системе с запаздыванием. Видно, что во втором случаезапасы устойчивости существенно меньше.63© К.Ю. Поляков, 2008Запасы устойчивости легко определяются по логарифмических частотным характеристикам:Lmωc0ωggmωφ0ω− 90°φm−180°Заметим, что запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию −180° .К сожалению, в некоторых случаях классические запасы устойчивости (по амплитуде ифазе) дают не совсем верное представление о том, насколько система действительно близка кгранице устойчивости.
Поэтому в качестве единой характеристики иногда используют кратчайшее расстояние γ от годографа до точки (−1; 0) .Im−1K ReγЕще одна аналогичная характеристика называется показателем колебательности M. Онаопределяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы как отношение еемаксимума к значению на нулевой частоте:A(ω )AmaxA0M =AmaxA0ωДля каждого значения M можно нарисовать «запретную области», в которую не должназаходить частотная характеристика разомкнутой системы, если ее показатель колебательностиMдолжен быть меньше М. Эта область имеет форму круга радиуса R = 2, центр которогоM −1⎛⎞M2находится в точке ⎜⎜ − 2 ; 0 ⎟⎟ . На рисунке показаны границы запретных областей для раз⎝ M −1 ⎠личных значений M.64© К.Ю.
Поляков, 2008M = 1,0M = 1,1ImM = 1,5−1K ReM =3При M = 1 окружность имеет бесконечный радиус (превращается в вертикальную линию) ипроходит через точку (−0,5; 0) . При увеличении M радиус окружности уменьшается.6.8. Корневые оценки качестваМногие свойства системы можно предсказать, посмотрев на расположение корней характеристического полинома ∆(s ) на комплексной плоскости. Прежде всего, все корни ∆(s ) дляустойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от мнимой оси.Быстродействие системы определяется степенью устойчивости η – так называется расстояниемнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней).На рисунке точками отмечены положения корней характеристического полинома.
Онимеет два вещественных корня (обозначенных номерами 1 и 4) и пару комплексно сопряженных корней (2 и 3). Степенно устойчивости определяется вещественным корнем 1, потому чтоон находится ближе всех к мнимой оси.Im24Re13ηЭтот корень называется доминирующим, он определяет самые медленные движения в системе и3время переходного процесса, которое может быть примерно рассчитано по формуле tп = .ηКорни 2, 3 и 4 соответствуют более быстрым движениям.Обратите внимание, что степень устойчивости, несмотря на название, ничего не говорит облизости системы к границе устойчивости, она только характеризует быстродействие.Параметр, определяющий скорость затухания колебаний в системе, называется колебательностью.
Колебательность µ для пары комплексно-сопряженных корней α ± jβ вычисляется как отношение мнимой и вещественной частей корня (по модулю):µ=β.αЧем больше эта величина, тем слабее затухают колебания, вызванные этими корнями, за 1 период колебаний.Линии постоянной колебательности – это лучи, выходящие из начала координат. При проектировании систем обычно требуется обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень65© К.Ю. Поляков, 2008устойчивости не меньше заданной η min ) и колебательность не выше заданной µ max . Эти условияопределяют усеченный сектор на комплексной плоскости.Imµ max = tg ααReη min6.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
