К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Заметим, чтовыполнение условия сходимости (46) не гарантирует устойчивость по Ляпунову. Существуютпримеры достаточно сложных нелинейных систем, в которых даже при очень малых отклонениях от положения равновесия сначала наблюдается большой «выброс», а затем траекториясходится к точке равновесия.Очевидно, что асимптотическая устойчивость – более сильное требование. Положенияравновесия, которые устойчивы по Ляпунову, но не асимптотически устойчивы, иногда называются нейтрально устойчивыми (маятник без трения, ванна с водой).Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивостиЛяпунова. Это значит, что существует такое ε > 0 , что траектория x(t ) выходит за границы области x(t ) − x* < ε при сколь угодно малом отклонении начального состояния x0 от положения равновесия x* . Например, система переходит в другое положение равновесия, или x(t ) неограниченно возрастает.На следующем рисунке показаны движения устойчивой, асимптотически устойчивой инеустойчивой систем первого порядка (с одной координатой x(t ) ).xδустойчиваасимптотическиустойчиванеустойчиваεxeδεtЕсли вектор состояния содержит несколько переменных, для оценки разности векторовx0 − x* и x(t ) − x* вместо модуля используют евклидову норму (корень из суммы квадратов отклонений по каждой координате).
Например, для системы второго порядкаx(t ) − xe = ( x1 (t ) − x1* ) 2 + ( x1 (t ) − x2* ) 2 ,где x1* и x2* – компоненты вектора x* .Траекторию движения систем второго порядка обычно изображают на фазовой плоскости, где по одной оси откладывается x1 (t ) , а по другой – x2 (t ) . На следующем рисунке показаны движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем. Для простотыпредполагается, что положение равновесия – это начало координат, где x1 = x2 = 0 .9А.М. Ляпунов (1857-1918) – русский математик и механик.53© К.Ю.
Поляков, 2008а)εб)x1x2δустойчиваεв)x1x2δасимптотическиустойчиваεx1x2δнеустойчива6.4.6. Устойчивость линейных системЛинейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощаютанализ устойчивости:• автономная линейная система (на которую не действуют внешние силы) может иметьединственное положение равновесия (в котором все сигналы равны нулю) или бесконечно много положений равновесия (шарик на плоской поверхности);• устойчивость – это свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия:или все ее движения устойчивы (асимптотически устойчивы), или все неустойчивы;• асимптотическая устойчивость линейной системы «в малом» сразу означает ее устойчивость «в целом», то есть, при любых отклонениях от положения равновесия;• асимптотически устойчивая система также обладает устойчивостью «вход-выход», апросто устойчивая (нейтрально устойчивая, не асимптотически устойчивая) – нет.Для того, чтобы получить условия устойчивости, рассмотрим уравнение движения линейной системы, на которую не действуют возмущения.
Пусть W ( s) – ее передаточная функция.Будем считать, что она имеет только простые (не кратные) полюса α i (i = 1,..., N ) (корни знаменателя):n (s)nW ( s)W (s) = W=,∆( s ) ( s − α1 )( s − α 2 )...( s − α N )где nw (s) и ∆( s) – полиномы. Из теории линейных дифференциальных уравнений известно,что при отсутствии возмущений выход такой системы можно представить в виде:(47)y (t ) = a1eα1t + a2 eα 2t + ... + a N eα N t ,где ai (i = 1,..., N ) – постоянные, которые определяются начальными условиями.
Таким образом,процесс y (t ) затухает при любых начальных условиях тогда и только тогда, когда все корниα i (i = 1,..., N ) имеют отрицательные вещественные части. В этом случае система асимптотически устойчива.ImПоскольку устойчивость линейной системы опредеобластьобластьнеустойчивостиляют корни полинома ∆( s) – знаменателя передаточной устойчивостифункции W ( s) , этот полином называется характеристическим полиномом системы.ReЕсли показать корни характеристического полинома10(в общем случае – комплексные числа ) на комплекснойплоскости, то слева от мнимой оси будут устойчивыекорни (с отрицательной вещественной частью), а справа –неустойчивые.
Таким образом, область устойчивости –10∆(s) – вещественные, комплексные корни всегда будут парными, то есть,вместе с корнем α + jβ всегда будет присутствовать α − jβ . На комплексной плоскости эти точки располоТак как все коэффициенты полиномажены симметрично относительно оси абсцисс. Здесь и далееj = − 1 – мнимая единица.54© К.Ю. Поляков, 2008это левая полуплоскость.Предположим, что один из корней полинома ∆(s) равен нулю (скажем, α1 = 0 ), а остальные устойчивы, то есть, их вещественные части отрицательные. Это значит, что система содержит интегрирующее звено. Учитывая, что eα1t = e0 = 1 при всех t , получаемy (t ) = a1 + a2eα 2t + ...
+ a N eα N t .Здесь все слагаемые в правой части, кроме первого, затухают с течением времени, а постояннаясоставляющая a1 остается. С другой стороны, выход не возрастает неограниченно, поэтому система нейтрально устойчива.Теперь допустим, что характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней:α1 = jω и α 2 = − jω . Это значит, что система содержит консервативные звено – генератор колебаний. При этом процесс (47) на выходе системы содержит слагаемые a1e jωt и a2e − jωt , которые могут быть (с помощью формулы Эйлера) представлены в видеa1e jωt = a1 (cos ωt + j sin ωt ) , a2e − jωt = a2 (cos ωt − j sin ωt ) .Эти составляющие дают незатухающие колебания (по крайней мере, для некоторых начальныхусловий), поэтому система находится на границе устойчивости (нейтрально устойчива).
Заметим, что постоянные a1 и a2 – комплексно-сопряженные, то есть, если a1 = b + jc , тоa2 = b − jc . При этом суммаa1e jωt + a2e − jωt = 2b cos ωt − 2c sin ωtне содержит мнимой части.6.4.7. Внутренняя устойчивость линейных системВ предыдущем параграфе мы фактически рассмотрели техническую устойчивость, тоесть, устойчивость по выходу при ненулевых начальных условиях.Теперь посмотрим, как определить внутреннюю устойчивость линейной системы, тоесть, устойчивость внутренних процессов. Поскольку выход системы нас пока не интересует,используем модель «вход-состояние»:x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) ,где x(t ) – вектор состояния, u (t ) – входной сигнал, A и B – постоянные матрицы.
Если входравен нулю (нет возмущений), уравнение упрощается(48)x& (t ) = Ax(t ) .Таким образом, свободное движение определяется только свойствами матрицы A .0⎤⎡αСначала для простоты будем считать, что матрица A имеет вид A = ⎢ 1⎥ . Тогда⎣ 0 α2 ⎦уравнение (48) распадается на два независимых уравнения (две подсистемы):x&1 (t ) = α1 x(t )x&2 (t ) = α 2 x(t )Здесь устойчивость определяется значениями α1 и α 2 .
Если они оба отрицательны, то системаасимптотически устойчива. Если одно из них – нуль, а второе отрицательно (или оба нулевых),то система нейтрально устойчива.В общем случае внутренняя устойчивость зависит от собственных чисел матрицы A , тоесть, от корней характеристического уравнения det(λI − A) = 0 , где I – единичная матрица, а« det » обозначает определитель квадратной матрицы. Полином det(λI − A) от переменной λназывают характеристическим полиномом.
Например, для рассмотренной выше диагональнойматрицы A⎛ ⎡1 0⎤ ⎡α1 0 ⎤ ⎞0 ⎤⎡λ − α 1⎟ = det ⎢−⎢det(λI − A) = det⎜⎜ λ ⎢= (λ − α1 )(λ − α 2 )⎥⎥⎟λ − α 2 ⎥⎦⎣ 0⎝ ⎣0 1 ⎦ ⎣ 0 α 2 ⎦ ⎠55© К.Ю. Поляков, 2008Очевидно, что корни этого полинома – это α1 и α 2 .Если все корни характеристического полинома устойчивы (имеют отрицательные вещественные части, расположены в левой полуплоскости), то система асимптотически устойчива.Если есть неустойчивые корни (с положительной вещественной частью), то система неустойчива. Если характеристический полином имеет один нулевой корень или пару комплексносопряженных корней на мнимой оси, система нейтрально устойчива11.Внутренняя устойчивость – более сильное требование, чем техническая устойчивость, потому что определяет ограниченность не только выхода, но и всех внутренних переменных прилюбых начальных условиях.
Рассмотрим, например, такую модель в пространстве состояний⎡1 0 ⎤⎡1 ⎤x(t ) = ⎢x(t ) + ⎢ ⎥ u (t )⎥⎣0 − 1⎦⎣0 ⎦y (t ) = [0 1] x(t )⎡1 0 ⎤Здесь матрица A = ⎢⎥ имеет собственные числа 1 и − 1 , причем первое из них – неустой⎣0 − 1⎦чиво, поэтому система внутренне неустойчива.Теперь найдем передаточную функцию (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
