К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Регуляторы этого типа очень хорошо зарекомендовали себя в практических задачах. Кроме того, иногда используются ПД-регуляторы (пропорциональнодифференциальные), у которых нет интегрального канала.Управление по производной – это быстрый способ управления. Сигнал дифференциального канала наиболее важен при изменениях входов и исчезает в установившемся режиме. Он позволяет реагировать не на само увеличение ошибки, а на тенденцию ее изменения, и принять«превентивные меры».
Главный недостаток дифференциального канала – большое влияние высокочастотных помех, например, шумов измерений. Для того, чтобы сделать регулятор физически реализуемым, вместо чистого дифференцирования используют инерционное дифференцирующее звено:KK sC ( s) = K + I + D ,s TD s + 1где TD – малая постоянная времени. Чем меньше TD , тем в большем частотном диапазоне выполняется точное дифференцирование, но сильнее влияют высокочастотные помехи.Для устойчивого объекта можно выбрать коэффициенты регулятора опытным путем, выполняя эксперименты с реальным объектом.
Предложено несколько методов решения этой задачи, например, правила Зиглера-Никольса или Коэна-Куна.70© К.Ю. Поляков, 2008Можно показать (сделайте это самостоятельно), что любой регулятор второго порядка синтегратором может быть представлен в форме ПИД-регулятора:a2 s 2 + a1s + a0KK sC ( s) =⇔ C (s) = K + I + D .s (b1s + b0 )s TD s + 17.3. Метод размещения полюсовОдин из простых методов синтеза регулятора – размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы, которые во многом определяют ее динамику, например, быстродействие и степень затухания колебаний (см.
разд. 6.8). Смысл в том, чтобы разместить эти полюса взаданных точках комплексной плоскости с помощью специально выбранного регулятора. Этазадача сводится к решению системы линейных уравнений.Пусть передаточная функция объекта задана в виде отношения полиномовn( s )n s + n0= 2 1P( s) =.d ( s ) s + d1s + n0Выберем регулятор видаn ( s ) a1s + a0=,C ( s) = Cd C ( s ) b1s + b0где a0 , a1 , b0 и b1 – неизвестные коэффициенты, которые нужно определить. Характеристический полином замкнутой системы равен∆( s ) = n( s ) nC ( s ) + d ( s ) d C ( s ) = (n1s + n0 )(a1s + a0 ) + ( s 2 + d1s + d 0 )(b1s + b0 ).= b1s 3 + (n1a1 + d1b1 + b0 ) s 2 + (n0 a1 + n1a0 + d 0b1 + d1b0 ) s + n0 a0 + d 0b0Предположим, что мы хотим выбрать регулятор так, чтобы разместить корни полинома ∆( s) взаданных точках, то есть добиться выполнения равенства∆ ( s ) = s 3 + δ 2 s 2 + δ1s + δ 0 ,где δ i (i = 0,...,2) – заданные числа.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s впоследних двух равенствах, получаемs 3 : b1 = 1s 2 : n1a1 + d1b1 + b0 = δ 2s1 : n0 a1 + n1a0 + d 0b1 + d1b0 = δ1s 0 : n0 a0 + d 0b0 = δ 0или в матричном виде⎡0⎢n⎢ 1⎢n0⎢⎣0010d1n1n0d000 ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎡ 1 ⎤1 ⎥⎥ ⎢⎢a0 ⎥⎥ ⎢⎢δ 2 ⎥⎥.⋅=d1 ⎥ ⎢ b1 ⎥ ⎢δ1 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥d 0 ⎦ ⎣b0 ⎦ ⎣δ 0 ⎦Решение уравнения имеет вид−1⎡ a1 ⎤ ⎡ 0 0 1 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤⎢a ⎥ ⎢ n 0 d1 ⎥⎥ ⎢⎢δ 2 ⎥⎥1⎢ 0⎥ = ⎢ 1⋅.⎢ b1 ⎥ ⎢n0 n1 d 0 d1 ⎥ ⎢δ1 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎣ b0 ⎦ ⎣ 0 n0 0 d 0 ⎦ ⎣δ 0 ⎦Конечно, квадратная матрица в этом выражении (она называется матрицей Сильвестра)должна быть обратима. Можно доказать, что она действительно обратима тогда и только тогда,когда полиномы n(s ) и d (s ) не имеют общих корней, то есть передаточная функция объекта71© К.Ю.
Поляков, 2008P( s) несократима. В противном случае общий корень этих полиномов неизбежно будет корнемхарактеристического полинома ∆( s) .Кроме того, для того, чтобы количество неизвестных коэффициентов было равно числууравнений, порядок регулятора нужно выбирать не меньше, чем N − 1 , где N – порядок моделиобъекта управления:N = max{deg n( s ), deg d ( s )} ,где deg обозначает степень полинома. Иначе полученное уравнение будет разрешимо толькопри специально выбранном полиноме ∆(s ) .Заметим, что при размещении полюсов мы никак не учитываем нули передаточной функции, которые также влияют на динамику системы.7.4. Коррекция ЛАФЧХНа протяжении многих лет самым популярным инженерным методом синтеза регуляторовбыл метод, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик(ЛАФЧХ).
Он основан на двух свойствах ЛАФЧХ:1) логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для последовательного соединения двух блоков (например, регулятора и объекта управления) равнысумме ЛАЧХ и ЛФЧХ этих блоков;2) если передаточная функция объекта не имеет неустойчивых нулей и полюсов (с положительной вещественной частью), то амплитудная частотная характеристика однозначноопределяет фазовую; отсюда следует что можно свести выбор регулятора к изменениютолько амплитудной характеристики нужным образом.Пусть G ( s) = P( s) R( s) – передаточная функция объекта вместе с приводом, причем будетпредполагать, что она не имеет неустойчивых нулей и полюсов (то есть, является минимальнофазовой). ЛАЧХ такого расширенного объекта обозначим как L0 (ω ) = 20 lg G ( jω ) . Если мысможем каким-то образом найти желаемую ЛАЧХ LЖ (ω ) , то разница между этими двумя характеристиками – это и есть ЛАЧХ необходимого последовательного регулятора:LC (ω ) = LЖ (ω ) − L0 (ω ) .(51)Таким образом, для решения задачи требуется ответить на два вопроса:1) как выбрать желаемую ЛАЧХ LЖ ( jω ) так, чтобы обеспечить устойчивость и требуемоекачество замкнутой системы?2) как получить передаточную функцию регулятора C ( s) по его ЛАЧХ (51)?Чтобы ответить на первый вопрос, вспомним типичные требования к системе управления:• устойчивость;• нулевая ошибка в установившемся режиме;• быстрый и плавный (в идеале – монотонный) переходный процесс;• подавление шумов;• робастность (нечувствительность к ошибкам модели).Эти требования нужно связать с формой ЛАЧХ.Постоянный сигнал можно рассматривать как предельный случай гармонического (синуса), только с нулевой частотой.
Поэтому для обеспечения нулевой установившейся ошибки цепочка «регулятор-объект» должна иметь бесконечное усиление на нулевой частоте, то есть передаточная функция G ( s ) C ( s ) должна содержать интегратор (вспомните принцип внутреннеймодели).Обычно хочется, чтобы переходный процесс был монотонным, без перерегулирования.Такой процесс дает апериодическое звено. Легко проверить, что передаточная функция апериодического звена (слева) равна передаточной функции интегратора, охваченного единичной обратной связью (справа):72© К.Ю.
Поляков, 20081Ts + 11TsТаким образом, для получения монотонного переходного процесса ЛАЧХ разомкнутой системыдолжна быть похожа на ЛАЧХ интегратора – это прямая линия с наклоном –20 дБ/дек, котораяпересекает ось абсцисс на частоте ωc = 1 / T . Эта частота называется частотой среза. Заметим,что для апериодического звена легко определить время переходного процесса: оно примерноравно 3T. Таким образом, частота среза определяет время переходного процесса.
Вспомним,что устойчивость системы также определяется поведением ЛАЧХ в районе частоты среза. В результате имеем:• устойчивость и качество переходного процесса (время, перерегулирование) определяются формой ЛАЧХ в районе частоты среза, где она пересекает ось Lm = 0 ; эта область называется областью средних частот;• для получения качественного переходного процесса желательно, чтобы наклон ЛАЧХоколо частоты среза был равен –20 дБ/дек;3• если задано время переходного процесса tп , нужно выбирать ωc = .tпТеперь разберемся с шумами и робастностью.
Как мы знаем, шумы – это высокочастотные сигналы. Кроме того, обычно именно в области высоких частот характеристики объекта имодели могут сильно расходиться. Поэтому для подавления помех и уменьшения влияния ошибок модели нужно по возможности уменьшать усиление системы в области высоких частот, тоесть ЛАЧХ должна резко идти вниз.На рисунке показана типовая желаемая ЛАЧХ. LmвысокиеЭто асимптотическая ЛАЧХ, состоящая из отрез–20 дБ/декчастотыков. В выделенных точках стыкуются два отрезка(подавлениепомех)разного наклона. На низких частотах она имеет на–20 дБ/декклон –20 дБ/дек, то есть система содержит интеграωcω12-16 дБтор, который обеспечивает нулевую ошибку в уста012-16 дБновившемся режиме.низкиесредние частотыЛАЧХ пересекает ось абсцисс под наклоном(устойчивость,частотыпереходный процесс)(точность)–20 дБ/дек.
Для обеспечения устойчивости и приемлемого показателя колебательности ( M < 1,2 ) точки излома ЛАЧХ должны находиться нарасстоянии 12-16 дБ от оси абсцисс (см. рисунок).Продемонстрируем метод коррекции ЛАЧХ на простом примере. Пусть объект управле1, где T0 = 5 с. Передаточнаяния – апериодическое звено с передаточной функцией G ( s ) =T0 s + 1функция замкнутой системы без коррекции (то есть, с регулятором C0 ( s ) = 1 ) равна:10,5W ( s) ==.T0 s + 2 0,5T0 s + 1Видим, что статический коэффициент усиления W (0) = 0,5 (а не 1), так что точного отслеживания входного сигнала не получается.
Время переходного процесса можно приближенно подсчитать как tп = 3 ⋅ 0,5 ⋅ T0 = 7,5 c .Поставим задачу следующим образом: выбрать регулятор C (s ) , который обеспечивает• нулевую ошибку в установившемся режиме;• время переходного процесса около 1,5 с;73© К.Ю. Поляков, 2008•наклон ЛАЧХ –40 дБ/дек на высоких частотах для подавления помех.Для решения используем метод коррекцииЛАЧХ. Синяя линия на рисунке обозначает нескор- Lmректированную ЛАЧХ, совпадающую с ЛАЧХ апе–20 дБ/декLжриодического звена G ( s ) .ωcL0Желаемая ЛАЧХ (зеленая линия) должна иметь01наклон –20 дБ/дек на низких частотах, чтобы обеспеT0 –20 дБ/декчить нулевую статическую ошибку. Частота среза ωcLопределяетсятребуемымбыстродействием: mLCωc = 3 / tп = 2 рад/с. Таким образом, начальный участок желаемой ЛАЧХ совпадает с ЛАЧХ интегрирующего звена с передаточной функциейLж (ω ) = 20 lgωcωc(на низких частотах).ωs, то есть0ω1ωcω15 дБωНа высоких частотах нужно изменить наклон ЛАЧХ с –20 до -40 дБ/дек на частоте ω1 , гдеLm (ω ) = −15 дБ.
Из этого условия находим20 lgωc= −15ω1⇒ωc= 10−15 / 20ω1⇒ω1 = 103 / 4 ⋅ ωc = 5,62 ⋅ 2 = 11,24 рад/с.Таким образом, мы полностью построили желаемую ЛАЧХ, удовлетворяющую требованиям ксистеме. Вычитая из нее исходную ЛАЧХ (без коррекции, синяя линия), получим ЛАЧХ регулятора, которая показана красной линией на нижнем графике.Остается перейти от ЛАЧХ регулятора к его передаточной функции. На низких частотах( ω < 1 / T0 ) ЛАЧХ регулятора имеет наклон –20 дБ/дек и проходит через точку (ωc ;0) , то естьC ( s) =ωc⋅ C1 ( s ) ,sгде C1 ( s ) не изменяет асимптотическую ЛАЧХ на частотах, меньших 1 / T0 . На частотеω0 = 1 / T0 ЛАЧХ регулятора меняет наклон с –20 дБ/дек до нуля, то есть в числитель добавляется множитель T0 s + 1 :ω (T s + 1)C ( s) = c 0⋅ C2 ( s ) .sЗдесь C2 ( s ) – регулятор, не влияющий на ЛАЧХ для частот, меньших ω1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
