К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Апериодическое звеноОдно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описываетсядифференциальным уравнениемdy (t )+ y (t ) = k ⋅ x(t )(39)Tdtk. Здесь k – безразмерный коэффициент, а T > 0 –и имеет передаточную функцию W ( s ) =Ts + 1постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размернаявеличина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скоростьего реакции на изменение входного сигнала.В разд. 3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена⎡k⎛ t⎞⎛ t ⎞⎤h(t ) = k ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ , w(t ) = exp⎜ − ⎟ .T⎝ T ⎠⎦⎝ T⎠⎣Они показаны на рисунке:34© К.Ю. Поляков, 2008h(t )Tw(t )kk0ttTОбратите внимание, что предельное значение переходной характеристики равно k , а касательная к ней в точке t = 0 пересекается с линией установившегося значения при t = T .
Переходнаяи импульсная характеристики выходят на установившееся значение (с ошибкой не более 5%)примерно за время 3T . Эти факты позволяют определять постоянную времени экспериментально, по переходной характеристике звена.Частотная характеристика определяется выражениемkk (1 − Tjω )kjkTω= 2 2.= 2 2− 2 2W ( jω ) =Tjω + 1 T ω + 1 T ω + 1 T ω + 1Для каждой частоты ω значение W ( jω ) – это точка на комплексной плоскости. При измененииω от 0 до ∞ получается кривая, которая называется годографом Найквиста (диаграммойНайквиста).
В данном случае можно показать, что частотная характеристика – это полуокружность с центром в точке (0,5k ; 0) радиуса 0,5k . Годограф начинается (на нулевой частоте) вточке (k ; 0) и заканчивается в начале координат (при ω → ∞ ).020 lg kk0ω→∞Re− 20 дБ/декLm(ω)Imω=0ωc =φ(ω)01T-45-90Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются1на сопрягающей частоте ωc = . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звеноTпозиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k .На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 20 дБ/дек, так как степень знаменателя передаточной функции на единицу больше степени ее числителя.
Фазовая характеристика меняетсяот 0 до − 90° , причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 45° .Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет высокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот.Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задаетсяуравнением35© К.Ю. Поляков, 2008dy (t )− y (t ) = k ⋅ x(t )(40)dtКак видим, все отличие от (39) – только в знаке в левой части h(t )уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардинально меняются переходная и импульсная характеристики:⎡ ⎛t⎞ ⎤k⎛t⎞h(t ) = k ⎢exp⎜ ⎟ − 1⎥ , w(t ) = exp⎜ ⎟ .T⎝T ⎠⎣ ⎝T ⎠ ⎦Обычно предполагается, что постоянная времени T > 0 , тогда экспоненты в этих выражениях бесконечно возрастают с ростом t .Поэтому звено названо «неустойчивым»: в покое оно находится внеустойчивом равновесии, а при малейшем возмущении «идет0tвразнос».Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого инеустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постояннымивремени.Из этого графика видно, что ЛАЧХ неус20 lg kтойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ ана− 20 дБ/деклогичного устойчивого, но отрицательный фазовый сдвиг значительно больше.
Устойчивоеапериодическое звено относится к минимальнофазовым звеньям, то есть его фаза по модулю1ωc =меньше, чем фаза любого звена с такой же амT-90плитудной характеристикой. Соответственно,неустойчивое звено – неминимально-фазовое.К неминимально-фазовым звеньям от-135носятся все звенья, передаточные функции которых имеют нули или полюса в правой полу-180плоскости, то есть, с положительной вещественной частью. Для минимально-фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функциинаходятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части).
Например, приположительных постоянных времени T1 , T2 и T3 звено с передаточной функциейT1s + 1W ( s) =(T2 s + 1)(T3 s + 1)– минимально-фазовое, а звенья с передаточными функциямиT1s + 1T1s − 1T1s + 1, W1 ( s ) =, W3 ( s ) =W1 ( s ) =(T2 s + 1)(T3 s − 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(T2 s − 1)(T3 s − 1)– неминимально-фазовые.φ(ω)Lm(ω)T4.3. Колебательное звеноКолебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией видаk,W (s) =2b2 s + b1s + 1знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b12 − 4b2 < 0 ). Как известно из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гармонические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входного сигнала.Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме36© К.Ю.
Поляков, 2008k(41)T s + 2Tξs + 1где k – коэффициент, T – постоянная времени (в секундах), ξ – параметр затухания( 0 < ξ < 1 ). Постоянная времени определяет инерционность объекта, чем она больше, тем медленнее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ , тем быстрее затухают колебания.При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебанияна выходе. Если ξ ≥ 1 , модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то естьпоследовательное соединение двух апериодических звеньев.Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициентусиления равен W (0) = k .Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью,особенно при малых значениях параметра затухания ξ .
На следующих двух графиках синиелинии соответствуют ξ = 0,5 , а красные – ξ = 0,25 .h(t )ξ = 0,25w(t )ξ = 0,25W (s) =2 2kξ = 0,5ξ = 0,50t0φ(ω)Lm(ω)tАсимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются1на сопрягающей частоте ωc = . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звеноTпозиционное), причем в этой области Lm ≈ 20 lg k .На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен− 40 дБ/дек, так как степень знаменателя пе- 20 lg k− 40 дБ/декредаточной функции на два больше степени еечислителя. Фазовая характеристика меняетсяот 0 до − 180° , причем на сопрягающей частоте ωc она равна − 90° .1ωc =TПри значениях ξ < 0,5 ЛАЧХ имеет так0называемый «горб» в районе сопрягающейчастоты, причем его высота увеличивается с-90уменьшением ξ .
Это означает, что при частоте входного сигнала, равной ωc , наблюдается-180резонанс, то есть частота возмущения совпадает с частотой собственных колебаний системы.В предельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращаетсяв бесконечность) на частоте ωc , при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет ина практике объект разрушается.37© К.Ю.
Поляков, 20084.4. Интегрирующее звеноПростейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входнойсигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступленииводы уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.Интегрирующее звено описывается уравнениемdy (t )= k ⋅ x(t ) ,(42)dtkкоторому соответствует передаточная функция W ( s ) = .
Решение уравнения (42) даетsty (t ) = y (0) + k ∫ x(τ ) dτ .0Используя это решение для единичного скачка ( x(t ) = 1 при t ≥ 0 ) при нулевых начальных условиях ( y (0) = 0 ), получаем линейно возрастающую переходную характеристику:h(t ) = k ⋅ t .Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельтафункции на любом интервале, включающем t = 0 , равен 1. Поэтому w(t ) = k (при t ≥ 0 ).h(t )w(t )ktg α = k0tинтегрирующего0tформулойLm(ω)Частотнаяхарактеристиказвенаопределяетсяkk= − j .
Можно показать, что его логарифмическая амплитудная частотная харакW ( jω ) =ωjωтеристика – это прямая с наклоном − 20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально,теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавляются интегратором.− 20 дБ/дек20 lg k0ω =1ω=kφ(ω)0-90-180На частоте ω = 1 значение ЛАЧХ равно 20 lg k , а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, поскольку W ( jω ) = 1 . Фазовая характеристика φ (ω ) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы навсех частотах.38© К.Ю. Поляков, 20084.5.
Дифференцирующие звеньяLm(ω)Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнениеdx(t ), его операторная запись y (t ) = k ⋅ p x(t ) , аидеального дифференцирующего звена y (t ) = kdtпередаточная функция W ( s ) = k ⋅ s .Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1(t ) в точке t = 0 – этодельта-функция δ (t ) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звенаdδ (t )h(t ) = kδ (t ) , w(t ) = k.dtЭто физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющиебесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное дифференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена –1прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс Lm (ω ) = 0 на частоте ω = .
Приkω = 1 ЛАЧХ равна Lm (1) = 20 lg k . Дифференцирующее звено подавляет низкие частоты (производная от постоянного сигнала равна нулю) и бесконечно усиливает высокочастотные сигналы,что требует бесконечной энергии и невозможно в физически реализуемых системах.20 дБ/дек20 lg k0ω = 1/ kω =1φ(ω)180900Фазовая характеристика не зависит от частоты, звено дает положительный сдвиг фазы на90 . Действительно, при дифференцировании сигнала x(t ) = sin ωt получаемy (t ) = cos ωt = sin(ωt + 90°) .Дифференцирующее звено реагирует не на изменение самой входной величины, а на изменение ее производной, то есть на тенденцию развития событий.
Поэтому говорят, что дифференцирующее звено обладает упреждающим, прогнозирующим действием. С его помощьюможно ускорить реакцию системы.В технике не могут использоваться физически нереализуемые звенья. Поэтому важно рассмотреть аналогичное звено, которое выполняет дифференцирования низкочастотных сигналови одновременно имеет ограниченное усиление на высоких частотах. Инерционное дифференцирующее звено описывается уравнениемdx(t )dy (t )+ y (t ) = kTdtdtksи имеет передаточную функцию W ( s ) =. Фактически это последовательное соединениеTs + 1идеального дифференцирующего и апериодического звеньев.Апериодическое звено добавляет инерционность: обладая свойствами фильтра низкихчастот, оно ограничивает усиление на высоких частотах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
