К.Ю. Поляков - Теория автоматического управления для чайников (1054016), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В следующем параграфе те же самые идеи используютсядля более сложной модели, которая описывает динамику системы (изменение во времени).∆q =2.5.2. Дифференциальные уравненияРеальные объекты не могут мгновенно изменять свое состояние, поэтому вместо статических моделей типа (2) для их исследования используют динамические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные (скорости изменениясигналов). Как мы видели в разделе 2.3, такие модели могут быть получены из физических законов.
Во многих случаях более или менее точные модели представляют собой нелинейныедифференциальные уравнения, поэтому для того, чтобы применить теорию линейных систем,требуется линеаризация. При этом применяется почти та же методика, что и для алгебраическихуравнений.Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений величин) сигналы мало отклоняются от рабочей точки – некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют «правильные» значения и их производные равнынулю. Поэтому для решения задач управления часто достаточно использовать линейную модельв отклонениях от этой рабочей точки.Модель, только что построенная для бака с водой, не совсем правильная, потому что неучитывает, что уровень в баке изменяется – уменьшается по мере вытекания воды.
Кроме того,предположим, что для поддержания уровня используется насос, который подкачивает воду вбак, его расход обозначим через Q . Для такого объекта входом является расход Q, а выходом –изменение уровня h.Предположим, что в течение маленького интервала ∆t расходы Q и q можно считать постоянным. За это время объем воды, добавленной в бак насосом, равен Q ⋅ ∆t , а объем «ушедшей» воды – q ⋅ ∆t . Учитывая, что площадь сечения бака равна S, получаем изменение уровня:(Q − q)∆h =⋅ ∆t . Переходя к пределу при ∆t → 0 , получаем дифференциальное уравнениеSdh(t ) 1= [Q(t ) − q(t )] .dtSЭта модель учитывает, что уровень воды и расходы изменяются во времени.
Вспомним, чторасход вытекающей жидкости q (t ) зависит от уровня воды в баке h(t ) и связан с ним нелинейной зависимостью q (t ) = α ⋅ h(t ) . Поэтому уравнение можно записать в видеαdh(t ) 1= Q(t ) −h(t ) .dtSS(6)15© К.Ю. Поляков, 2008Здесь остались только две изменяющиеся величины: расход насоса Q(t ) (вход объекта) и уровень воды h(t ) (выход). Далее для упрощения записи мы не будем явно указывать зависимостьэтих сигналов от времени.В установившемся (статическом) режиме, когда сигналы не изменяются, все производdh(t )ные равны нулю.
В нашем случае, приняв= 0 в (6), получаемdtQ2(7)0 = Q −α ⋅ h ⇒ h = 2 .αЭта зависимость между установившимися значениями входа Q и выхода h называется статической характеристикой. Она позволяет для любого заданного постоянного значения Q на входеполучить значение выхода h.Теперь предположим, что задана некоторая рабочая точка, то есть, значения входа Q = Q0и выхода h = h0 удовлетворяют уравнению (7), и система все время работает около этого положения равновесия. Вблизи этой точкиQ = Q0 + ∆Q и h = h0 + ∆h ,где ∆Q и ∆h – малые отклонения входа и выхода от рабочей точки.Дальше для линеаризации используется разложение функций в ряд Тейлора.
Для некоторой функции f ( x, y ) в окрестности точки ( x0 , y0 ) этот ряд имеет вид:∂f ( x0 , y0 )∂f ( x0 , y0 )f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) +⋅ ∆y + F ( x, y ) ,⋅ ∆x +∂y∂x∂f ( x0 , y0 )∂f ( x0 , y0 )и– частные производные функции f ( x, y ) по x и по y в точке ( x0 , y0 ) , агде∂y∂xF ( x, y ) зависит от высших производных в той же точке (второй, третьей и т.д.).
При малых значениях ∆x и ∆y можно считать, что «хвост» этого ряда F ( x, y ) очень мал, примерно равен нулю, поэтому∂f ( x0 , y0 )∂f ( x0 , y0 )f ( x, y ) ≈ f ( x0 , y0 ) +⋅ ∆x +⋅ ∆y .(8)∂x∂yПрименим формулу (8) для линеаризации правой части уравнения (6), где в роли x выступает расход Q, а в роли y – уровень h. Выполняя дифференцирование, находим∂ ⎡1∂ ⎡1ααα⎤ 1⎤.Q−h⎥ = ,Q−h⎥ = −⎢⎢∂Q ⎣ SSS2S h⎦ S ∂h ⎣ S⎦Тогда с помощью формулы (8) получаем111αααQ−h ≈ Q0 −h0 + ⋅ ∆Q −⋅ ∆h .SSSSS2S h0Подставим Q = Q0 + ∆Q и h = h0 + ∆h в уравнение (6) и учтем, чтоd (h0 + ∆h) d∆h. Тогда=dtdt1ααd∆h 1≈ Q0 −h0 + ⋅ ∆Q −⋅ ∆h .dtSSS2S h0Вспоминая, что Q0 и h0 соответствуют статическому режиму, то естьем линеаризованное уравнение в отклонениях от рабочей точки:d∆h+ kh ⋅ ∆h ≈ kQ ⋅ ∆Q ,dtα1Q0 −h0 = 0 , получаSS(9)16© К.Ю.
Поляков, 2008где k h =αи kQ =1. Заметим, что коэффициент k h зависит от h0 , то есть от выбора рабоS2S h0чей точки. В этом проявляется нелинейность объекта.Обычно при записи линеаризованного уравнения знак ∆ (обозначающий отклонение) непишут. Таким образом, окончательно получаем линеаризованную модельdh(t )+ k h ⋅ h(t ) = kQ ⋅ Q(t ) .(10)dtНо нужно помнить, что это уравнение в отклонениях, и оно справедливо только при малых отклонениях от рабочей точки (Q0 , h0 ) . При выборе другой рабочей точки коэффициент k h получится другой.2.6.
УправлениеПосмотрим на примере, как можно управлять объектом и что из этого получается. Немного изменим предыдущую задачу, разрешив потоку вытекающей жидкости q изменяться независимо (в теории управления это называется нагрузкой на объект).Для того, чтобы обеспечить водой всех жителей деревни, построили водонапорную башню, в которую насосом закачивается вода из реки. Каждый житель может в любой моментвключить воду на своем участке, например, для полива. Нужно построить систему, которая автоматически поддерживает заданный уровень h0 воды в цистерне(в метрах).QБудем считать, что жителей довольно много, поэтому у кого-то всегда включена вода и насос постоянно работает на закачкуводы в цистерну. Для управления уровнем воды h мы можем изменять его поток Q (в м3/с). Таким образом, уровень h – это регулируемая величина, а поток Q – сигнал управления.
Для обратнойсвязи используем датчик, измеряющий уровень воды h в цистерне.hПостроим математическую модель объекта, то есть цистерqны. Поток на выходе q (в м3/с) показывает, сколько воды вытекает из цистерны за 1 с – это нагрузка.Изменение уровня ∆h зависит от разности потоков Q − q и площади сечения цистерны S .Q(t ) − q (t )⋅ ∆t .
ВЕсли разность потоков постоянна в течение интервала времени ∆t , то ∆h(t ) =Sобщем случае нужно использовать интеграл:t1∆h(t ) = ∫ (Q(t ) − q (t )) dt .S0Пусть в момент времени t = 0 уровень воды равен заданному значению, а входной и выходной потоки равны ( Q(0) = q(0) = q0 ), так что уровень не меняется. Этот режим мы примем заноминальный (рабочую точку). Для того, чтобы получить уравнение в отклонениях, представимпотоки в видеQ(t ) = q0 + ∆Q(t ), q(t ) = q0 + ∆q (t ) ,где ∆Q(t ) и ∆q(t ) – малые отклонения потоков от номинального режима.
Тогда, опуская знакприращения ∆ , можно записать модель объекта управления в формеt1h(t ) = ∫ (Q(t ) − q (t )) dt .S017© К.Ю. Поляков, 2008Здесь h(t ) , Q(t ) и q (t ) обозначают отклонения этих величин от номинальных значений. Заметим, что эта модель может быть записана как дифференциальное уравнение (если найти производные обеих частей равенства):dh(t ) 1= [Q(t ) − q(t )] .dtS2Для упрощения далее примем S = 1 м .В качестве обратной связи мы будем использовать сигнал с датчика уровня. Ошибкауправления вычисляется как разница между заданным и измеренным уровнями воды:e(t ) = h0 (t ) − h(t ) .Применим самый простой регулятор – усилитель с коэффициентом K (или пропорциональный регулятор, П-регулятор), который управляет потоком по законуq (t ) = K ⋅ e(t ) = K ⋅ [h0 (t ) − h(t )].Структурная схема системы управления показана на рисунке ниже. Знак интеграла обозначаетзвено, модель которого – оператор интегрирования.
С помощью кружка с секторами обозначается сложение сигналов. Если какой-то сектор закрашен черным цветом, входящий в него сигнал вычитается (учитывается в сумме со знаком «минус»). Кроме сигналов, о которых уже шларечь, на рисунке показан также шум измерения m(t ) , искажающий показания датчика.qрегуляторобъект–h0 +ehQК∫+–mПроверим работу этого регулятора при различных значениях коэффициента K. Сначалабудем считать, что шума измерений нет, то есть уровень измеряется точно.
Предположим, чторасход воды на выходе q увеличивается скачком (все начали поливать огороды). Синяя линияна рисунке (см. ниже) показывает изменение уровня при K = 1 , а зеленая – при K = 5 .∆h0K =5tK =1По этим данным можно сделать некоторые выводы:• при изменении нагрузки (потребления воды, потока q ) регулятор-усилитель не можетподдерживать заданный уровень (графики не приходят к значению ∆h = 0 );• чем больше К, тем меньше ошибка регулирования ∆h в установившемся режиме; можноожидать, что при K → ∞ ошибка должна уменьшиться до нуля;• чем больше К, тем быстрее заканчивается переход на новый режим.Кажется, что для улучшения управления нужно увеличивать K, однако это только первое впечатление.Теперь посмотрим, что будет, если есть шум измерений (случайная ошибка датчика).18© К.Ю.
Поляков, 2008∆h∆Q0K =5tK =5K =10tK =1По графикам видно, что при неточных измерениях уровень колеблется около некоторого среднего значения (того, что было получено без шума), причем при бóльшем K колебания увеличиваются. Этот эффект особенно хорошо виден на графике изменения расхода насоса ∆q (рисунок справа).При увеличении K повышение точности (уменьшение установившейся ошибки) достигается за счет повышенной активности насоса, который все время «дергается».
При этом механические части изнашиваются, и существенно уменьшается его срок службы. Поэтому коэффициент K нельзя сильно увеличивать.Один из главных выводов этого примера: управление чаще всего связано с компромиссом.Здесь, с одной стороны, нужно увеличивать K, чтобы повысить точность, а с другой – нужноуменьшать K, чтобы уменьшить влияние шума измерения.При выборе управления мы шли самым простым путем, остановившись на регулятореусилителе (П-регуляторе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
