Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Прн выводе необходимых условий экстремума (принципа Лагранжа) в выпуклых задачах (п. 2.3.3) и в задачах с равенствами и неравенствами (п. 2А) пользуемся свойством отделимости непересекающихся выпуклых множеств. Приведем результаты, 'касающиеся конечномер- * ного случая (о бесконечномерном случае см. в п. 7.1). Множества А и В называются отделимыми, если найдется такое полупространство, которое содержит А, а точки множества В или не принадлежат ему, или лежат на границе этого полупространства.
Аналитически это можно записать так: существует вектор .Л~К" (ЛФО), для которого 1п( (Л, х) ) зир (Л, х). кел квв Множества А и В называются строго отделимыми, если найдется такое полупространство, которое содержит множество А и не содержит точек из В. Аналитически это можно записать так: существует вектор'. ЛенК", для которого 1п1 (Л, х) з ° зпр (Л, х). кел кЕВ Т е о р е м а 1 (первая теорема отделимости в конечномерном случае). Пусть А и  — непустые выпуклые множества в К", АПВ=Б.
Тогда множества А и В отделимы. Т е о р е м а 2 (вторая теорема отделимости в конечиомерном случае). Пусть А — непустое выпуклое замкнутое множество в К", Ь~А. Тогда точку Ь можно строго отделить от А. 0 А) Доказательство теоремы 2.
Рассмотрим за. дачу о расстоянии от точки Ь до замкнутого множества А; ( Ь вЂ” х ( 1п1, х~А. (з) 20 Поскольку функция !(х) =!х! непрерывна и 1ип Г(х) = + ВВ, Ьн +а: по следствию нз теоремы Вейерштрасса (п. 1.2.1) решение задачи (з) существует. Обозначнм его Х. Ясно, что хФЬ (рис.
1). Проведем через точку Ь гнперплоскость Н перпендикулярно вектору Ьх. Покажем, что прн этом множество А находится в Я одном из открытых полупрост- л ранств. Тем самым теорема 2 будет доказана. Действительно, если бы существовала какая-нибудь точка а~А, лежащая на гиперплоскости Н нли в открытом полупространстве, не содержащем Ь точку х, то 1а, х)~А и из (прямоугольного нли тупоугольного!) треугольника Ьха следовало бы, что перпендикуляр нз точки Ь на 1а, х! имел бы меньшую длину, чем !Ьх~. Противоречие с тем, что х — решение (з).
Б) Д о к аз а тел ь ство теоремы 1. Утверждение «множества А и В отделимы» равносильно утверждению «точка нуль отделима от множества С МА — В=(х=а — Ь| Вен А, ЬяВ)», Действительно, ш! (а, у) > зпр (Ь, у) «» !и! (а, у) — зпр (Ь, у) ) О аЕА ЬЕВ аЕА ЬЕВ «» !п1 (а, у)+!и! ( — Ь, у) ) О «» 1п! (а — Ь, у) ) (О, у). аЕА ЬВВ ааА ЬЕВ Поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать отделимость точки нуль от множества С. Ясно, что С вЂ” выпуклое множество н 09:С.
Если !и! С=Я,' то размерность аффинной оболочки множества С меньше и, т. е. б!ша~1С(п, В этом случае ай'С вЂ” собственное подпространство в Яа, и поэтому существует содержащая его гнперплоскость. Эта гиперплоскость — искомая. Пусть !и!С~ 8. Тогда существует открытый конус К', такой, 'что К' с: К ~=" сопе С = «х = ~~," 1,с„ с, ~ С, 1, ) О, ! = 1, ..., з, зев в! — любое~. Ясно, что — К'ПК= 8, иначе следовало бы, что О~С.
Возьмем произвольную точку реп †'. Она не принадлежит конусу К (замыканию К), являющемуся, как нетрудно убедиться, замкнутым выпуклым множеством. 21 По второй теореме отделимости точку $ и множество )Г можно разделить, т. е. существует вектор ЛФО, для которого 1п1 (Л, х) ) (Л, $). (1~ «ек Невозможно допустить, что для некоторой точки хе=К было бьа. выполнено неравенство (Л, х)<О, ибо иначе нижняя грань Ф левой части неравенства, (1) была бы равна — ао. Значит, (Л, х)ъО для любого хИ и тем более для любого хепС.
Раз, деляющая точку нуль и множество С гиперплоскость построе-' на. (> 1.3. Определения производных Для вещественных функций одного вещественного переменного два определения — существование конечного предела Р 1«+ Л) — Р (. > (1) Ь-н~ й и возможность асимптотического разложения при й- О Р (х+й) =Р(х) + Р (х) й+ о (й) (2), — приводят к одному и тому же понятию дифференцируемости. Но уже для функций двух и большего числа переменных существует несколько различных подходов к понятию дифференцируемости (гладкости). Определение (1) ведет к понятияме производной по направлению, вариации по Лагранжу и производной Гата.
Определение (2) ведет к понятиям производной Фреше и строгой дифференцируемости. 1.3.1. Производная по направлению, вариация по Лагранжу„1 производная Гата. Пусть Х, У вЂ” нормированные пространства„.' Р: Х- У вЂ” отображение пространства Х или некоторой окрестности точки х в пространство У. Предел 6Р(х, й) = 1пп ("+ к о в предположении, что он существует, называется производна Р в точке х по направлению й.
Если отображение Р имеет в точке х производную по всем направлениям йеиХ, то говорят, что Р имеет в точке х вариацию по Лагранжу. При этом отображение й- 6Р(х, й) называют вариацией по Лагранжу. Если оператор бР(х, ):Х- У линеен и непрерывен по й,) то говорят, что Р дифференцируемо по Гато в точке х, а оператор 6Р(х, ) называется производной Гаго отображения в точке х и обозначается Р'„(х). Таким образом, если Р диффереицируемо по Гато в точке х, то для любого фиксированного имеет место разложение Р(х+Лй)=Р(й)+ЛР,(х)Я+г(й, Л)» где 1г(й, Л) ()- О при Л-'О.
1.3.2. Производная Фреше, строгая дифференцируемосты Отображение Р п. 1.3.1 называют дифференцируемым по Фреше л точке х и пишут Рен0(2), если существуют линейный непрерывный оператор из Х в У, обозначаемый Р'(х), и отображение г некоторой окрестности х в У, такие, что Р(2+Ь) =Р(х)+Р'Я[Ь)+г(Ь), ~!г(Ь)а=о(1Ь1) при 1ЬЗ'- О. Оператор Р'(х):Х- У называетси производной 'Фреше.
Соот- ношение (1) можно кратко записать так: Р(х+Ь) =Р(2)+Р (х) [Ь)+о(Ь), понимая о(Ь) как элемент пространства У, для которого [(о(Ь)1=о(1Ь!!) при 1Ь~~~О. Через Р'(2)[Ь) обозначено значение отображения Р'(2) на элементе ЬенХ. Если в каждой точке х открытого множества У отображение РенР(х) и отображение х- Р'(х) непрерывны, то пишем Р~С'((У). Ясно, что из дифференцируемости по Фреше отображения Р в точке х следует днфференцнруемость отображения Р в точке 2 по Гато.
Уже а двумерном случае эти два понятия различаются. Из дифференцируемости по Гато по определению вытекает существование вариации по Лагранжу. И снова (уже в двумерном случае) эти понятия различны. На языке з-б определение дифференцируемости по Фреше отображения Р в точке 2 формулируется так: существует оператор Р'(х)~2'(Х, У), такой, что для любого е>0 найдется б>0, при котором для всех Ь: 1Ь1<б выполняется неравенство Из (1) следует, что производная Фреше определена однозначно, ибо равенство Л,Ь вЂ” ЛзЬ=о(Ь) для линейных непрерывных операторов Л, и Лз возможно лишь при Л~=Ль Во многих задачах конечномерного и бесконечномерного анализа дифференцируемости по Фреше в точке недостаточно для получения содержательного результата. Это побуждает к следующему усилению дифференцируемости в точке.
Пусть отображение Р дифференцнруемо по Фреше в точке х Оно называется строго дифференцируемым в точке 2 (при этом пишут Рен511(х)), если для любого е>0 найдется такое 4>0, что для всех х~ и хь удовлетворяющих неравенствам Йх~ — х1<б, 'ах,— хз<б, выполнено неравенство '1Р(х,) — Р(хз) — Р'(х)[х,— хзи (е!)х,— хД. Если Р: К"- й — дифференцируемое в точке х отображение конечномерного пространства Й" или некоторой окрест- 23 ности точки х в пространство й'"., то производная Фреше в х — матрица, составленная нз частных производных Р'(х)= ~ — ~, 1=1,...,ш, 1=1,...,и.
Ф - I дую(х) ~ дхг 1 Эта матрица называется матрицей Якоби. Если т=п, то определитель матрицы Якоби называется якобианом отображения( Р в точке х. 1.З.З. Частные пронзводные, производные высших порядков. Пусть Х, У, Х вЂ” нормированные пространства, 0 — окрестность точки (х, у) в ХХ У, Р: У- Х. Если отображение х- Р(х, у) днфференцнруемо в точке х по Фреше, то его производная называется частной производной по х отображения Р в точке (х, у) н обозначается Р',(х, у), дР(х, у) нлн дх Аналогично определяется частная производная по у др(х, у) ду Дадим теперь определение второй производной функции нескольких переменных. Пусть 0 — окрестность точки х (х„ ..., х„) в К"„ 1: (1- К вЂ” функцня, определенная и непрерывно днфференцнруемая на (1.
Говорят, что функция 1 дважды дифференцируема в точке х, если существует квадратичная форма (е, такая„ что 1(х+й) =1(х)+1' (х)Я+ (1/2) (е (й) +г (й), где г(Ь) =о((Ь(х), Квадратичная форма определяется симметрической матрнг Р1(~) ъ цей составленной нз частных производных ~ — ~, 1,1= Ф 1 дх~дх) =1,...,и. Переходим к бесконечномерному случаю.
Пусть Х н У— нормированные пространства, %~Х вЂ” открытое подмножест- во. Если отображение 1: %- У днфференцируемо в каждой точке х~%, то определено отображение х- 1'(х) множества М в пространстве 2'(Х, У). Поскольку 2'(Х, У) также является нормированным пространством, то можно ставить вопрос о существовании второй производной 1ч(х)=(1')'(х)ен2'(Х, х. (Х, У)).
Для А~с:Х1" (х)(й1)ен2'(Х, У). Возьмем йхяХ; тогда определено 1" (х)(ль Лт)=1" (х)[й,)(йх). Таким образом, определено линейное по каждому аргументу отображение 1" (х):ХХХ- У Анало- гично определяются производные высших порядков. Теорем а (о смешанных производных). Если для отобраокения 1:%- У существует вторая производная ]ч(х), то для всех Ьь ЬоевХ 1 (Я)[йь Ьо] г (хийь Ь!1 [АТФ, . !бб] 1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах Приведем несколько теорем, наиболее часто используемых для решения экстремальных задач.
1.4.1. Теорема о суперпозиции. Пусть Х, У, Я вЂ” нормиро- ванные пространства, И вЂ” окрестность точки Х в Х, У' — ок- рестность точки у в У, ф(х)=у, ор:У' Я, р=ф ф:М Х вЂ” су- перпозиция отображений ф и ф Тогда, если ор дифференцируемо по' Фреше в точке у, а ф в точке х дифференцируемо по Фреше (дифференцируемо по Тато, имеет вариацию по Лагранжу), то 1 обладает в точке х тем же свойством, что и ф, и при этом соответственно 1'(х) =ф'(й) оф'(х), ['„(х) =ф'(у) оф',(х). 6](Я, й) =ф'(у)[бф(х, Ь)]тйе-=Х. Если ф строго дифференцируемо в у, а ф строго дифферен- цируемо в х, то 1 строго дифференцируемо в х. Теорема о суперпозиции не имеет, вообще говоря, места, если ф дифференцируемо лишь по Гато. <[ Рассмотрим подробно два крайних случая — вариацию по Лагранжу и строгую дифференцируемость. А) По определению производной Фреше фГУ) =ф(У)+ф'(У) [У вЂ” У]+о(У вЂ” У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
