Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Примечательно начало названия статьи Лейбница: «Новый метод нахождения наибольших и наименьших величин...». В ХНП в. усилиями Эйлера н Лагранжа были созданы приемы решения экстремальных задач с функциями от нескольких переменных без ограничений и с ограничениями типа равенств. Основной прием — метод множителей Лагранжа — сейчас. входит в программу любого математического и технического вуза. Уже в наши дни эти исследования были дополнены исследованием задач, где ограничения задаются равенствами и неравенствами. Весь этот цикл вопросов получил название математического программирования.

В июньском номере за 1696 г. в журнале «Акта Эрудиторум» (первом и единственном в ту пору научном журнале) была помещена заметка известного математика, ученика н последователя Лейбница — Иоганна Бернулли. Она была озаглавлена так: «Новая задача, к решению которой приглашаются математики». Там была поставлена задача о кривой наискорейшего спуска, т. е. задача о брахистохроне. С задачи о брахистохроне началась история классического вариационного исчисления.

Общие методы решения задач вариациоиного исчисления были разработаны в ХУП1 веке 'Эйлером и Лагранжем. В их же работах была установлена тесная связь вариационного исчисления и естествознания. Теория варнационного исчисления разрабатывалась далее на протяжении более чем двух веков. Помимо необходимых условий первого порядка (уравнений Эйлера — Лагранжа) были найдены необходимые и достаточные условия второго порядка для двух типов экстремума— сильного и слабого (Лежандр, Якоби, Вейерштрасс), а также новый метод подхода к вариационным проблемам (теория Гамильтона — Якоби) и построена теория поля (Кнезер, Гиль- берт), К середине тридцатых годов нашего столетия многие считали, что проблематика теории задач на экстремум практи- чески исчерпана.

Но оказалось, что это не так. В 1939 г. к заведующему отделом Института математики и механики при Ленинградском университете профессору Л. В. Канторовичу пришли на консультацию представители фанерного треста и предложили его вниманию несколько задач, возникших у них на производстве. При математической формализации выяснилось, что они сводятся к нахождению экстремума линейных функций на многогранниках.

Перебрать все вершины многогранников не представлялось возможным из-за огромного их числа. Л. В. Канторович нашел иные пути решения и исследования таких задач. Этим он заложил основы нового направления в теории экстремальных задач. Оно получило название линейного программирования. Методы линейного программирования нашли широчаншее применение на практике, в основном в экономике. За разработку математических методов н их внедрение в экономику Л.

В. Канторовичу в 1965 г. была присуждена Ленинская, а в 1975 (совместно с американским экономистом Т. Ч. Купмансом) — Нобелевская премия. В сороковые годы теория экстремальных задач начала переживать как бы второе рождение. С одной стороны, тогда нашла свое завершение теория линейного программирования. Многие ученые Запада, говоря об этом периоде, подчеркивают выдающуюся идейную роль, которую сыграл Джон фон Нейман. Создание теории линейного программирования стимулировало развитие других разделов теории оптимизации, прежде всего — выпуклого анализа и математического программирования.

Выпуклый анализ — специальный раздел математики, где изучают выпуклые объекты: множества, функции и экстремальные задачи. Его начала были заложены Т. Минковским на рубеже прошлого и нынешнего веков, но период наиболее бурного развития выпуклого анализа пришелся на пятидесятые-шестидесятые годы. В конце сороковых и начале пятидесятых годов обнаружилось, что многие проблемы оптимального управления, возникающие в технике, не укладываются в рамки разработанных к тому времени теорий.

В те годы в Математическом институте АН СССР им. В. А. Стеклова под руководством Л. С. Понтрягина был организован семинар, посвященный анализу таких проблем. На этом семинаре, в частности, выступал с рассказом о некоторых задачах автоматического регулирования видный специалист в этой области А. А. Фельдбаум. Он рассказывал среди ряда других о задаче наибыстрейшей остановки лифта в шахте. Это была задача, вошедшая впоследствии в огромное число изданий по оптимальному управлению под названием простейшей задачи о быстродействии. Увилиями Л.

С. Понтрягина и его учеников была найдена формализация целого класса задач, охватывавшего большин- ство актуальных проблем техники, а затем была построена теория этого класса задач. Она получила название теории оптимального управления. Основной результат этой теории носит название принципа максимума Понтрягина. За разработку теории оптимального управления Л. С. Понтрягину и его сотрудникам В. Г. Болтянскому, Р.

В. Гамкрелидзе и Е. Ф.Мищенко в 1962 г. была присуждена Ленинская премия. Интересно отметить, что первая задача, по сути дела относящаяся к оптимальному управлению, была поставлена Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» (!687 г.) еще даже до брахистохроны. Мы рассказывали об основных этапах развития теории задач на максимум и минимум и упомянули о важнейших конкретных проблемах, возникавших в самой математике, а также в естествознании, экономике и технике, которые стимулировали развитие теории е. Обо всем этом читатель более подробно узнает из нашей книги. В первой части книги описывается по сути дела единая, восходящая к Лагранжу, методология исследования экстремальных задач. Эта методология очень проста, в то время как ее строгое обоснование не всегда элементарно.

Научиться решать задачи гораздо проще, чем овладеть методами доказательств. Для того чтобы дать возможность освоиться с методологией решения конкретных задач, в книге имеется $12 и задачи. Кроме того, в первой части имеется большое число подробно разобранных иллюстративных примеров и задач.

В частности, в этих задачных разделах книги содержится подробное исследование всех тех конкретных задач (классической изопериметрической, о брахистохроне, Ньютона, о быстродействии и т. п.), о которых говорилось выше. Выше мы сказали о том, что потребность решать экстре мальные задачи была среди причин, стимулировавших рождение н развитие классического анализа, т. е. дифференциального и интегрального исчисления функций конечного числа переменных. Но уже задача о брахистохроне не относится к конечномерному анализу. Там должны сравниваться друг с другом все (достаточные гладкие) кривые, проходящие через заданные точки, т. е.

бесконечномерный объект. Первые же работы по вариационному исчислению несомненно относятся к бесконечномерному анализу, но само по себе такое направление в математике родилось лишь в конце прошлого и в начале этого века. Бесконечномерный анализ включает в себя, в частности, дифференциальное исчисление в бесконечномерных пространствах, и оно, в принципе, не является более сложным, чем наше привычное конечномерное дифференциальное исчисление. При этом уравнение Эйлера в вариационном исчислении оказывает- " В конце книги приведена и краткая хронологическая таблица. 9 ся не чем иным, как расшифровкой теоремы Ферма о равенстве нулю производной.

И вообще, понять единство всех разделов теории экстремальных задач, в частности тех, которые мы описывали выше (математического программирования, варнационного исчисления, линейного программирования, оптимального управления), легче всего, взобравшись на уровень бесконечномерного анализа. Этот уровень давно достигается в университетском образовании и в математическом техническом образовании с усиленной программой "по математике. Вторая часть нашей книги призвана дать читателю возможность осознать теорию оптимизации как некое единство. Это единство достигается соединением гладкого бесконечномерного анализа и выпуклого анализа.

(Кстати сказать, нам представляется, что настало время, когда основные понятия и факты бесконечномерного и выпуклого анализа должны найти свое место в общем математическом образовании любого уровня. Желая способствовать этому, мы уделили им достаточно много внимания как в первой, так и во второй части.) В $ 7 приведены сведения из функционального анализа, необходимые для построения того фрагмента теории, который содержится в остальных параграфах. Этот фрагмент достаточно большой, и при реализации конкретного курса надо выбрать какую-то часть его. В начале второй части приведено дерево связей основных теорем об экстремальных задачах с основополагающими фактами из анализа и геометрии $7, чтобы читатель мог добраться до цели кратчайшим путем. Нам представляется, что усовершенствование образования, его модернизация, в частности модернизация отдельного курса, должна проходить некую промежуточную стадию, когда представлен и традиционный материал, взвешенный многими десятилетиями преподавания, и присутствует попытка найти новые взгляды на весь предмет в целом.

Хотелось бы, чтобы эта книга способствовала цели усовершенствования важного раздела математического образования. 2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами. Слово тахйпит по латыни означает «наибольшее», слово пип(- тигп — «наименьшее», Оба эти понятия — максимум н минимум, наибольшее и наименьшее — объединяются единым термином экстремум (от латинского ех1гетитп, означающего «крайнее»). Иногда употребляют слово оптимальный, от латинского орйптиз, что означает «наилучший, совершенный». Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач, или теорией оптимизации, или иногда теорией оптимального управления.

Лри употреблении последнего термина обычно предполагается связь задач с практическими приложениями. Экстремальные задачи, возникающие в естественных науках или на практике, обычно ставятся словесно, в содержательных терминах той области, где данная задача возникла. Чтобы ТО можно было воспользоваться теорией, необходим перевод задач на математический язык. Этот перевод называется формализацией.

Характеристики

Список файлов книги