Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Краткий курс теории экстремальных задач (1050553), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, / (х + ъь) — 1[х) 1. ф [ф [х + ъь)) — ф (у) ъ о ъ ъ о Л е' (у) [ф (х + ٠— у[ + о [ф (х + ъь) — у] ъ -ф() 1 +1 ъ =ф'(у)[ф'(х, Ь)]+1!пъ [~[ + ) У) 1!т[ ~ [ + ъ-о 1[ф [х+ ъь) — у[1 ъ-о[1 ъ =ф'(у)[ф'(х, Ь)]+О ![ф'(х, Ь)1[ =ф' (у) [ф'(х, й)], что и доказывает формулу для вариации по Лагранжу супер- позиции отображений. 25 Б) Так как фяИ(х), феБР(у), то для любых е1>0,, ез>0 найдутся такие 6,>0, 6,>О, что из неравенств !!х; — 2!!< <бь !!у — у!!<бь |=О, 1, следуют неравенства Цф(х,) — ф(х,) — ф'(х) [х — х ]Ц (е1 Цх,— х,Ц, (1) Ц'Ф(у ) — ф(у ) — ф'(у) [у — МЦ( Цу — у Ц (") Для любого е>0 подберем з1>0 н аз>0 так, чтобы выполнялось неравенство е1 ее+аз!!ф'(х) !!+ е1 !!ф'(в) !! < е.
По этим еь ез найдем 6,>0, бз>0 так, чтобы нмелн место соотношения (1) н (2), н, наконец, положим б=ш!п(бь бз/(е1+ !!1р'(2) !!) ). Если теперь !!х; — х!!<б, 1=0, 1, то в силу (1) Цф(х,) — ф(х,)Ц (е, Цх,— х,Ц+Цф'(х) [х,— х]Ц( ((е, + Цф'(х)Ц) Цх,— х,Ц. (3) Полагая в этом неравенстве поочередно х~=х, 1=0, 1, получаем Цф (х,) — ф (х)Ц = Цф(х~) — уЦ ( (е + Цф'(х)Ц) 6(6, так, что для у;=ф(х;) справедливо (2). Используя теперь (1)„ (2) н (3), получаем Ц1(х,) — 1(х,) — ф' (у) [ф' (х) [х,— хз]]Ц ( Цф (ф (х,)) — ф (ф (х,))— ф (у) [ф(хз) ф(ХДЦ+ Цф (у) [ф(х~) — ф(хз) — ф (х) [х1 — хз]]Ц (~ ( а, Цф (х,) — ф (хз) Ц + Цф' (у) Ц .
Цф (х ) — ф (х,) — ф' (х) [х, — хз]Ц я. ( е, (е, + Цф' (х)Ц) Цх — х, Ц+ Цф' (у)Ц е Цх — х Ц = = (езе,+аз Цф'(х)Ц+е, Цф'(у)Ц) Цх,— х Ц(еЦх,— х Ц„ это и означает, что [~5Р(х). Полагая в этих рассуждениях хз=х, х,=х+Ь, получим доказательство теоремы для случая днфференцнруемости ф по Фреше. Доказательство теоремы для случая днфференцнруемости ф по Гата получается анализом уже доказанной формулы для вариации по Лагранжу суперпозиция отображений.
О 1.4.2. Теорема о среднем. Хорошо известно, что для числовых функций одного переменного справедлива теорема Лагранжа, называемая также теоремой о среднем значениин, нли формулой конечных пРиращений: если функция ): [а, Ь)- К непрерывна на отрезке [а, Ь] и диф- 26 «Ьеренцируема в интервале (а, Ь), то существует точка с~ ен(а, Ь), такая, что ((Ь) — )(а) =)'(с) (Ь вЂ” а). Нетрудно убедиться, что формула (1) остается справедливой и для числовых функций 1(х), аргумент которых принадлежит произвольному нормированному пространству. В этом случае [а, Ь]=(х~х=а+1(Ь вЂ” а), 0~1<.:1], аналогично определяется интервал (а, Ь), а дифференцируемость можно понимать в смысле Гато.,Полагая ~р(1)=1(а+ +Г(Ь вЂ” а)), сводим доказательство к случаю одного вещественного переменного.
Для векторнозначных функций формула (1) не имеет места. Отметим, что в анализе, как правило, используется не сама формула (1), а вытекающая из нее оценка )((Ь) — 1(а) ~ ~ .сМ(Ь вЂ” а), где М= зцр ~1'(х)). Покажем сейчас, что в этом «ем,ц более слабом виде утверждение распространяется уже, на случай произвольных нормированных пространств.
По традиции оно сохраняет название «теорема о среднем», хотя, конечно, его следовало бы именовать «теоремой об оценке конечного приращения». Т е о р е м а (о среднеи). Лусть Х, У вЂ” нормированные пространства и открытое множество Ус:Х содержит отрезок (а, Ь], Если отображение Г: Л- У дифференцируемо по Гата в каждой точке х~[а, Ь], т'о '01(Ь) — Г(аЦ ( эпр Д'„(с))! ЦЬ вЂ” а]].
«а(а,ь> < В силу следствия из теоремы Хана — Банаха (п. 7.1) для любого усну, а значит, и для у=1(Ь) — 1(а) найдется элемент у'сну*, такой, что )(у*)(=1 и (у*, у)=)~у(), т. е. (у", 1(Ь) — 1(а)) =!Ц(Ь) — 1(а) )). Обозначим <р(1)=(у', ((а+((Ь вЂ” а))). Поскольку у* — линейный непрерывный функционал, а отображение 1 в каждой точке [а, Ь] имеет производную Гата, то по теореме о суперпозиции ~р'(1) =(у', ),(а+((Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а)) т(ен [О, 1).
Из дифференцируемости функции ~р следует ее непрерывность на [О, Ц, и, следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа (конечных приращений): ~р(1) — ~»(0) =<р'(О), 0~ (О, 1). Поэтому Ц1(Ь) — [(а)!! = (у', [(Ь) — ~(а)) =ф(1) — ~р(0) = = (у', [„(а+ 8 (Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а[) < Я„(а+ 8 (Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а[Ц < < Яа+8(Ь вЂ” а))Ц ЦЬ вЂ” аЦ< знр !!1„(с)1! ЦЬ вЂ” аЦ.
!> «е(«,ы Приведем несколько следствий из теоремы о среднем. Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы о среднем и ЛенЯ'(Х, У). Тогда Щ(Ь) — [(а) — Л(Ь вЂ” а)Ц < эпр Д,(с) — ЛЦ 1!Ь вЂ” аЦ. «е (а,ц <0Надо применить теорему о среднем к- отображению у(х) =1(х) — Лх. (> Следствие 2. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки х в Х, отображение [: У- у дифференцируемо по Тато в каждой точке хенУ. Если отображение х- Г',(х) непрерывно в точке х, то отображение 1 строго дифференцируемо в х (а следовательно, и дифференцируемо по Фреие в той же точке).
0 В силу непрерывности отображения х- Г',(х) для любого е)0 найдется б>0, такое, что нз неравенства Цх — 2Ц<б следует неравенство Ц[',(х) — [',(х) Ц<в. В силу выпуклости шара В=В(х, 6) нз условия хь хт~В следует', что [хь хДенВ. По следствию 1 теоремы' о среднем с Л=Г',(х) получаем 1Ях,) — [(х,) — [, (х) [х, — хД < энр !!1„(х)— «е(«„«в — ~„(х)Ц Х Цх,— х,Ц < е Цх,— х,Ц, что означает строгую дифференцнруемость отображения в точке 2.
~> Следствие 2 показывает нам, что при проверке днфферен- цнруемостн конкретных функционалов достаточно доказать существование производной Гато и проверить ее непрерыв- ность, это уже гарантирует строгую дифференцируемость (и тем более существование производной Фреше). 1.4.3. Формула Тейлора. Теорема о полном дифференциале. Ф о р м у л а Т е й л о р а. Если !!«'(2) существует, то 1(х+Ь) =У(х)+Г(х) [Ь[+(1!2) Г" (х) [Ь, Ь[+... ... +(1/и!) Ты' (х) [Ь,...,Ь[+г(Ь), где !!г(Ь) !!=о(ЦЙЦ ) при Ь 0 (АТФ, с.
159). 28 Теорем а о полном дифференциале. Пусть Х, У;. Я вЂ” линейные нормированные пространства, У вЂ” окрестность в Хэ,"У, Р: У- Я вЂ” отображение, имеющее в каждой точке (х, у)енУ частные производные Р,(х, у) и РУ(х, у) в смыслеГато. Если отображения (х, у)- Р„(х, у) и (х, у)- Ру(х, у) непрерывнвы в точке (х, у)~У в равномерной операторной топологии, то Р строго дифференцируемо в той же точке и при этом Р'(х, у)Я, ))]=Р,(х, у)К]+Р„(х, у)[))]. «1 В силу непрерывности отображений Р,(х, у) и РУ(х, у) в точке (х, у) для любого е)0 можно выбрать 6)0, такое, что «прямоугольная» окрестность У=В(х, 6) ХВ(у, 6) точки (х, у) содержится в У, и в ней выполняются неравенства ЦР,(х, у) — Р„(х, у)Ц(е, ЦРУ(х, у) — РУ(х, у)Ц(е. (1Г Теперь имеем Ь вЂ " Р (х„ у,) — Р (х„ у,) — Р„(х, у)[х, — хг] — РУ (х> у)[у, — у,] = = Р (х„у,) — Р (х„у,) — Р, (х, у) [х — х,]+ + Р (х„у,) — Р (х„у,) — Р„(х, у) [у,— у,].
Легко видеть, что если точки (х), у,), (хы уу) лежат в У, то н точка (ху, у))енУ, н, более того, оба отрезка [(х), у)), (ху, у))] и [(хь у)), (х>ь уу)] содержатся в у'с:У. Поэтому отображения х Р(х, у,) и у Р(ху, у) днфференцнруемы по Гата: первое имеет производную Р на [х), ху], второе Ру — на [у„уу]. Применяя следствие 1 теоремы о среднем' к этим отображениям, получаем в силу (1) ]Щ( зцр ЦР,Я, у,) — Р,(х, у)Ц Цх,— х«Ц+ г е (у„м) + Р [!Р (х„))-РУ(х, й] ]]У,-У.!1~ ЧЮУ> Ув) ( е Цх,— х,Ц+ е Цу,— у,1] длЯ любых (х„У))ер, (хь У»)епУ, что н означает стРогУю днфференцируемость отображения Р.
1» 1.4.4. Конечномерные теоремы об обратной н неявной функцнн. Теорема Люстерника. Теорема о касательном пространстве. Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть 'Менй" — окрестность точки Я=(х), ..., х„), Р:М -К"— ~тображение класса С) ('М), Р(х) =й. Тогда если якобиан отображения Р в точке х отличен от нуля, то существуют такие е>0, 6)0 и К)0, что для любого у из шара )у — у]<6 су- чцествует единственное х в шаре [х — к[ <е, такое, что Р(х) =у и при этом [х — х[ сК[у — у[. Замечание. Мы привели теорему об обратной функции,-", в той форме, в которой она будет в дальнейшем у нас исполь.'„": зоваться. Обычно доказывают больше, в частности, что глад..'" кость обратного отображения такая же, как и гладкость прям" мого, и формулу (Р-'(у) ) '=(Р'(Р-'(у) ) )-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
